ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2011 Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: $${x^2} + 2x\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} = 3x + 1$$ Câu 2: (3 điểm) Cho hai số dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $x \ge 1,y \ge 1$ và $3\left( {x + y} \right) = 4xy$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $$P = {x^3} + {y^3} + 3\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} \right)$$ Câu 3: (2 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ${x^2} + x + 2 = {y^2}$ Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c và $c \le b$. Hai điểm M, N tương ứng di động trên 2 cạnh AB, AC sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Xác định vị trí của M và N để MN có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (3 điểm) Cho dãy số $\left\{ {{u_n}} \right\}$ được xác định như sau: $$\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 3\\ {u_{n + 1}} = \dfrac{{u_n^2 - 2}}{{2{u_n} - 3}}\,\,\,\,\,\,\left( {n \ge 1,n \in N} \right) \end{array} \right.$$ Hãy xác định công thức tổng quát của ${{u_n}}$ theo $n$. Câu 6: (3 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông OABC có đỉnh $A\left( {3;4} \right)$ và điểm B có hoành độ âm. a) Tìm tọa độ các đỉnh B và C của hình vuông OABC. b) Gọi E và F theo thứ tự là các giao điểm của đườn tròn © ngoại tiếp OABC với trục hoành và trục tung (E và F khác gốc tọa độ O). Tìm tọa độ điểm M trên © sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất. Câu 7: (3 điểm) Với mọi $n$ nguyên và $n \ge 3$, tính tổng sau đây: $$S = \dfrac{1}{{C_3^3}} + \dfrac{1}{{C_4^3}} + \dfrac{1}{{C_5^3}} + ... + \dfrac{1}{{C_n^3}}$$
