ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NGHỆ AN NĂM 2014 Câu 1. (7 điểm). a) Giải bất phương trình $$\sqrt{x\left(x+2\right)}+\sqrt{x}\geq\sqrt{\left(x+1\right)^{3}}$$ b) Giải hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{ll} \left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right) & =1\\ 27x^{6}=x^{3}-8y+2 \end{array}\right. \] Câu 2. (3 điểm). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $$5x^{6}-12x^{5}+10x^{3}-90x^{2}\geq m$$ nghiệm đúng với mọi số thực $x.$ Câu 3. (3 điểm). Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác nhọn $ABC.$ Đường tròn đường kính $BC$ là $\left(C\right)$: $\left(x+1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2}$ = $\dfrac{5}{3}.$ Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AM,AN$ đến đường tròn $\left(C\right)$ (M,N là các tiếp điểm và nằm cùng phía đối với đường thẳng $BC.$ Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $MN$ và $A$ thuộc đường thẳng $d:$$2x+y-1=0.$ Tìm tọa độ điểm $A.$ Câu 4.(4 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang cân, $AB=2a;BC=CD=DA=a;SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SCD\right)$ bằng $\varphi$. Từ $A$ kẻ $AH$ vuông góc với mặt phẳng $\left(SCD\right)$ $\left(H \in\left(SCD\right)\right);$ $AK$ vuông góc với $SC$ $\left(K\in SC\right).$ a) Chứng minh $\widehat{HAK}=\varphi$. b) Cho $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$, tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD.$ Câu 5. (3 điểm). Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn các điều kiện $a>b>c$ và $3ab+5bc+7ca\leq9.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{32}{\left(a-b\right)^{4}}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^{4}}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^{4}}$
