Bài 1 trang 43 sách sgk giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\) ; b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\); c) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x\) ; d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5\) ; Giải: Câu a: Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Sự biến thiên: Đạo hàm: \(y' = 3- 3x^2\) . Ta có: \(y' = 0 ⇔ x = ± 1\) . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\), giá trị cực đại \(y\)CĐ=\(y(1)=4\), đạt cực tiểu tại \(x=-1\) và \(y\)CT=\(y(-1)=0\). Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\) Bảng biến thiên: Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại các điểm \((2;0)\) và \((-1;0)\), cắt \(Oy\) tại điểm \((0;2)\). Đồ thị: Ta có: \(y''=6x\); \(y''=0 ⇔ x=0\). Với \(x=0\) ta có \(y=2\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(I(0;2)\) làm tâm đối xứng. Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \(x=-2\) suy ra \(y=4\). Câu b: Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Sự biến thiên: Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 8x + 4\). \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).\) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), giá trị cực đại \(y\)cđ = \(y(-2) = 0\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\). Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0\) hoặc \(x=-2\) nên tọa độ các giao điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\). Đồ thị hàm số: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\) Câu c: Xét hàm số \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Sự biến thiên: Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 2x + 9 > 0, ∀x\). Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị. Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\). Bảng biến thiên : Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\). Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔\) \(x=-\frac{1}{3}.\) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \(I\left ( -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ).\) Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \(x_1\) và \(x_2\) sao cho \(\left| {{x_1} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right| = \left| {{x_2} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right|\), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm \((-1;-9)\) và \(\left ( \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ).\) Câu d: Xét hàm số \(y=-2x^3+5\) Tập xác định:\(D=\mathbb{R}.\) Sự biến thiên: Đạo hàm: \(y' = -6x^2≤ 0, ∀x\). Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\). Hàm số không có cực trị. Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\) Bảng biến thiên: Đồ thị: Tính đối xứng: \(y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \(I(0;5)\) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;5)\), đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).\) Bài 2 trang 43 sách sgk giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: a) \(y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1\); b) \(y= {x^4} - 2{x^2} + 2\); c) \(y = {1 \over 2}{x^4} + {x^2} - {3 \over 2}\); d) \(y = - 2{x^2} - {x^4} + 3\). Giải: a) Tập xác định: \(\mathbb R\) ; Sự biến thiên: \(y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4)\); \( y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±2\) . - Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;2)\); nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) và \(2;+\infty)\). - Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \(x=-2\) và \(x=2\); \(y_{CĐ}=y(\pm 2)=15\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=-1\) - Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - \infty \) Bảng biến thiên : Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\) Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng. Đồ thị b) Tập xác định: \(\mathbb R\); Sự biến thiên: \(y' =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1)\); \(y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±1\) . - Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((0;1)\). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=2\). Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1\); \(y_{CT}=y(\pm 1)=1\). -Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \) Bảng biến thiên : Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng. Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;2)\) Đồ thị c) Tập xác định: \(\mathbb R\); Sự biến thiên: \(y' =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1)\); \(y' = 0 ⇔ x = 0\). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\); đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\). -Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}={-3\over 2}\) -Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \) Bảng biến thiên : Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng. Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((1;0)\); giao \(Oy\) tại \((0;{-3\over 2})\). Đồ thị như hình bên. d) Tập xác định: \(\mathbb R\); Sự biến thiên: \(y' = -4x - 4x^3= -4x(1 + x^2)\); \(y' = 0 ⇔ x = 0\). - Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;0)\); nghịch biến trên khoảng: \((0;+\infty)\). - Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=3\). - Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = -\infty \) Bảng biến thiên : Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng. Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((1;0)\) và \((-1;0)\); giao \(Oy\) tại điểm \((0;3)\). Đồ thị như hình bên. . Bài 3 trang 43 sách sgk giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức: a) \({{x + 3} \over {x - 1}}\) , b) \({{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}\) , c) \({{ - x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}\) Giải: a) Tập xác định : \(\mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\); * Sự biến thiên: \(y' = {{ - 4} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\) ; - Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\). - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Tiệm cận: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\) \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\) Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 1\); tiệm cận ngang là: \(y = 1\). Bảng biến thiên: * Đồ thị: Đồ thị nhận điểm \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng. Đồ thị giao trục tung tại:\((0;-3)\), trục hoành tại \((-3;0)\) b) Tập xác định : \(\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \); * Sự biến thiên: \(y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\) - Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\) - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Tiệm cận: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }} = + \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = - \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - 1\) Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 2\); tiệm cận ngang là:\( y = -1\). Bảng biến thiên : * Đồ thị: Đồ thị nhận điểm \(I(2;-1)\) lầm tâm đối xứng. Đồ thị giao trục tung tại: \(\left( {0; - {1 \over 4}} \right)\), trục hoành tại: \(\left( {{1 \over 2};0} \right)\) c) Tập xác định : \(R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\); Sự biến thiên: \(y' = {{ - 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}\) - Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;{-1\over 2})\) và \(({-1\over 2};+\infty)\) - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Tiệm cận: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - {1 \over 2}\) Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = - {1 \over 2}\); tiệm cận ngang là: \(y = - {1 \over 2}\). Bảng biến thiên : * Đồ thị Đồ thị nhận điểm \(I( - {1 \over 2}; - {1 \over 2})\) làm tâm đối xứng. Đồ thị giao \(Ox\) tại: \((2;0)\), \(Oy\) tại: \((0;2)\) Bài 4 trang 44 sách sgk giải tích 12. Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) \({x^3}-3{x^2} + 5 = 0\); b) \(- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\) ; c) \(2{x^2}-{x^4} = - 1\). Giải: a) Xét hàm số \(y ={x^3}-3{x^2} + 5\) . Tập xác định : \(\mathbb R\). * Sự biến thiên: \(y'{\rm{ }} = 3{x^{2}} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} = {\rm{ }}3x\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)\); \(y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2\). - Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((0;2)\). - Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=5\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\); \(y_{CT}=1\) - Giới hạn: \(\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \) Bảng biến thiên: * Đồ thị Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;5)\) Số nghiệm của phương trình chính là giao của đồ thị hàm số \(y ={x^3}-3{x^2} + 5\) và trục hoành. Do đó từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất. b) Xét hàm số \(y =- 2{x^3} + 3{x^2}\). Tập xác định : \(\mathbb R\). Sự biến thiên: \(y'= - 6{x^{2 + }}6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1\). - Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;0)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((0;1)\). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=0\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\); \(y_{CT}=-1\) - Giới hạn: \(\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \) Bảng biến thiên: * Đồ thị Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số \(y =- 2{x^3} + 3{x^2}\) với đường thẳng \(y=2\). Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất. c) Xét hàm số \(y = f(x) =2{x^2}-{x^4}\) Tập xác định : \(\mathbb R\). Sự biến thiên: \(y' = 4x -4{x^{3}} = 4x(1- {x^2})\); \(y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1\). - Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;-1)\) và \((0;1)\), nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1\); \(y_{CĐ}=1\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=0\) - Giới hạn: \(\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \) Bảng biến thiên: * Đồ thị Số nghiệm của phương trình là giao của đồ thị hàm số \(y = f(x) =2{x^2}-{x^4}\) và đường thẳng \(y = -1\), từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Bài 5 trang 44 sách sgk giải tích 12. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = -x^3+ 3x + 1\). b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số \(m\). \(x^3- 3x + m = 0\). Giải: a) Xét hàm số \(y = -x^3+ 3x + 1\). Tập xác định : \(\mathbb R\). * Sự biến thiên: \(y' = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1)\); \(y' = 0 ⇔ x = -1,x = 1\). - Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\); \(y_{CĐ}=3\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\); \(y_{CT}=-1\) - Giới hạn: \(\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \) Bảng biến thiên: * Đồ thị: Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \(I(0;1)\) và nhận \(I\) làm tâm đối xứng. b) \(x^3- 3x + m = 0\) \(⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1\) (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : \(y = m + 1\). Từ đồ thị ta thấy : +) \(m + 1 < -1 ⇔ m < -2 \): (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm. +) \(m + 1 = -1 ⇔ m = -2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm. +) \(-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2\) : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm. +) \( m + 1 = 3 ⇔ m = 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm. +) \(m + 1 > 3 ⇔ m > 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm. Bài 6 trang 44 sách sgk giải tích 12. Cho hàm số \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\) . a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt2)\). c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\). Giải: a) \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\). Tập xác định: \(\mathbb R\backslash \left\{ {{{ - m} \over 2}} \right\}\) ; \(y' = {{{m^2} + 2} \over {{{(2x + m)}^2}}} > 0,\forall x \ne - {m \over 2}\) Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Tiệm cận đứng \(∆\) : \(x = - {m \over 2}\). \(A(-1 ; \sqrt2) ∈ ∆\) \(⇔- {m \over 2}= -1 ⇔ m = 2\). c) \(m = 2\) thì hàm số đã cho có phương trình là: \(y = {{2x - 1} \over {2x + 2}}\). Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \) * Sự biến thiên: \(y' = {6 \over {{{(2x + 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\) - Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\) - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Tiệm cận: \(\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \cr} \) Tiệm cận đứng là \(x=-1\), tiệm cận ngang là: \(y=1\) - Bảng biến thiên * Đồ thị Đồ thị hàm số giao \(Ox\) tại điểm \(({1\over 2};0)\), giao \(Oy\) tại điểm \((0;{-1\over 2})\). Đồ thị hàm số nhận điểm \(I(-1;1)\) làm tâm đối xứng. Bài 7 trang 44 sách sgk giải tích 12. Cho hàm số y = \(\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+m\). a) Với giá trị nào của tham số \(m\), đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-1 ; 1)\) ? b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số khi \(m = 1\). c) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\). Hướng dẫn giải: a) Điểm \((-1 ; 1)\) thuộc đồ thị của hàm số \(⇔1=\frac{1}{4}(-1)^{4}+\frac{1}{2}(-1)^{2}+m\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\). b) \(m = 1\) \(\Rightarrow y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1\) . Tập xác định:\(\mathbb R\). * Sự biến thiên: \(y'=x^{3}+x=x(x^{2}+1); y' = 0 ⇔ x = 0\). - Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=1\) - Giới hạn: \(\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \) - Bảng biến thiên: * Đồ thị Đồ thị hàm số giao trục \(0y\) tại điểm \((0;1)\). c) \(\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}-3=0\Leftrightarrow x^{2}=1\Leftrightarrow x=\pm 1.\)Vậy hai điểm thuộc \((C)\) có tung độ \(\frac{7}{4}\) là \(A(1 ; \frac{7}{4})\) và \(B(-1 ; \frac{7}{4})\). Ta có \(y'(-1) = -2, y'(1) = 2\). Phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại \(A\) là: \(y - \frac{7}{4}= y'(1)(x - 1) ⇔ y = 2x -\frac{1}{4}\) Phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại \(B\) là : \(y - \frac{7}{4}= y'(-1)(x + 1) ⇔ y = -2x - \frac{1}{4}\). Bài 8 trang 44 sách sgk giải tích 12. Cho hàm số \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + 1 - m\) (m là tham số) có đồ thị là (Cm). a) Xác định \(m\) để hàm số có điểm cực đại là \(x=-1\). b) Xác định \(m\) để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại \(x=-2\). Hướng dẫn giải: a) \(y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x = x\left[ {3x + 2(m + 3)} \right]\); \(y' = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0\) hoặc \({x_2} = - {{2m + 6} \over 3}\) Xảy ra hai trường hợp đối với dấu của \(y'\): Trường hợp 1: \(x_1<x_2\) Bảng biến thiên: Trường hợp này hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) do đó trường hợp này loại. Trường hợp 2: \(x_2<x_1\) Bảng biến thiên: Để hàm số có điểm cực đại tại \(x = -1\) ta phải có \({x_2} = - {{2m + 6} \over 3} = - 1 \Leftrightarrow m = - {3 \over 2}\) (Chú ý : trường hợp \(x_1= x_2\) thì hàm số không có cực trị). b) (Cm) cắt \(Ox\) tại \(x = -2\)\( ⇔ -8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0 ⇔\) \(m = - {5 \over 3}\). Bài 9 trang 44 sgk giải tích 12. Cho hàm số \(y=\frac{(m+1)x-2m+1}{x-1}\) (m là tham số) có đồ thị là \((G)\). a) Xác định \(m\) để đồ thị \((G)\) đi qua điểm \((0 ; -1)\). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m\) tìm được. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung. Hướng dẫn giải: a) \((0 ; -1) ∈ (G) ⇔\)\(-1=\frac{(m+1)\cdot 0-2m+1}{0-1}\Leftrightarrow m=0.\) b) \(m = 0\) ta được hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) (G0). Tập xác định: \(D=\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\}\) * Sự biến thiên: \(y' = {{ - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0\forall x \in D\) - Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\). - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Tiệm cận: \(\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = + \infty \cr} \) Tiệm cận đứng là: \(x=1\), tiệm cận ngang là: \(y=1\) - Bảng biến thiên: * Đồ thị: Đồ thị hàm số giao trục \(Ox\) tại \((-1;0)\), trục \(Oy\) tại \((0;-1)\) Đồ thị hàm số nhận \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng. c) (G0) cắt trục tung tại \(M(0 ; -1)\). \(y'=\frac{-2}{(x-1)^{2}}\Rightarrow y'(0) = -2\). Phương trình tiếp tuyến của (G0) tại \(M\) là : \(y - (-1) = y'(0)(x - 0) ⇔ y= -2x - 1\).
