Câu 1 trang 143 SGK Giải tích 12. Thế nào là phần thực, phần ảo, modun của số phức? Viết công thức tính môdun của một số phức theo phần thực và phần ảo của nó. Trả lời: - Mỗi biểu thức dạng \(a+bi\), trong đó \(a, b ∈ R, i^2= -1\) được gọi làm một số phức. - Với số phức \(z = a + bi\), ta gọi \(a\) là phần thực, số \(b\) gọi là phần ảo của \(z\). - Ta có \(z = a + bi\) thì môdun của \(z\) là \(|z| = |a + bi| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \). Câu 2 trang 143 SGK Giải tích 12. Tìm mối liên hệ giữa khái niệm môdun và khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực. Trả lời: - Nếu số thực \(x\) là một số thực thì môdun \(x\) chính là giá trị tuyệt đối của số phức \(z\). - Nếu số phức \(z\) không phải là một số thực thì chỉ có môdun của \(z\), không có khái niệm giá trị tuyệt đối của \(z\). Câu 3 trang 143 SGK Giải tích 12. Nêu định nghĩa số phức liên hợp của số phức \(z\). Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó? Trả lời: *Cho số phức \(z = a + bi\). Ta gọi số phức \(a – bi\) là số phức liên hợp của \(z\) và kí hiệu là \(\bar z\). Vậy ta có \(z = a + bi\) thì \(\bar z= a – bi\) *Số phức \(z\) bằng số phức liên hợp của nó \(⇔ a = a\) và \(b = -b\) \(⇔ a ∈ R\) và \(b = 0 ⇔ z\) là một số thực. Câu 4 trang 143 SGK Giải tích 12. Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình a), b), c) sau: Trả lời: Giả sử \(z = x + yi\) (\(x,y \in \mathbb R\)), khi đó số phức \(z\) được biểu diễn bởi điểm \(M(x, y)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). a) Trên hình 71.a (SGK), điểm biểu diễn ở phần gạch chéo có hoành độ có hoành độ \(x ≥ 1\), tung độ \(y\) tùy ý. Vậy số phức có phần thực lớn hơn hoặc bằng \(-1\) có điểm biểu diễn ở hình 71.a (SGK) b) Trên hình 71.b(SGK), điểm biểu diễn có tung độ \(y ∈ [1, 2]\), hoành độ \(x\) tùy ý. Vậy số phức có phần ảo thuộc đoạn \([-1, 2]\) c) Trên hình 71.c (SGK), hình biểu diễn \(z\) có hoành độ \(x ∈ [-1, 1]\) và \(x^2+y^2≤ 4\) (vì \(|z| ≤ 4\)). Vậy số phức có phần thực thuộc đoạn \([-1, 1]\) và môdun không vượt quá \(2\). Câu 5 trang 143 SGK Giải tích 12. Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện: a) phần thực của \(z\) bằng \(1\) b) phần ảo của \(z\) bằng \(-2\) c) Phần thực của \(z\) thuộc đoạn \([-1, 2]\), phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([0, 1]\) d) \(|z| ≤ 2\) Trả lời: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là các hình sau: a) Ta có \(x = 1, y\) tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là đường thẳng \(x = 1\) (hình a) b) Ta có \(y = -2, x\) tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là đường thẳng \(y = -2\) (hình b) c) Ta có \(x ∈ [-1, 2]\) và \(y ∈ [0, 1]\) nên tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là hình chữ nhật sọc (hình c) d) Ta có: \(\left| z \right| \le 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 4\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là hình tròn tâm \(O\) (gốc tọa độ) bán kính bằng \(2\) (kể cả các điểm trên đường tròn) (hình d) Câu 6 trang 143 SGK Giải tích 12. Tìm các số thực \(x, y\) sao cho: a) \(3x + yi = 2y + 1 + (2-x)i\) b) \(2x + y – 1 = (x – 2y – 5)i\) Trả lời: a) \(\eqalign{ & 3x + yi = (2y + 1)+(2 - x)i \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x = 2y + 1 \hfill \cr y = 2 - x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) b) \(\eqalign{ & 2x + y - 1 = (x + 2y - 5)i \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x + y - 1 = 0 \hfill \cr x + 2y - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \) Câu 7 trang 143 trang SGK Giải tích 12. Chứng tỏ rằng với mọi số phức \(z\), ta luôn có phần thực và phần ảo của \(z\) không vượt quá môdun của nó. Trả lời: Giả sử \(z = a + b\)i Khi đó: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\) Từ đó suy ra: \(|z| \ge \sqrt {{a^2}} = |a| \ge a,|z| \ge \sqrt {{b^2}} = |b| \ge b\) Câu 8 trang 143 SGK Giải tích 12. Thực hiện các phép tính sau: a) \((3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]\) b) \((4 - 3i) + {{1 + i} \over {2 + i}}\) c) \((1 + i)^2 – (1 – i)^2\) d) \({{3 + i} \over {2 + i}} - {{4 - 3i} \over {2 - i}}\) Trả lời: a) \((3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]= (3 + 2i)(5 – 3i) = 21 + i\) b) \(\eqalign{ & (4 - 3i) + {{1 + i} \over {2 + i}} = (4 - 3i) + {{(1 + i)(2 - i)} \over 5} = (4 - 3i)({3 \over 5} + {1 \over 5}i) \cr & = (4 + {3 \over 5}) - (3 - {1 \over 5})i = {{23} \over 5} - {{14} \over 5}i \cr} \) c) \((1 + i)^2 – (1 – i)^2 = 2i – (-2i) = 4i\) d) \(\eqalign{ & {{3 + i} \over {2 + i}} - {{4 - 3i} \over {2 - i}} = {{(3 + i)(2 - i)} \over 5} - {{(4 - 3i)(2 + i)} \over 5} \cr & = {{7 - i} \over 5} - {{11 - 2i} \over 5} = {{ - 4} \over 5} + {1 \over 5}i \cr} \) Câu 1 trang 144 SGK Giải tích 12. Số nào trong các số sau là số thực? A. \((\sqrt3 + 2i) – (\sqrt3 - 2i)\) B. \((2 + i\sqrt5) + (2 - i\sqrt5)\) C. \((1 + i\sqrt3)^2\) D. \({{\sqrt 2 + i} \over {\sqrt 2 - i}}\) Trả lời: Ta tìm phần ảo của các số đã cho: (A) \((\sqrt3 + 2i) – (\sqrt3 - 2i)\) có phần ảo là \(4i\) (B) \((2 + i\sqrt5) + (2 - i\sqrt5)\) có phần ảo là \(0\) (C) \((1 + i\sqrt3)^2\) có phần ảo là \(2\sqrt3\) (D) \({{\sqrt 2 + i} \over {\sqrt 2 - i}}\) có phần ảo là \({2 \over 3}\sqrt 2 \) Chọn đáp án (B) Câu 2 trang 144 SGK Giải tích 12. Số nào trong các số sau là số thuần ảo? A. \((\sqrt2+ 3i) – (\sqrt2 + 3i)\) B. \((\sqrt2+ 3i) . (\sqrt2 + 3i)\) C. \((2 + 2i)^2\) D. \({{2 + 3i} \over {2 - 3i}}\) Trả lời: Ta tìm phần thực của các số đã cho: (A) \((\sqrt2+ 3i) – (\sqrt2 + 3i)\) có phần thực là \(2\sqrt2\) (B) \((\sqrt2+ 3i) . (\sqrt2 + 3i) = 11\) là số thực (C) \((2 + 2i)^2\) có phần thực bằng \(-5\) (D) \({{2 + 3i} \over {2 - 3i}} = {{(3 + 2i)(2 + 3i)} \over {13}} = i\) là số ảo Chọn đáp án (D) Câu 3 trang 144 SGK Giải tích 12. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng? A. \({i^{1997}}= -1\) B. \({i^{2345}} = {\rm{ }} - 1\) C. \({i^{2005}} = 1\) D. \({i^{2006}} = {\rm{ }} - i\) Trả lời: Ta có: (A). \({i^{1997}}{\rm{ }} = {\rm{ }}{i^{1976 + 1}}{\rm{ }} = {\rm{ }}{({i^4})^{494}}.i{\rm{ }} = {\rm{ }}i{\rm{ }} \ne {\rm{ }} - 1\) (B). \({i^{2345}} = {\rm{ }}{i^{2344 + 1}} = {\rm{ }}{({i^4})^{586}}.i{\rm{ }} = {\rm{ }}i\) (C) \({i^{2005}} = {\rm{ }}{i^{2004 + 1}} = {\rm{ }}{({i^4})^{501}}.i{\rm{ }} = {\rm{ }}i{\rm{ }} \ne {\rm{ }}1\) (D) \({i^{2006}} = {\rm{ }}{({i^4})^{501}}.({i^2}){\rm{ }} = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} \ne {\rm{ }} - i\) Chọn đáp án (B) Câu 4 trang 144 SGK Giải tích 12. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng? A. \({\left( {1 + i} \right)^{8}} =- 16\) B. \({\left( {1 + i} \right)^{8}} =16i\) C. \({\left( {1 + i} \right)^{8}} = 16\) D. \({\left( {1 + i} \right)^{8}} =- 16i\) Trả lời: Tiến hành tính lần lượt ta có: \((1+i)^2= 2i ⇒ (1 + i)^4= -4\) \(⇒ (1 + i)^8= 16\) Chọn đáp án C Câu 5 trang 144 SGK Giải tích 12. Biết rằng nghịch đảo của số phức \(z\) bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng? A. \(z ∈ R\) B. \(|z| = 1\) C. \(z\) là một số thuần ảo D. \(|z| = -1\) Trả lời: Ta có: \({1 \over z} = \bar z \Rightarrow z.\bar z = 1 \Rightarrow |z| = 1\) Chọn đáp án (B) Câu 6 trang 144 SGK Giải tích 12. Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai? A. Môdun của số phức \(z\) là một số thực B. Môdun của số phức \(z\) là một số phức C. Môdun của số phức \(z\) là một số thực dương D. Môdun của số phức \(z\) là một số thực không âm. Trả lời: Môdun của số phức là một số phức không âm nên nó có thể bằng \(0\). Chọn đáp án (C) Câu 9 trang 144 SGK Giải tích 12. Giải tích phương trình sau trên tập số phức a) \((3 + 4i)z + (1 – 3i) = 2 + 5i\) b) \((4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz\) Trả lời: a) \((3 + 4i)z = (2 + 5i) – (1 – 3i) = 1 + 8i\) Vậy \(z = {{1 + 8i} \over {3 + 4i}} = {{(1 + 8i)(3 - 4i)} \over {25}} = {{35} \over {25}} + {{20} \over {25}}i = {7 \over 5} + {4 \over 5}i\) b) \((4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz ⇔ (4 + 7i)z – 6iz = 5 – 2i\) \(⇔ (4 + i)z = 5 – 2i\) \( \Leftrightarrow z = {{5 - 2i} \over {4 + i}} = {{(5 - 2i)(4 - i)} \over {17}} \Leftrightarrow z = {{18} \over {17}} - {{13} \over {17}}i\) Câu 10 trang 144 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\) b) \(z^4– 8 = 0\) c) \(z^4– 1 = 0\) Trả lời: a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\) có \(Δ = 49 – 4.3.8 = -47\) Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({z_{1,2}} = {{ - 7 \pm i\sqrt {47} } \over 6}\) b) \(z^4– 8 = 0\) Đặt \(Z = z^2\), ta được phương trình : \(Z^2 – 8 = 0\) Suy ra: \(Z = ± \sqrt8\) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: \({z_{1,2}} = \pm \root 4 \of 8 ,{z_{3,4}} = \pm i\root 4 \of 8 \) c) \(z^4– 1 = 0\)\( ⇔ (z^2– 1)(z^2+ 1) = 0\) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(±1\) và \(±i\) Câu 11 trang 144 SGK Giải tích 12. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(3\) và tích của chúng bằng \(4\). Trả lời: Giả sử hai số cần tìm là \(z_1\) và \(z_2\). Ta có: \(z_1 + z_2 = 3\); \(z_1. z_2 = 4\) Rõ ràng, \(z_1, z_2\) là các nghiệm của phương trình: \((z – z_1)(z – z_2) = 0\) hay \(z^2– (z_1 + z_2)z + z_1. z_2 = 0\) Vậy \(z_1, z_2\) là các nghiệm của phương trình: \(z^2 – 3z + 4 = 0\) Phương trình có \(Δ = 9 – 16 = -7\) Vậy hai số phức cần tìm là: \({z_1} = {{3 + i\sqrt 7 } \over 2},{z_2} = {{3 - i\sqrt 7 } \over 2}\) Câu 12 trang 144 SGK Giải tích 12. Cho hai số phức \(z_1, z_2\). Biết rằng \(z_1 + z_2\) và \(z_1. z_2\) là hai số thực. Chứng minh rằng \(z_1, z_2\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Trả lời: Đặt \(z_1 + z_2 = a\); \(z_1. z_2 = b; a, b ∈ \mathbb R\) Khi đó, \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \((z – z_1)(z – z_2) = 0\) hay \(z^2– (z_1 + z_2)z + z_1. z_2 = 0 ⇔ z^2 – az + b = 0\) Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.
