ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH PHÚ THỌ NĂM 2011 Câu 1: a) Giải hệ PT: $$ \left\{\begin{array}{l} y^3(27x^3-35)+8=0\\ 3x^2y+2x=5y^2 \end{array}\right. $$ b) Giải PT: $(x+1)(2+\sqrt{x^2+2x+4})-2x(2+\sqrt{4x^2+3})=0$ Câu 2: Cho $a, b, c$ thuộc $[1;2]$. Chứng minh: $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+b+c)^3$ Câu 3: Cho dãy số : $u_1=4$ và $u_{n + 1} = \dfrac{1}{9}(u_{n} + 4 + 4\sqrt {1 + 2u_{n}} )$ Tìm CT số hạng tổng quát của dãy số. Câu 4: Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác sao cho$\hat{MAC}<\dfrac{1}{2}\hat{BAC} ; \hat{MCA}<\dfrac{1}{2}\hat{BCA}$ Gọi $D, E, F$ là hình chiếu vuông góc của M trên $BC, CA, AB$. Giả sử $N$ là điểm nằm trong tam giác sao cho $\hat{NAB}=\hat{MAC};\hat{NCB}=\hat{MCA};$ a) CMR : $AN$ và $EF$ vuông góc. b) Nếu góc $DEF$ vuông thì $N$ là trực tâm tam giác $BDF$ Câu 5: Tìm tất cả các số tự nhiên $A$ có $9$ chữ số. Biết rằng trong biểu diễn thập phân của $A$; chữ số hàng đơn vị bằng số các chữ số $8$ trong $A$; chữ số hàng chục bằng số các chữ số $7$ trong $A$;chữ số hàng trăm bằng số các chữ số 6 trong $A$; cứ như vậy cho đến chữ số hàng trăm triệu bằng số các chữ số $0$ trong $A$
