ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH HẢI PHÒNG NĂM 2011 Vòng 1Bài 1. Giải hệ phương trình sau: $$\begin{cases}& 2+6y=\dfrac{x}{y}-\sqrt{x-2y}\\ &\sqrt{x+\sqrt{x-2y}} =x+3y-2\end{cases}$$ Bài 2. Cho $f: \mathbb N^*\to\mathbb N^*$ thỏa mãn các điều kiện sau $$\begin{cases} & f(1)=1\\ & f(n)=n-f(f(n-1)) \forall n\geq 2\end{cases}$$ Hãy chứng minh rằng : $f(2012)=f(2011)$ hoặc $f(2012)=f(2011)+1$ Bài 3. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng $$4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq 1$$ Bài 4. Cho tam giác $ABC$ không cân có $BC=a,CA=b,AB=c$. Giả sử $AA_1,BB_1,CC_1$ là các đường phân giác trong của $\triangle ABC$. Chứng minh rằng nếu $A_1B_1=A_1C_1$ thì $$\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c}$$ Bài 5. Tìm các hoán vị $p$ của tập $\left \{ 1,2,...,2011 \right \}$ thỏa mãn $|p(1)-1|+|p(2)-2|+...+|p(2011)-2011|=\dfrac{2011^2-1}{2}$ Vòng 2 Bài 1. Giải hệ phương trình : $$\begin{cases} & x^3+3xy^2=6xy-3x-49 \\ & x^2-8xy+y^2=10y-25-9 \end{cases}$$ Bài 2. Tìm tất cả các dãy số tự nhiên ${a_n}$ bị chặn thỏa mãn $$a_{n+1}=\dfrac{a_n+a_{n-1}}{\gcd(a_n,a_{n-1})}$$ Bài 3. Cho lục giác lồi $ABCDEF$ có $\angle B + \angle D +\angle F = 360^o$ và $\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{CD}{DE}.\dfrac{EF}{FA}$. Chứng minh rằng : $$\dfrac{BC}{CA}.\dfrac{AE}{EF}.\dfrac{FD}{DB}=1$$ Bài 4. Có $n$ lá thứ và $n$ phong bì đã ghi sẵn địa chỉ.Hỏi có bao nhiêu cách cho mỗi lá thư vào một phong bì sao cho có ít nhất một lá tứ được cho đúng địa chỉ.
