ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM 2014 Câu 1) (5đ) 1. Cho biểu thức: $A = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}$. a) Rút gọn $A$. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$ và giá trị tương ứng của $x$. 2. Cho $a, b, c >0$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} + \dfrac{9(ab + bc + ca)}{a^2 + b^2 + c^2} \geq 12$. Câu 2) (5đ) 1. Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}2x^2 + x - \dfrac{1}{y} = 2\\ y - y^2x - 2y^2 = -2\end{matrix}\right.$$ 2. Tìm $m$ để parabol $(P): y = x^2 + 2mx - m + 2 $ tiếp xúc với đường thẳng $(d): y = x + m$. 3. Giả sử phương trình $mx^2 + (2m+1)x+m^2-1=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Hãy tính tổng $S$ và tích $P$ của các nghiệm. Tìm hệ thức độc lập với $m$ giữa $S$ và $P$. Câu 3) (5đ) Cho $\triangle ABC$ có các góc đều nhọn và $\widehat{A} = 45^0$. $BD, CE$ là các đường cao của tam giác, $H$ là trực tâm. a. Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp. b. Chứng minh $HD = DC$. c. Tính $\dfrac{DE}{BC}$. d. Gọi $O$ là tâm đường tròn $(ABC)$. Chứng minh: $AO \perp DE$. Câu 4) (2đ) Cho tứ giác lồi $ABCD$, gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC, CD$. CMR: $S_{ABCD} < \dfrac{1}{2}(AM + AN)^2$. Câu 5) (3đ) 1. Chứng minh rằng: nếu số tự nhiên $a$ không chia hết cho 5 thì $a^8 + 3a^4 - 4$ chia hết cho 100 2. Tìm tất cả các bộ số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn: $x^2 + 6xy + 5y^2 - 4y - 8 = 0$.
