ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 CHUYÊN QUANG TRUNG - BÌNH PHƯỚC NĂM 2011 Câu 1: Giải hệ phương trình:$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 (y + 1) = 6y - 2 \\ x^4 y^2 + 2x^2 y^2 + y(x^2 + 1) = 12y^2 - 1 \\ \end{array} \right.$ Câu 2: Giải phương trình : $ x=\sqrt{2-x}.\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{2-x}$ Câu 3: a) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: $p^2+11$ chia hết cho 12 b) Tìm tất cả các số nguyên tố $ p$ sao cho số $p^2+11$ chỉ có đúng 6 ước số ( kể cả 1 và chính nó) Câu 4: Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ cố định, hai đỉnh $B,C$ thay đổi trên đường thẳng $d$ cố định sao cho hình chiếu $H$ của $A$ trên $d$ nằm giữa hai điểm $B$ và $C$ đồng thời $HB.HC$ là một số khộng đổi. Gọi $D$ là hình chiếu của $H$ trên $AB, E$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$. a) Gọi $P$ là giao điểm của $AH$ với $DE, Q$ là giao điểm của $AH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh rằng $BDPQ$ là tứ giác nội tiếp và $P, Q$ là các điểm cố định. b) Gọi $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tan giác $HDE$ tại $D$ và $E$. Tìm quỹ tích của điểm $S$. Câu 5: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :$P=\dfrac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}$ Câu 6: Có m bạn nữ và n bạn nam cùng tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán. Biết rằng: a) Mỗi bạn nữ đều quen với ít nhất một bạn nam b) Bất cứ hai bạn nữ nào $M_1,M_2$ và bất cứ hai ban nam$N_1,N_2$ nào: nếu $M_1$ quen $N_1$ và $M_2$ quen $N_2$ thì trong hai cặp $(M_1;N_2)$ và $(M_2;N_1)$ có ít nhất một cặp gồm hai bạn quen nhau. Chứng minh rằng có ít nhất một bạn nam quen tất cả các bạn nữ.
