ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH CÀ MAU NĂM 2014 Câu 1: (6.0đ) 1) Giải phương trình: $x=2-(2-x^{2})^{2}$ 2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-y=3x\\3x^2-2y^2+y=3x \end{matrix}\right.$ Câu 2: (3.5đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-x^2}+2}{1+\sqrt{2x-x^2}}$ trên đoạn $[\frac{1}{4};\frac{3}{2}]$. Câu 3: (4.0đ) 1) Ba góc $\alpha,\beta,\gamma\in(0;\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn: $cos(\alpha-\beta)=1,sin(\beta+2\gamma)=0$. Chứng minh rằng: $cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \le \frac{3}{2}$. 2) Biết $\frac{1006}{2013}<\frac{a}{b}<\frac{1007}{2015};a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh: $a \ge 2013$. Câu 4: (3.5đ) Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $1$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác $AA'C$. Điểm $M$ di động trên $AB$ và điểm $N$ di động trên $A'C'$ sao cho $AM=C'N>0$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$. Chứng minh rằng: I luôn luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất trong các khoảng cách từ I đến đường thẳng $AA'$ khi $MN$ thay đổi. Câu 5: (3.0đ) Cho tập hợp $A$ có n phần tử ($n>1$) và đánh dấu n phần tử đó là $a_1,a_2,...,a_k,...,a_n$. Sắp xếp n phần tử của A thành dãy hàng ngang theo thứ tự từ trái sang phải, gọi dãy như vậy là dãy (*). Gán cho phần tử $a_k$ ($k=1,2,...,n$) trong dãy (*) một giá trị $G_k$ theo qui tắc sau: + Nếu $a_k$ đứng ở vị trí đầu tiên trong dãy (*) thì $G_k=1$; + Gỉa sử $a_k$ đứng từ vị trí thứ hai trở đi và phần tử $a_i$ đứng bên trái $a_k$ thì $G_k=k$ nếu $k>i$ và $G_k=1$ nếu $k<i$. Đặt $S=G_1+G_2+...+G_n$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S đạt được khi các dãy (*) thay đổi. Tìm số phần tử của tập $A$ trong mỗi trường hợp sau: 1) Biết $M-m=15$. 2) Cả hai giá trị M và m đều là số nguyên tố.
