Tóm tắt lý thuyết 1. Các phương pháp giải phương trình mũ a) Phương pháp đưa về cùng cơ số Với \(0 b) Phương pháp lôgarit hóa Với \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\) Với \(00:a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\) c) Phương pháp đặt ẩn phụ Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới Dạng 1: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\) Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\) Ta có: \(a.t^2+b.t+c=0\) Dạng 2: \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó \(m.n=1\) Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\) Ta có: \(a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0\). Dạng 3: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\) Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có: \(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\) Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\) Ta có \(a.t^4+b.t^2+c=0\). Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó Xem ẩn đầu là tham số Đưa về phương trình tích Đưa về hệ phương trình Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó Đưa về phương trình tích Đưa về hệ phương trình d) Phương pháp hàm số Xét hàm số \(y=a^x\): Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Nếu \(0 Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D. Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D. Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu: \(f(x)\)đồng biến trên D. \(g(x)\) nghịch biến trên D. ⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D. 2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit a) Phương pháp đưa về cùng cơ số Với \(00 \end{matrix}\right.\) b) Phương pháp mũ hóa Với \(0 c) Phương pháp đặt ẩn phụ Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới. Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau: Xem ẩn ban đầu là tham số. Đưa về phương trình tích. Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau: Đưa về phương trình tích Xem 1 ẩn là tham số Biểu thức đồng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới. d) Phương pháp hàm số Các nội dung cần nhớ: Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\) \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\). \(0 Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\) Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D. Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D. Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D: \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D. \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D. Nếu hàm số \(f(x)\) đồng biến trên D và \(g(x)\) nghịch biến trên D thì phương trình \(f(x)=g(x)\) có tối đa một nghiệm. Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất. Xét phương trình \(f(x)=m\): Nếu \(f(x)\) đồng biến (nghịch biến) trên D thì phương trình có tối đa 1 nghiệm.Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất. Bài tập minh họa 1. Giải phương trình mũ Ví dụ 1: Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số): a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}\) b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\) Lời giải: a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}\) \(\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\) Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3. b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\) \(\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\). Ví dụ 2: Giải phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\)(Dùng phương pháp lôgarit hóa) Lời giải: Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được: \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\) \(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.\) Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - {\log _2}3\). Ví dụ 3: Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ) a) \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\) b) \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} - 1\) Lời giải: a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\) Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\) (*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\) (*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\) Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\). b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\) Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\) Khi đó phương trình tương đướng với: \(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 - {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\). Ví dụ 4: a) \(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3\) b) \({2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} = {(x - 1)^2}\) Lời giải: a) Điều kiện: \(x>0\) \(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 - x\) (*) Nhận xét: + Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến. + Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến. Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Dễ thấy: \(x=1\) là nghiệm của phương trình (*). Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình. b) Ta có: \({(x - 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x \ge x - 1\) Suy ra: \({2^{{x^2} - x}} \ge {2^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} \le 0\) (Do hàm số \(y=2^t\) đồng biến) Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} VT \le 0\\ VP \ge 0 \end{array} \right.\) Mà: \(VT=VP\) Suy ra: \(VT=VP=0\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2} = 0\\ {2^{x - 1}} = {2^{{x^2} - x}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1.\) 2. Giải phương trình lôgarit Ví dụ 5: Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số) Lời giải: Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có: \({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\) Ví dụ 6: Giải phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa) Lời giải: Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\) \(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\) Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3. Ví dụ 7: Giải phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ) Lời giải: \(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\) Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành: \({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\). Ví dụ 8: Giải phương trình \({\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\) (Dùng phương pháp hàm số) Lời giải: Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 > 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2.\) Khi đó: \(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\\ \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} - 4) - {\log _2}(x + 2) = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 2} \right) = 3 - x \end{array}\) Nhận xét: Hàm số \(y = {\log _2}(x - 2)\) là hàm số đồng biến. Hàm số \(y=3-x\) là hàm số nghịch biến Vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Dễ thấy x=3 là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có ngiệm duy nhất \(x=3.\) Theo LTTK Education tổng hợp
