ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 CHUYÊN KHTN - HÀ NỘI NĂM 2011 Bài 1: a) Tìm các số nguyên (x,y) thỏa mãn :$(x+1)^4-(x-1)^4=8y^2$ b) Cho m,n là các sô nguyên dương với $m \geq 2$. CMR: $2^m-1$ không la ước của $2^n+1$ Bài 2: 1) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 y = x + z \\ y^2 z = y + x \\ z^2 x = z + y \\ \end{array} \right. \] 2) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y+z=xyz$ .Tìm GTLN của: $$A=\dfrac{2}{\sqrt{x^2+1}} +\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^2+1}}$$ Bài 3: Cho $AB$ là dây cung cố định (nhưng không là dường kình) của đường tròn $(O)$.Điểm $P$ di chuyển trên cung nhỏ $AB$. Tiếp tuyến tại $P$ cắt các tiếp tuyên tại $A$ và $B$ lần lượt tại $M$ và $N$.Gọi $MB$ giao $NA$ tại $I$. 1) CMR đường thẳng $IP$ luôn đi qua điểm cố định. 2) Gọi $BP$ giao $AM$ tại $Q$. CMR $OQ \perp AN$. Bài 4: Cho $n$ là sô nguyên dương. Trên đường tròn có độ dài $6n$, ta đánh dâu $3n$ điểm. Biết rằng các điểm này chia đường tròn thành $3n$ cung, trong đó có $n$ cung có dộ dài $1$, $n$ cung độ dài $2n$, $n$ cung có độ dài $3$. CMR tồn tại hai điểm được đánh dấu mà chúng đối xứng qua tâm đường tròn.
