Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\): Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\) Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)0\). 2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị \(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\). b) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Điều kiện thứ nhất: Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\): Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\). Nếu thì x0 là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\). Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ - sang + khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu. Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ + sang - khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại. Điều kiện thứ hai:Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\): Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\). Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\)là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\). 3. Quy tắc tìm cực trị a) Quy tắc 1 Tìm tập xác định. Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định. Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. b) Quy tắc 2 Tìm tập xác định. Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm $x_i$ của phương trình \(f'(x)=0\). Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm $x_i$ . ♦ Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại $x_i$. Bài tập minh họa 1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số. Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\) b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\) Lời giải: a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\) Cách 1: Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(y' = {x^2} - 2x - 3\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\). Cách 2: Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(y' = {x^2} - 2x - 3\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\) \(y ''= 2x - 2\) \(y''\left( { - 1} \right) = - 4 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\). \(y''\left( 3 \right) = 4 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\). b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\) Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(y' = \frac{x}{{\left| x \right|}}\left( {x + 2} \right) + \left| x \right| = \frac{{2\left( {{x^2} + x} \right)}}{{\left| x \right|}} (x\ne0)\) Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1,\) giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=1;\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0,\) giá trị cực tiểu \(y(0)=0.\) Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số \(y=x-sin2x+2.\) Lời giải: Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(y' = 1 - 2\cos 2x\) \(y'=0 \Leftrightarrow \cos2x\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi (k\in\mathbb{Z})\) \(y'' = 4\sin 2x\) \(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = 2\sqrt 3 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = {\textstyle{\pi \over 6}} + k\pi - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\). \(y''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = - 2\sqrt 3 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = -\frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực đại tương ứng là \(y\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - \frac{\pi }{6} + k\pi - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\). 2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 3: Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 5\) có hai cực trị. Lời giải: Với m=-2 hàm số trở thành \(y = 3{x^2} - 2x - 5\) không thể có hai cực trị. (1) Với \(m\ne-2\) ta có: \(y' = 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6x + m\) Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = - 3\left( {{m^2} + 2m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1.\) (2) Từ (1) (2) suy ra hàm số có hai cực trị khi: \(m \in \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2;1} \right)\) Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(\: y = -x^3 + (m+3)x^2 - (m^2 + 2m)x - 2\) đạt cực đại tại \(x=2.\) Lời giải: Hàm số có tập xác định: \(D=\mathbb{R}\). \(y' = -3x^2 + 2(m+3)x-(m^2 + 2m);\) Để hàm số có cực trị tại \(x=2\) thì: \(y'(2) = 0 \Leftrightarrow - 12 + 4(m + 3) - {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\) Ta có: \(y'' = - 6x + 2(m + 3)\) Với \(m=0\) thì \(y''(2)=-6<0.\) Với \(m=2\) thì \(y''(2)=-2<0\). Thứ lại với \(m=0\) và \(m=2\) hàm số đều đạt cực đại tại x=2. Theo LTTK Education tổng hợp
