Tóm tắt lý thuyết 1. Bất phương trình mũ a) Phương pháp đưa về cùng cơ số Nếu \(a>1\): \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\) \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\) Nếu \(0 < a <1 \) \(a^x>a^y \Leftrightarrow x < y \) \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\) b) Phương pháp lôgarit hóa Nếu \(a^{f(x)}>b \) \(b\leqslant 0\), tập nghiệm bất phương trình là tập xác định của f(x) \( \left\{\begin{matrix} 0 <a <1\\ b> 0 \end{matrix}\right. BPT \Leftrightarrow f(x)<\log_a b\) \( \left\{\begin{matrix} a >1 \\ b>0 \end{matrix}\right. BPT \Leftrightarrow f(x)>\log_a b \) Nếu \(a^{f(x)} < b \) \( \left\{\begin{matrix} b>0\\ a>1 \end{matrix}\right. \ BPT\Leftrightarrow f(x)<\log_ab\) \( \left\{\begin{matrix} b>0\\ 0 < a < 1 \end{matrix}\right. \ BPT\Leftrightarrow f(x)<\log_ab \) c) Phương pháp đặt ẩn phụ Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\) \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\) \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\) Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có: \(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\) Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\) Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau: Đưa về bất phương trình tích. Xem ẩn ban đầu như là tham số. Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau: Đưa về bất phương trình tích. Xem 1 ẩn là tham số. d) Phương pháp hàm số Xét hàm số \(y=a^x\): Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Nếu \(0 Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D. Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D. Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu: \(f(x)\)đồng biến trên D. \(g(x)\) nghịch biến trên D. ⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D. 2. Bất phương trình lôgarit a) Phương pháp đưa về cùng cơ số Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\) Với \(0\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)0 \end{matrix}\right.\) b) Phương pháp mũ hóa Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0 \(a>1 \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\) \(0 < a < 1 \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)<a^b\) c) Phương pháp đặt ẩn phụ Các kiểu đặt ẩn phụ: Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới. Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu. Xem ẩn ban đầu là tham số Bất phương trình tích Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn d) Phương pháp hàm số Các nội dung cần nhớ: Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\) \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\). \(0 Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\) Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D. Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D. Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D: \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D. \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D. Bài tập minh họa 1. Bất phương trình mũ Ví dụ 1: Giải bất phương trình \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}.\) Lời giải: Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}\) Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3\) \(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\) Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;2} \right]\) Ví dụ 2: Giải bất phương trình \({2^{{x^2} - 4}} \ge {5^{x - 2}}.\) Lời giải: Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có: \({\log _2}\left( {{2^{{x^2} - 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x - 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge \left( {x - 2} \right){\log _2}5\) \(\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 - 2 \end{array} \right.\) Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}5 - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\) Ví dụ 3: Giải bất phương trình\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\). Lời giải: \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\)(1) Đặt \(t = {3^x} > 0\). Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\) Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { - 1;1} \right].\) Ví dụ 4: Giải bất phương trình \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\) Lời giải: Chia 2 vế của phương trình cho ta được: \({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\) Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\) Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R. Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\) Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;2} \right).\) 2. Bất phương trình lôgarit Ví dụ 5: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5.\) Lời giải: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\) \(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\). Ví dụ 6: Giải bất phương trình\({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\) Lời giải: Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\) Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\) Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình. Ví dụ 7: Giải bất phương trình\(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\) Lời giải: Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành: \(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\) Do đó ta có: \(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\) Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\) Ví dụ 8: Giải bất phương trình \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\) Lời giải: ĐK: \(x>1\) Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\) \(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) Mặt khác \(f(2) = 3\) Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\) Theo LTTK Education tổng hợp
