ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2011 Câu 1: Giải hệ phương trình sau: $$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y=\frac{2}{y}\\ y^{2}+x=\frac{2}{x} \end{matrix}\right.$$ Câu 2: Với a,b,c thuộc đoạn $\left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh: $$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$$ Câu 3: Cho tam giác $AB$C nội tiếp đường tròn $(O)$. $D$ là một điểm nằm ở trên cung Bc không chứa $A$. Lấy $P, Q$ lần lượt là điểm đối xứng của $D$ qua các đoạn thẳng $AB, AC$. Chứng minh $PQ$ luôn đi qua $1$ điểm cố định. Câu 4: Cho $x,y$ là các số nguyên dương chẵn. Hãy tìm $x,y$ sao cho $x^{2}+1\vdots y+1$ và $y^{2}+1\vdots x+1$. Câu 5: Hãy tính tổng tất cả các số có $7$ chữ số sao cho các số đó chia hết cho $4$ và được viết từ $7$ chữ số $1,2,3,4,5,6,7$.
