ĐỀ THI CHỌN HSG TP. HÀ NỘI NĂM 2016 Bài 1: Cho hàm số $y=x^{4}-2(m+1)x^{2}+3m+2$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có 3 đỉnh cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân Bài 2: 1) Giải phương trình: $\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2}+4}+x^{2}-7x+1=0$ 2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}=5\\ \sqrt{x+4y}+2x-y=3\\ \end{matrix}\right.$ Bài 3: Cho dãy số $(u_{n})$ có $u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n-1}u_{n-1}+n$ với $n\geq 2$ 1) Xác định công thức của $(u_{n})$ 2) Chứng minh $u_{1}+u_{2}+...+u_{2016}<2016^{3}$ Bài 4: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác ABC có đường cao AD, trực tâm H. Gọi E, F là hình chiếu của D lên BH, CH. P là giao điểm của EF và AC 1) CMR: DP vuông góc AC 2) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết D(1;-1), P(3;1) và tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là I(2;0) Bài 5: Cho tứ diện OABC có 3 góc tại đỉnh O vuông. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). P là điểm bất kì trong tam giác ABC Chứng minh: $\frac{PA^{2}}{OA^{2}}+\frac{PB^{2}}{OB^{2}}+\frac{PC^{2}}{OC^{2}}=1+\frac{OP^{2}}{OH^{2}}$ Bài 6: Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2(a+b+c)$
