Bài 1 trang 55 sgk giải tích 12. Tính: a) \({9^{{2 \over 5}}}{.27^{{2 \over 5}}}\); b) \({144^{{3 \over 4}}}:{9^{{3 \over 4}}}\); c) \({\left( {{1 \over {16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {0,25} \right)^{{{ - 5} \over 2}}}\); d) \({\left( {0,04} \right)^{ - 1,5}} - {\left( {0,125} \right)^{{{ - 2} \over 3}}}\); Giải Có thể sử dụng máy tính cầm tay để thực hiện các phép tính. Sau đây là cách tính bằng cách sử dụng tính chất của lũy thừa: a) \({9^{{2 \over 5}}}{.27^{{2 \over 5}}} = {\left( {9.27} \right)^{{2 \over 5}}} = {\left( {{3^2}{{.3}^3}} \right)^{{2 \over 5}}} = \left( {{3^{5.{2 \over 5}}}} \right) = {3^2} = 9\). b) \(\eqalign{ & {144^{{3 \over 4}}}:{9^{{3 \over 4}}} = \left( {144:9}\right)^{3 \over 4} = {\left( {{{\left( {{{12} \over 3}} \right)}^2}} \right)^{{3 \over 4}}} \cr & = \left( {{4^{2.{3 \over 4}}}} \right) = {4^{{3 \over 2}}} = {2^3} = 8 \cr} \) c) \(\eqalign{ & {\left( {{1 \over {16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {0,25} \right)^{{{ - 5} \over 2}}} = {16^{0,75}} + {\left( {{1 \over 4}} \right)^{{{ - 5} \over 2}}} \cr & = {\left( {{2^4}} \right)^{0,75}} + {4^{2,5}} = {2^{4.0,75}} + {2^{2.2,5}} \cr & = {2^3} + {2^5} = 40 \cr} \) d) \(\eqalign{ & {\left( {0,04} \right)^{ - 1,5}} - {\left( {0,125} \right)^{{{ - 2} \over 3}}} \cr & = {\left( {{4 \over {100}}} \right)^{ - 1,5}} - {\left( {{{125} \over {1000}}} \right)^{{{ - 2} \over 3}}} \cr & = {\left( {{{100} \over 4}} \right)^{1,5}} - {8^{{2 \over 3}}} \cr & = {\left( {{5^2}} \right)^{{3 \over 2}}} - {\left( {{2^3}} \right)^{{2 \over 3}}} \cr & = {5^3} - {2^2} = 125 - 4 = 121 \cr} \) Bài 2 trang 55 sgk giải tích 12. Cho \(a, b\) là những số thực dương. Viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a) \(a^{\frac{1}{3}}\). \(\sqrt{a}\); b) \(b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. \sqrt[6]{b}\); c) \(a^{\frac{4}{3}}\) : \(\sqrt[3]{a}\); d) \(\sqrt[3]{b}\) : \(b^{\frac{1}{6}}\) ; Giải a)\(a^{\frac{1}{3}}\). \(\sqrt{a}\) = \(a^{\frac{1}{3}}. a^{\frac{1}{2}}\) = \(a^{\frac{5}{6}}\). b) \(b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. \sqrt[6]{b}\) = \(b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. b^{\frac{1}{6}}\) = \(b^{\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{6}}\) = b. c) \(a^{\frac{4}{3}}\) : \(\sqrt[3]{a}\)= \(a^{\frac{4}{3}}\): \(a^{\frac{1}{3}}\) = a. d) \(\sqrt[3]{b}\) : \(b^{\frac{1}{6}}\) = \(b^{\frac{2}{6}}\) : \(b^{\frac{1}{6}}\) = \(b^{\frac{1}{6}}\). Bài 3 trang 56 sgk giải tích 12. Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: a) \(1^{3,75}\) ; \(2^{-1}\) ; \((\frac{1}{2})^{-3}\) b) \(98^{0}\) ; \(\left ( \frac{3}{7} \right )^{-1}\) ; \(32^{\frac{1}{5}}\). Giải Các em học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các lũy thừa rồi sắp thứ tự cho đúng. Tuy nhiên để rèn luyện các tính chất của lũy thừa các em nên giải bài toán như sau: a) \(1^{3,75}\) = 1 = \(2^{0}\) ; \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{-3}\) = \(2^{3}\). Mặt khác trong hai lũy thừa cungc cơ số lớn hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn là lũy thừa lớn hơn. Do đó theo thứ tự tăng dần ta được: \(2^{-1}\) < \(1^{3,75}\) < \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{-3}\) b) \(98^{0}= 1 \)= \(\frac{3}{3}\) ; \(\left ( \frac{3}{7} \right )^{-1}\) = \(\frac{7}{3}\) ; \(32^{\frac{1}{5}}\) = \(\left ( 2^{5} \right )^{\frac{1}{5}}\) = 2 = \(\frac{6}{3}\). Do đó \(98^{0}\) < \(32^{\frac{1}{5}}\) < \(\left ( \frac{3}{7} \right )^{-1}\). Bài 4 trang 56 sgk giải tích 12. Cho \(a, b\) là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau: a) \({{{a^{{4 \over 3}}}\left( {{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^{{2 \over 3}}}} \right)} \over {{a^{{1 \over 4}}}\left( {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{{ - 1} \over 4}}}} \right)}}\) ; b) \({{{b^{{1 \over 5}}}\left( {\root 5 \of {{b^4}} - \root 5 \of {{b^{ - 1}}} } \right)} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left( {\root 3 \of b - \root 3 \of {{b^{ - 2}}} } \right)}};\) c) \({{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}} - {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}} \over {\root 3 \of {{a^2}} - \root 3 \of {{b^2}} }}\); d) \({{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a + \root 6 \of b }}\) Giải a) \({{{a^{{4 \over 3}}}\left( {{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^{{2 \over 3}}}} \right)} \over {{a^{{1 \over 4}}}\left( {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{{ - 1} \over 4}}}} \right)}}\) \( = {{{a^{{4 \over 3}}}{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^{{4 \over 3}}}{a^{{2 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 4}}}{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 4}}}{a^{{{ - 1} \over 4}}}}}\) \( = {{{a^{{4 \over 3} - {1 \over 3}}} + {a^{{4 \over 3} + {2 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 4} + {3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 4} + {{ - 1} \over 4}}}}} = {{{a^1} + {a^2}} \over {{a^1} + {a^0}}} = {{a\left( {1 + a} \right)} \over {a + 1}} = a\) b) \({{{b^{{1 \over 5}}}\left( {\root 5 \of {{b^4}} - \root 5 \of {{b^{ - 1}}} } \right)} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left( {\root 3 \of b - \root 3 \of {{b^{ - 2}}} } \right)}} = {{{b^{{1 \over 5}}}\left( {{b^{{4 \over 5}}} - {b^{{{ - 1} \over 5}}}} \right)} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left( {{b^{{1 \over 3}}} - {b^{{{ - 2} \over 3}}}} \right)}}\) \(= {{{b^{{1 \over 5} - {4 \over 5}}} - {b^{{1 \over 5} - {1 \over 5}}}} \over {{b^{{2 \over 3} + {1 \over 3}}} - {b^{{2 \over 3} - {2 \over 3}}}}} = {{b - 1} \over {b - 1}} = 1\) ( Với điều kiện b ≠ 1) c) \({{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}} - {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}} \over {\root 3 \of {{a^2}} - \root 3 \of {{b^2}} }}\) \(= {{{a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}}\left( {{a^{{2 \over 3}}} - {b^{{2 \over 3}}}} \right)} \over {{a^{{2 \over 3}}} - {b^{{2 \over 3}}}}}\) \( = {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}} = {1 \over {{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}}} = {1 \over {\root 3 \of {ab} }}\) ( với điều kiện a ≠ b). d) \({{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a + \root 6 \of b }}\) \(= {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 3}}}{a^{{1 \over 2}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}}\) \(= {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 3}}}{a^{{1 \over 2}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}} = {{{a^{{2 \over 6}}}{b^{{3 \over 6}}} + {b^{{2 \over 6}}}{a^{{3 \over 6}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}}\) \(= {{{a^{{2 \over 6}}}{b^{{2 \over 6}}}\left( {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}} \right)} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}} = {a^{{2 \over 6}}}{b^{{2 \over 6}}} = {a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}} = \root 3 \of {ab} .\) Bài 5 trang 56 sgk giải tích 12. Chứng minh rằng: a) \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}}\) < \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\); b) \(7^{\sqrt[6]{3}}\) > \(7^{\sqrt[3]{6}}\). Giải Các em học sinh nên sử dụng các tính chất của lũy thừa dể giải bài toán này a) ta có \(2\sqrt5\)= \(\sqrt{2^{2}.5}= \sqrt{20}\) ; \(3\sqrt2\) = \(\sqrt{3^{2}.2}\)= \(\sqrt {18}=> 2\sqrt5 > 3\sqrt2\) => \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}}\) < \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\) b) \(6\sqrt3 = \sqrt{6^{2}.3}\) = \(\sqrt {108}\) ; \(3\sqrt 6\) = \(\sqrt{3^{2}.6}\)= \(\sqrt{54}\) \(=> 6\sqrt3 > 3\sqrt6 => \) \(7^{\sqrt[6]{3}}\) > \(7^{\sqrt[3]{6}}\)
