Bài 1. Không sử dụng máy tính, hãy tính: a) \(log_{2}\frac{1}{8}\); b)\(log_{\frac{1}{4}}2\) ; c) \(log_{3}\sqrt[4]{3}\); d) \(log_{0,5}0,125\). Giải a) \(log_{2}\frac{1}{8}\) = \(log_{2}2^{-3}= -3\). b)\(log_{\frac{1}{4}}2\) = \(log_{2^{-2}}2\) = \(-\frac{1}{2}\). hoặc dùng công thức đổi cơ số : \(log_{\frac{1}{4}}2\) = \(\frac{log_{2}2}{log_{2}\frac{1}{4}}\) = \(\frac{1}{log_{2}2^{-2}}\) = \(-\frac{1}{2}\). c) \(log_{3}\sqrt[4]{3}\) = \(log_{3}3^{\frac{1}{4}}\) = \(\frac{1}{4}\). d) \(log_{0,5}0,125\) = \(log_{0,5}0,5^{3} = 3\). Bài 2. Tính: a) \({4^{lo{g_2}3}}\); b) \({27^{lo{g_9}2}}\); c) \({9^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}}\) d) \({4^{lo{g_8}27}}\);. Giải: a) \({4^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\). b) \(\eqalign{ & {27^{lo{g_9}2}} = {\left( {{3^3}} \right)^{lo{g_9}2}} = {\left( {{9^{{1 \over 2}}}} \right)^{3lo{g_9}2}} \cr & = {\left( {{9^{lo{g_9}2}}} \right)^{{3 \over 2}}} = {2^{{3 \over 2}}} = 2\sqrt 2 \cr} \) c) \({9^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}} \right)^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}}} \right)^4} = {2^4} \)\(= 16\) d) Có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}{\rm{27 = }}lo{g_{{2^3}}}{3^3} = {3 \over 3}lo{g_2}3 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{\rm{3}}\) nên \({4^{lo{g_8}27}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\). Bài 3 trang 68 sgk giải tích 12. Rút gọn biểu thức: a)\(lo{g_3}6.{\rm{ }}lo{g_8}9.{\rm{ }}lo{g_6}2\); b) \(lo{g_a}{b^2} + {\rm{ }}lo{g_{{a^2}}}{b^4}\). Giải: a) Từ công thức đổi cơ số suy ra \(∀a,b,c > 0\) \((a,b \ne 1)\), \(lo{g_a}b.{\rm{ }}lo{g_b}c{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_a}c\). Do đó \(lo{g_3}6.{\rm{ }}lo{g_8}9.{\rm{ }}lo{g_6}2 = ({\rm{ }}lo{g_3}6.{\rm{ l}}o{g_6}2).\)\(log_{2^{3}}3^{2}\) = \(lo{g_3}2 .\frac{2}{3}lo{g_2}3\) = \(\frac{2}{3}\). b) \(lo{g_a}{b^2}\)+ \(log_{a^{2}}b^{4}\)= \(lo{g_a}{b^2}+lo{g_a}{b^2}=2lo{g_a}{b^2}\)= \(4{\rm{ }}lo{g_a}\left| b \right|\). Bài 4 trang 68 sgk giải tích 12. So sánh các cặp số sau: a) \(lo{g_3}5\) và \(lo{g_7}4\); b) \(log_{0,3}2\) và \(lo{g_5}3\); c) \(lo{g_2}10\) và \(lo{g_5}30\). Giải: a) Bằng máy tính cầm tay ta tính được \(lo{g_3}5 ≈ 1,464973521\); \(lo{g_7}4≈ 0,7124143742\), điều này gợi ý ta tìm cách chứng minh \(lo{g_3}5{\rm{ }} > 1 > lo{g_7}4\). Thật vậy, sử dụng tính chất của lôgarit và tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số ta có \(3^{log_{3}5} = 5 > 3 = 3^1 \Rightarrow lo{g_3}5{\rm{ }} > 1\). Tương tự \(7^1= 7> 4 = \)\(7^{log_{7}4}\) \(\Rightarrow 1 > lo{g_7}4\). Từ đó \(lo{g_3}5>lo{g_7}4\). b) Ta có \(\left ( 0,3 \right )^{log_{0,3}2} = 2 >1 ={(0,3)}^0\Rightarrow log_{0,3}2<0\) và \(\left ( 5 \right )^{log_{5}3}= 3 > 1 =5^0\Rightarrow lo{g_5}3 > 0\). Từ đó \(log_{0,3}2<lo{g_5}3\). c) \(2^{log_{2}10} = 10 > 2^3\Rightarrow log_{2}10>3\) và \(5^{log_{5}30} = 30 < 5^3\)\(\Rightarrow log_{5}30<3\), do đó \(lo{g_2}10>lo{g_5}30\). Bài 5 trang 68 sgk giải tích 12. a) Cho \(a = lo{g_{30}}3,b = lo{g_{30}}5\). Hãy tính \(lo{g_{30}}1350\) theo \(a, b\). b) Cho \(c =lo{g_{15}}3\). Hãy tính \(lo{g_{25}}15\) theo \(c\). Giải: a) Ta có \(1350 = 30.3^2 .5\) suy ra \(lo{g_{30}}1350 =lo{g_{30}}(30.{3^2}.5) =1 + 2lo{g_{30}}3 + lo{g_{30}}5\)\( = 1 + 2a+b\). b) \(lo{g_{25}}15\) = \(\frac{1}{log_{15}25}\) = \(\frac{1}{2log_{15}5}\) = \(\frac{1}{2log_{15}\left ( 15: 3 \right )}\) = \(\frac{1}{2\left (1-log_{15}3 \right )}\) = \(\frac{1}{2\left (1-c \right )}\).
