Bài 1 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) \(y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\) b) \(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\) c) \(y = x + {3 \over x}\) d) \(y = x - {2 \over x}\) e) \(y = {x^4} - 2{x^2} - 5\) f) \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) Giải a) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) \(\eqalign{ & y' = 6{x^2} + 6x \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0\,\,\left( {y = 1} \right) \hfill \cr x = - 1\,\,\left( {y = 2} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\). b) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) \(\eqalign{ & y' = 3{x^2} - 4x + 1 \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\,\,\left( {y = 1} \right) \hfill \cr x = {1 \over 3}\,\,\left( {y = {{31} \over {27}}} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right)\) và \(\,\left( {1; + \infty } \right)\) , nghịch biến trên khoảng \(\,\left( {{1 \over 3};1} \right)\). c) Tập xác định: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\) \(\eqalign{ & y' = 1 - {3 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 3} \over {{x^2}}} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \sqrt 3 \,\,\left( {y = 2\sqrt 3 } \right) \hfill \cr x = - \sqrt 3 \,\,\left( {y = - 2\sqrt 3 } \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)\) và \(\,\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\) , nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và \(\,\left( {0;\sqrt 3 } \right)\). d) Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\) \(y' = 1 + {2 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 0\) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\,\,\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). e) Tập xác định: \(D= \mathbb R\) \(y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right);y' = 0 \) \( \Leftrightarrow \,\left[ \matrix{ x = 0\,\,\,\,\left( {y = - 5} \right) \hfill \cr x = \pm 1\,\,\,\,\left( {y = - 6} \right) \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\,\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\), đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). f) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\) Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\) \(y' = {{ - 2x} \over {2\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow \)\(x = 0\,\,\,\left( {y = 2} \right)\) Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). Bài 2 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng: a) Hàm số \(y = {{x - 2} \over {x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó; b)Hàm số \(y = {{ - {x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Giải a) Tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) \(y' = {{\left| \matrix{ 1\,\,\,\, - 2 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {4 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne - 2\) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\). b) Tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) \(y' = {{\left( { - 2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x - 5} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne - 1\). Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Bài 3 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb R\): a) \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4;\) b) \(f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4\) Giải a) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 17 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb R\) (vì \(a > 0,\Delta ' < 0\)) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\). b) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 1 + \sin x\) Vì \(1 + \sin x \ge 0\) và \(3{x^2} \ge 0\) nên \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb R\), với \(x = 0\) thì \(1 + \sin x = 1 > 0\) nên \(f'\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb R\) do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\). Bài 4 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Với các giá trị nào của a hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\) Giải Tập xác định \(D=\mathbb R\) \(y' = a - 3{x^2}\) • Nếu \(a < 0\) thì \(y' < 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\). • Nếu \(a = 0\) thì \(y' = - 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=0\). Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\). • Nếu \(a > 0\) thì \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm {\sqrt {a \over 3}}\) Ta có bảng biến thiên Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên \({\mathbb R}\) Vậy hàm số nghịch biến trên \({\mathbb R}\) khi và chỉ khi \(a \le 0\). Bài 5 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb R\). Giải Tập xác định \(D = \mathbb R\) \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2ax + 4\); \(\Delta = {a^2} - 4\) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in\mathbb R\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 > 0 \hfill \cr \Delta ' \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 > 0 \hfill \cr {a^2} - 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 2 \le a \le 2\) Vậy \( - 2 \le a \le 2\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán Bài 6 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) \(y = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\) b) \(y = - {4 \over 3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - {2 \over 3}\) c) \(y = {{{x^2} - 8x + 9} \over {x - 5}}\) d) \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) e) \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \) f) \(y = {1 \over {x + 1}} - 2x\) Giải a) TXĐ: \(D=\mathbb R\) \(y' = {x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x=2\) Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\). b) TXĐ: \(D=\mathbb R\) \(y' = - 4{x^2} + 12x - 9 = - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)\) \(= - {\left( {2x - 3} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = {3 \over 2}\). Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\). c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 5 \right\}\) \(y' = {{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 10x + 31} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 5\) Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\). d) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\). TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\) \(y' = {{2 - 2x} \over {2\sqrt {2x - {x^2}} }} = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {y = 1} \right)\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\). e) TXĐ: \(D = \mathbb R\) (vì \({x^2} - 2x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb R\)) \(y' = {{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,(y = \sqrt 2 )\) Bảng biến thiên Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). f) TXĐ: \(D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 1} \right\}\) \(y' = - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 2 < 0,\,\,\forall x \ne - 1\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) . Bài 7 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2x + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb R\) Giải TXĐ: \(D=\mathbb R\) \(f'\left( x \right) = - 2\sin 2x - 2 \le 0\Leftrightarrow - 2\left( {\sin 2x + 1} \right) \le 0,\forall x \in \mathbb R\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z\) Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \(\left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ; - {\pi \over 4} + k\pi + \pi } \right]\) Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi \(\mathbb R\) Bài 8 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0,\sin x > x\) với mọi \(x < 0\) b) \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\) c) \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x > 0\); \(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x<0\). Giải a) Hàm số \(f\left( x \right) = x - \sin x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 1 - \cos x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\), từ đó với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) ta có: \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow x - \sin x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Với \(x \ge {\pi \over 2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\). Vậy \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0\) * Với mọi \(x<0\), áp dụng chứng minh trên ta có: \(\sin \left( { - x} \right) < - x \Rightarrow - \sin x < - x \Rightarrow \sin x > x\) Vậy \(\sin x > x\) với mọi \(x<0\). b) Hàm số \(g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 - 1}}\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm \(g'\left( x \right) = x - \sin x\) Theo câu a) \(g'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x>0\) nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có \(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x>0\), tức là \(\cos x + {{{x^2}} \over 2} - 1 > 0\) với mọi \(x>0\) hay \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x>0\) (1) Với mọi x0 nên theo (1) ta có: \(\cos \left( { - x} \right) > 1 - {{{{\left( { - x} \right)}^2}} \over 2}\, \Leftrightarrow \cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x\) Từ (1) và (2) suy ra: \(\cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\). c) Hàm số \(h\left( x \right) = \sin x - x + {{{x^3}} \over 6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x - 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0\) với mọi \(x \ne 0\) (câu b) Do đó \(h\) đồng biến trên \(\mathbb R\) nên ta có: \(h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0\) và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\) Từ đó suy ra: \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x>0\) \(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\)với mọi \(x<0\) Bài 9 trang 9 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng: \(\sin x + \tan x > 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Giải Chứng minh hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \tan x - 2x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\). Hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \tan x - 2x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2\) Vì \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) nên \(0 < \cos x < 1 \Rightarrow \cos x > {\cos ^2}x\) \( \Rightarrow \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2 > {\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2 > 0\) ( vì \({\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} > 2\) với mọi \(\,x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)) Do đó \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) Suy ra hàm số \(f\) đồng biến trên \(\,\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) Khi đó ta có \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) tức là \(\sin x + \tan x > 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Bài 10 trang 9 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Số dân của một thị trấn sau \(t\) năm kể từ năm \(1970\) được ước tính bởi công thức: \(f\left( t \right) = {{26t + 10} \over {t + 5}},f\left( t \right)\) được tính bằng nghìn người). a) Tính số dân của thị trấn vào năm \(1980\) và năm \(1995\). b) Xem \(f\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\,\). Tính \(f'\) và xét chiều biến thiên của hàm số \(f\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\,\) c) Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn ( tính bằng nghìn người/năm). • Tính tốc độ tăng dân số vào năm \(1990\) và năm \(2008\) của thị trấn. • Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là \(0,125\) nghìn người/năm? Giải a) Vào năm \(1980\) thì \(t = 10\), số dân của thị trấn năm \(1980\) là: \(f\left( {10} \right) = {{260 + 10} \over {10 + 5}} = 18\) nghìn người Vào năm \(1995\) thì \(t=25\) , số dân của thị trấn năm \(1995\) là: \(f\left( {25} \right) = {{26.25 + 10} \over {25 + 5}} = 22\) nghìn người. b) Ta có: \(f'\left( t \right) = {{120} \over {{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t>0\) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\). c) Tốc độ tăng dân số vào năm \(1990\) là \(f'\left( {20} \right) = {{120} \over {{{25}^2}}} = 0,192\) Tốc độ tăng dân số vào năm \(2008\) là \(f'\left( {38} \right) = {{120} \over {{{43}^2}}} \approx 0,065\) \({{120} \over {{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,125 \Leftrightarrow t + 5 = \sqrt {{{120} \over {0,125}}} \approx 31 \Rightarrow t \approx 26\) Vào năm \(1996\) tốc độ tăng dân số của thị trấn là \(0,125\).
