ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 QUẢNG BÌNH NĂM 2011 Bài 1. Trong mặt phẳng $(Oxy)$ cho Parabol $(P): y=x^2-2x$; Elip $(E): \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{1}=1$ Chứng minh rằng $(P),(E)$ cắt nhau tại $4$ điểm phân biệt và $4$ điểm này thuộc cùng $1$ đường tròn. Bài 2. Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}8x^3+6x+4=y^3+3y^2+6y\\y^{2011}=3^{2010}(2x^{2011}+1)\\x>0 \end{cases}$$ Bài 3. Cho $\begin{cases} f(1)=1\\ f(x+1)=2012{f^2}(x)+f(x),n \in[1;+\infty) \end{cases}$ , $u_n= \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{f(k+1)}$. Tìm $Lim u_n$ Bài 4. Cho hình chóp $SABCD:SA=SB=SC=b$; tam giác $ABC$ đều, $AB=a$.Chứng minh rằng: a/ $ \frac{AP}{AS}= \frac{BQ}{BC}=k$ b/ Tìm $k$ để $MNPQ$ nhỏ nhất Bài 5. Cho $p$ là một số nguyên tố.Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên thì tồn tại số nguyên tố $q$ sao cho $n^p-p$ chia hết cho $q$ Bài 6. Giải phương trình ,hệ phương trình: a/ $3x+2 \sqrt{1-x}=4( \sqrt{1+x}+ \sqrt{1-x^2})-2$ b/ $\begin{cases} \frac{x^4}{y^2}+(xy+1)^2=7-2x^3\\x^2+xy^2+x^3y=3y \end{cases}$ Bài 7. $$\begin{cases}u_1=2012\\u_{n+1}= \frac{{u_n}^2+6}{2u_n+1} \end{cases}. \text{Tìm } limu_n$$ Bài 8. Chứng minh rằng a/$$\frac{3a+b}{2a+c}+ \frac{3b+c}{2b+a}+ \frac{3c+a}{2c+b} \ge 4$$ ($a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác) b/$$\frac{a^2}{ \sqrt{b^3+8}}+ \frac{b^2}{ \sqrt{c^3+8}}+ \frac{c^2}{ \sqrt{a^3+8}} \le 1$$ $(a,b,c>0,a^3+b^3+c^3=3)$ Bài 9. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. a/ Tính góc giữa hai đường thẳng $AC,AB$ b/ Gọi $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $A'B",BC,DD'$ sao cho $A'M=BN=DP$. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác $ABC$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi $M,N,P$ thay đổi Bài 10. a/ Tìm hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong biểu thức $(1+2x+3x^2)^{10}$ b/ Cho số nguyên dương n.Có bao nhiêu số chia hết cho 3 và có n chữ số và các chữ số đều thuộc ${3;4;5;6}$
