Bài tập 1 - Trang 112 - SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau: a)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\) b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\) c)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)}dx\) d) \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\) e)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\) g) \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\) Giải: a) \(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\) = \(-\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{2}{3}}d(1-x)=-\frac{3}{5}(1-x)^{\frac{5}{3}}|_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\) = \(-\frac{3}{5}\left [ \frac{1}{2\sqrt[3]{4}}-\frac{3\sqrt[3]{9}}{2\sqrt[3]{4}} \right ]=\frac{3}{10\sqrt[3]{4}}(3\sqrt[3]{9}-1)\) b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)=\(-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)d(\frac{\pi}{4}-x)\) = \(cos(\frac{\pi}{4}-x)|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) = \(cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2})-cos\frac{\pi}{4}=0\) c)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)}dx\)=\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx =ln\left | \frac{x}{x+1} \right ||_{\frac{1}{2}}^{2}=ln2\) d)\(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)= \(\int_{0}^{2}(x^{3}+2x^{2}+x)dx=(\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+\frac{x^{2}}{2})|_{0}^{2}\) = \(\frac{16}{4}+\frac{16}{3}+2= 11\tfrac{1}{3}\) e)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)= \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{-3(x+1)+4}{(x+1)^{2}}dx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\left [ \frac{-3}{x+1}+\frac{4}{(x+1)^{2}} \right ]dx\) = \(\left ( -3.ln\left | x+1 \right |-\frac{4}{x+1} \right )|_{\frac{1}{2}}^{2}= \frac{4}{3}-3ln2\) g)Ta có \(f(x) = sin3xcos5x\) là hàm số lẻ. Vì \(f(-x) = sin(-3x)cos(-5x)\) \(= -sin3xcos5x = -f(x)\) nên: \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5x =0\) Chú ý: Có thể tính trực tiếp bằng cách đặt \(x= -t\) hoặc biến đổi thành tổng. Bài tập 2 - Trang 112 - SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau: a) \(\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\) b) \(\int_0^{{\pi \over 2}} s i{n^2}xdx\) c) \(\int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\) d) \(\int_0^\pi s in2xco{s^2}xdx\) Hướng dẫn giải: a) Ta có \(1 - x = 0 ⇔ x = 1\). \(\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 - x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\) \(= - \int_0^1 {(1 - x)} d(1 - x) + \int_1^2 {(x - 1)} d(x - 1)\) \( = - {{{{(1 - x)}^2}} \over 2}|_0^1 + {{{{(x - 1)}^2}} \over 2}|_1^2 = {1 \over 2} + {1 \over 2} = 1\) b) \(\int_0^{{\pi \over 2}} s i{n^2}xdx\) \( = {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {(1 - cos2x)} dx\) \( = {1 \over 2}\left( {x - {1 \over 2}sin2x} \right)|_0^{{\pi \over 2}} = {\pi \over 4}\) c) \(\int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx = \int_0^{ln2} {({e^{x + 1}} + {e^{ - x}})} dx\) \( = ({e^{x + 1}} - {e^{ - x}})|_0^{ln2} = e + {1 \over 2}\) d) Ta có : \(sin2xcos^2x\) = \({1 \over 2}sin2x(1 + cos2x) = {1 \over 2}sin2x + {1 \over 4}sin4x\) Do đó : \(\eqalign{ & \int_0^\pi s in2xco{s^2}xdx = \int_0^\pi {({1 \over 2}sin2x + {1 \over 4}sin4x)} dx \cr & = ( - {1 \over 4}cos2x - {1 \over {16}}cos4x)|_0^\pi \cr & = - {1 \over 4} - {1 \over {16}} + {1 \over 4} + {1 \over {16}} = 0 \cr} \). Bài tập 3 - Trang 113 -SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân: a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt \(u= x+1\)) b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) (Đặt \(x = sint\) ) c) \(\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\) (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\)) d)\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\) (Đặt \(x= asint\)) Hướng dẫn giải: a) Đặt \(u= x+1 \Rightarrow du = dx\) và \(x = u - 1\). Khi \(x =0\) thì \(u = 1, x = 3\) thì \(u = 4\). Khi đó : \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) = \(\int_{1}^{4}\frac{(u-1)^{2}}{u^{\frac{3}{2}}}du =\int_{1}^{4}\frac{u^{2}-2u+1}{u^{\frac{3}{2}}}du\) = \((\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4.u^{\frac{1}{2}}-2u^{\frac{-1}{2}})|_{1}^{4}=\frac{5}{3}\) b) Đặt \(x = sint\), \(0<t<\frac{\pi}{2}\). Ta có: \(dx = costdt\) và \(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.\) Khi \(x = 0\) thì \(t = 0\), khi \(x = 1\) thì \(t= \frac{\pi}{2}\) . Khi đó: \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2}tdt= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+cos2t)dt\) \(=\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}sin 2t)|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-0)= \frac{\pi}{4}\) c) Đặt: \(t = 1 + x{e^x} \Rightarrow dt = {e^x}(1 + x)dx\) Khi \(x = 0 \Rightarrow t = 1\) Khi \(x = 1 \Rightarrow t = 1 + e\) Do đó ta có: \(\int\limits_0^1 {{{{e^x}(1 + x)} \over {1 + x{e^x}}}dx = \int\limits_1^{1 + e} {{{dt} \over t} = {\rm{[}}\ln |t|{\rm{]}}} } \left| {_1^{1 + e} = \ln (1 + e)} \right.\). d) Đặt \(x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt\) Đổi cận: \(\eqalign{ & x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr & x = {a \over 2} \Rightarrow t = {\pi \over 6} \cr} \) Do đó ta có: \(\int\limits_0^{{a \over 2}} {{1 \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx = \int\limits_0^{{\pi \over 6}} {{{a\cos tdt} \over {\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }} = \int\limits_0^{{\pi \over 6}} {dt = t\left| {_0^{{\pi \over 6}} = {\pi \over 6}} \right.} } } \). Bài tập 4 - Trang 113- SGK Toán Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân: a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\) ; b) \(\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\) c)\(\int_{0}^{1}ln(1+x))dx\) ; d)\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\) Hướng dẫn giải: a) Đặt \(u=x+1\); \(dv=sinxdx\) \(\Rightarrow du = dx ;v = -cosx\). Khi đó: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx=-(x+1)cosx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx\) \(=1 +sinx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\) b)\(\frac{1}{9}(2e^{3}+1)\). HD: Đặt u = ln x ,dv = x2dx c) Đặt \(\eqalign{ & u = \ln x \Rightarrow du = {1 \over x}dx \cr & dv = {x^2}dx \Rightarrow v = {{{x^3}} \over 3} \cr} \) Do đó ta có: \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = {{{x^3}} \over 3}.lnx\left| {_1^e - \int\limits_1^e {{{{x^3}} \over 3}dx = {{{e^3}} \over 3} - \left[ {{{{x^3}} \over 9}} \right]} \left| {_1^e} \right.} \right.}\)\( = {{{e^3}} \over 3} - {{{e^3} - 1} \over 9} = {{2{e^3} + 1} \over 9}\) d) Ta có : \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{x}dx= \int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}dx\)\(-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\) Đặt \(u= {x^2} - 1\); \(dv{\rm{ }} = {\rm{ }}{e^{ - x}}dx\) \(\Rightarrow du = 2xdx ;v = -e^{-x}\) Khi đó : \(\int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}=-e^{-x}(x^{2}-1)|_{0}^{1}+2\int_{0}^{1}xe^{-x}dx\) \(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\) Vậy : \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\) =\(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\) = -1 Bài tập 5 - Trang 113 - SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau: a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\) ; b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\) c) \(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx\) Hướng dẫn giải : a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}d(1+3x)\) \(=\frac{1}{3}\frac{2}{5}(1+3x)^{\frac{5}{2}}|_{0}^{1}=4\tfrac{2}{15}\) b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx= \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+1)}dx= \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x(x+1)+1}{x+1}dx\) \(=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(x+\frac{1}{x+1})dx=(\frac{x^{2}}{2}+ln\left | x+1 \right |)|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}+ln\frac{3}{2}\) c) Đặt \(u = ln(1+x)\), \(dv=\frac{1}{x^{2}}dx\)\( \Rightarrow du=\frac{1}{1+x},v=-\frac{1}{x}\) Khi đó : \(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}ln(1+x)|_{1}^{2}+\int_{1}^{2}\frac{dx}{x(1+x)}\) \(= - {{\ln 3} \over 2} + \ln 2 +\int\limits_1^2 {\left( {{1 \over x} - {1 \over {x + 1}}} \right)dx} \) \(={\ln {2 \over {\sqrt 3 }} + {\rm{[}}\ln |x| - ln|x + 1|{\rm{]}}\left| {_1^2 = \ln {2 \over {\sqrt 3 }} + \ln {4 \over 3} } \right.}\) \(= \ln {8 \over {3\sqrt 3 }}\) Bài tập 6 - Trang 113 - SGK Giải tích 12. Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp: a) Đổi biến số : \(u = 1 - x\); b) Tính tích phân từng phần. Giải: a) Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow dx = - du\). Khi \(x = 0\) thì \(u = 1\), khi \(x = 1\) thì \(u = 0\). Khi đó: \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=\int_{0}^{1}(1-u)u^{5}du=(\frac{1}{6}u^{6}-\frac{1}{7}u^{7})|_{0}^{1}\)\(=\frac{1}{42}.\) b) Đặt \(u = x\); \(dv = (1 – x)^5dx\) \(\Rightarrow du = dx\); \(v=-\frac{(1+x)^{6}}{6}\). Khi đó: \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=-\frac{x(1-x)^{6}}{6}|_{0}^{1}+\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^{6}dx\) \(=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^{6}d(1-x)=-\frac{1}{42}(1-x)^{7}|_{0}^{1}=\frac{1}{42}\).
