ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2011 Câu 1 (2điểm) a) Cho hàm số $y=x^2+2mx-3m$ và hàm số $y=-2x+3$ . Tìm $m$ để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương. b) Giải bất phương trình: $\sqrt{-x^2+8x-12}>10-2x$ Câu 2 (2 điểm) a) Giải phương trình: $(4x^3-x+3)^3-x^3=\frac{3}{2}$ b) Giải phương trình: $2x^2-11x+23=4\sqrt{x+1}$ Câu 3 (2 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $M(1;4)$. Đường thẳng $d$ qua $M$, $d$ cắt trục hoành tại $A$ (hoành độ của $A$ dương), $d$ cắt trục tung tại $B$ (tung độ của $B$ dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $OAB$. b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn $(C): (x-2)^2+(y+3)^2=9$ và điểm $A(1;-2)$ . Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và cắt $( C )$ tại hai điểm $M, N$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$. Câu 4 (3 điểm) a) Chứng minh rằng tứ giác lồi $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$ b) Tìm tất cả các tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\frac{1}{h^{2}_{a}}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ (trong đó $AB=c, AC=b$; đường cao qua $A$ là $h_a$ ). Câu 5 (1 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b} \geq 3+ \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$.
