Tóm tắt lý thuyết 1. Hàm số mũ a) Định nghĩa hàm số mũ Cho số thực dương \(a\) khác 1. Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\). b) Tính chất hàm số mũ Tập xác định: \(\mathbb{R}.\) Tập giá trị: \((0;+\infty )\) Với \(a>1\) hàm số \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Với \(0 Đồ thị hàm số mũ nhận trục \(Ox\) làm tiệm cận ngang. c) Đạo hàm của hàm số mũ Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )'=e^x\) Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\) Đối với hàm hợp: \(({e^u})' = u'.{e^u}\) \(({a^u})' = {a^u}.\ln a.u'\) 2. Hàm số Lôgarit a) Định nghĩa hàm số Lôgarit Cho số thực dương \(a\) khác 1. Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\) b) Tính chất hàm số Lôgarit Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right).\) Tập giá trị: \(\mathbb{R}.\) Với \(a>1: y=\log_ax\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\) Với \(0 < a < 1: y=\log_ax\) là hàm số nghịch biến trên \(\left( {- \infty ; 0} \right).\) Với \(x_1>0,x_2>0\): \(\log_ax_1=\log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\) c) Đạo hàm của hàm số logarit \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\) \(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\) \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\) Đối với hàm hợp: \(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\) \(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{{\ln u}}\) Bài tập minh họa Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\) b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}}\) c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}}\) d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\) Lời giải: a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y' = \left( {2x - 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} = \left( {{x^2}} \right){e^x}\) b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}} \Rightarrow y' = (2x - 3){.2^{{x^2} - 3x}}.\ln 2\) c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}.\ln \frac{2}{5} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\ln \frac{1}{5}\) d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\) \(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\) Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) b) \(y = \frac{{\ln x}}{x}\) c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x\) d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) Lời giải: a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\) b) \(y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x}.x - \ln x} \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\) c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x \Rightarrow y' = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{{1 + \ln x}}{x} = \frac{{1 + 2\ln x}}{x}\) d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {3{x^2} + 1x + 1} \right)'}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}} = \frac{{6x + 2}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}}\) Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) \(y = {\log _2}(25 - 4{x^2})\) b) \(y = {\log _{2x + 1}}(3x + 1) - 2{\log _{3x + 1}}(2x + 1)\) c) \(y = {\log _{\sqrt {3x + 2} }}(1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} )\) Lời giải: a) Điều kiện: \(25 - 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}\) Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right).\) b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 2x + 1 \ne 1\\ 0 < 3x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\) Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\). c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 3x + 2 \ne 1\\ 1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - \frac{2}{3}\\ x \ne - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\) Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \frac{1}{3};0} \right\}\). Ví dụ 4: Tìm m để hàm số \(y={\log _2}(2{x^2} + 3x + 2m - 1)\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\). Lời giải: Điều kiện: \(2{x^2} + 3x + 2m - 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.2.(2m - 1) = 17 - 16m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{17}}{{16}}.\) Vậy với \(m<\frac{17}{16}\) hàm số xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\). Theo LTTK Education tổng hợp
