Bài 49 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : \(y = {{x - 2} \over {2x + 1}}\) b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị. Giải a) TXĐ: \(R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = - {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {1 \over 2}\) nên đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị. \(y' = {{\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne - {1 \over 2}\) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\) Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;-2)\) và cắt trục hoành tại điểm \((2;0)\). b) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị \(I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \) là: \(\left\{ \matrix{ x = X - {1 \over 2} \hfill \cr y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Phương trình của đồ thị \((C)\) đối với trục \(IXY\): \(Y + {1 \over 2} = {{X - {1 \over 2} - 2} \over {2\left( {X - {1 \over 2}} \right) + 1}} \Leftrightarrow Y + {1 \over 2} = {{X - {5 \over 2}} \over {2X}} \Leftrightarrow Y = - {5 \over {4X}}\) Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhân I làm tâm đối xứng. Bài 50 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: a) \(y = {{x + 1} \over {x - 1}}\) b) \(y = {{2x + 1} \over {1 - 3x}}\) Giải a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang. \(y = {{\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \((0;-1)\) cắt trục hoành tại điểm \((-1;0)\) Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng. b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {{1 \over 3}} \right\}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^ + }} y = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên \(x = {1 \over 3}\) là tiệm cận đứng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = - {2 \over 3}\) nên \(y = - {2 \over 3}\) là tiệm cận ngang. \(y = {{\left| \matrix{ 2\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr - 3\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne {1 \over 3}\) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right)\) và \(\left( {{1 \over 3}; + \infty } \right)\) Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;1)\) và cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - {1 \over 2};0} \right)\). Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận \(I\left( {{1 \over 3};{1 \over 2}} \right)\) làm tâm đối xứng. Bài 51 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị. c) Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0\) Giải a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty \) nên \(x = -2\) là tiệm cận đứng. Ta có: \(y = 2x + 1 + {2 \over {x + 2}}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {2 \over {x + 2}} = 0\) nên \(y = 2x + 1\) là tiệm cận xiên \(\eqalign{ & y' = 2 - {2 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{2\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1;\,\,y\left( { - 1} \right) = 1 \hfill \cr x = - 3;\,\,y\left( { - 3} \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \) Bảng biến thiên: Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 2\) b) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là nghiệm của hệ. \(\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = 2x + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(I\left( { - 2; - 3} \right)\) Công thức đổi trục tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là \(\left\{ \matrix{ x = X - 2 \hfill \cr y = Y - 3 \hfill \cr} \right.\) Ta có: \(\eqalign{ & Y - 3 = 2(X - 2) + 1 + {2 \over {X - 2 + 2}} \cr & \Leftrightarrow Y - 3 = 2X - 4 + 1 + {2 \over X} \cr & \Leftrightarrow Y = 2X + {2 \over X} \cr} \) Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng. c) Ta có: \({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0 \Leftrightarrow {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} = - m\) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số và đường thẳng \(y = -m\). Dựa vào đồ thị ta có: +) \(- m< -7\) hoặc \(–m>1\) \( \Leftrightarrow m > 7\) hoặc \(m< -1\) : phương trình có \(2\) nghiệm; +) \(-m=-7\) hoặc \(–m = 1 \Leftrightarrow m = 7\) hoặc \(m = -1\): phương trình có \(1\) nghiệm; +) \(- 7<m< 1 \Leftrightarrow -1 < m < 7\): phương trình vô nghiệm. Bài 52 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = {{{x^2} - 3x + 6} \over {x - 1}}\) b) \(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {1 - x}}\) c) \(y = {{2{x^2} + 3x - 3} \over {x + 2}}\) d) \(y = - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\) Giải a) \(y = x- 2 + {4 \over {x - 1}}\) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {4 \over {x - 1}} = 0\) nên \(y = x – 2\) là tiệm cận xiên. \(\eqalign{ & y' = 1 - {4 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1;\,\,\,y\left( { - 1} \right) = -5 \hfill \cr x = 3;\,\,\,y\left( 3 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \) Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = - 6\) Đồ thị nhận giao điểm \(I(1;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. b) \(y = {{ - 2{x^2} + x - 1} \over {x - 1}}\) \(y = - 2x - 1 - {2 \over {x - 1}}\) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\) Tiệm cận đứng: \(x = 1\) Tiệm cận xiên: \(y = -2x – 1\) \(\eqalign{ & y' = - 2 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2{x^2} + 4x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0;\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr x = 2;\,\,\,\,\,\,y\left( 2 \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \) Điểm đặc biết: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\) \(x = -1 \Rightarrow y = 2\) Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;-3)\) làm tâm đối xứng. c) \(y = 2x - 1 - {1 \over {x + 2}}\) • TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) • Tiệm cận đứng: \(x = 2\) Tiệm cận xiên: \(y = 2x -1\) • \(y' = 2 + {1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne - 2\) • Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = - {3 \over 2}\) Đồ thị nhận \(I(-2; -5)\) làm tâm đối xứng. d) \(y = - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\) • TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\) • Tiệm cận đứng: \(x = 1\) Tiệm cận xiên \(y = -x +2\) • \(y' = - 1 - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\) • Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\) Đồ thị nhận điểm \(I(1;-1)\) làm tâm đối xứng. Bài 53 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {{x + 1} \over {x - 2}}\) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm \(A\) của đồ thị với trục tung. c) Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm \(A\). Giải a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 2 \right\}\) Tiệm cận đứng \(x = 2\); tiệm cận ngang \(y = 1\). \(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 2\) Điểm đặc biệt: \(A\left( {0; - {1 \over 2}} \right),\,B\left( { - 1;0} \right)\) Đồ thị nhận điểm \(I(2;1)\) làm tâm đối xứng. b) Giao điểm của đồ thị với trục tung \(A\left( {0; - {1 \over 2}} \right)\) \(y'\left( 0 \right) = - {3 \over 4}\) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là: \(y + {1 \over 2} = - {3 \over 4}\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = - {3 \over 4}x - {1 \over 2}\) c) Giả sử \(M\) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại \(A\) ta có: \(y'\left( {{x_M}} \right) = - {3 \over 4} \Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_M} - 2} \right)}^2}}} = - {3 \over 4} \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 2} \right)^2} = 4\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_M} - 2 = 2 \hfill \cr {x_M} - 2 = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_M} = 4 \hfill \cr {x_M} = 0\,\,(\text{ loại vì }{x_A} = 0) \hfill \cr} \right.\) \(y\left( 4 \right) = {5 \over 2}\). Vậy \(M\left( {4;{5 \over 2}} \right)\) Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) là: \(y - {5 \over 2} = - {3 \over 4}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow y = - {3 \over 4}x + {{11} \over 2}\) Bài 54 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số \(y = 1 - {1 \over {x + 1}}\) b) Từ đồ thị \((H)\) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = 1 + {1 \over {x + 1}}\) Giải a) \(y = {x \over {x + 1}}\) TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) Tiệm cận đứng \(x = -1\); tiệm cận ngang \(y = 1\). \(y' = {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne - 1\) Điểm đặc biệt \(\eqalign{ & x = 0 \Rightarrow y = 0 \cr & x = 1 \Rightarrow y = {1 \over 2} \cr} \) Đồ thị nhận \(I(-1;1)\) làm tâm đối xứng. b) Ta có \(y = - 1 + {1 \over {x + 1}} = {{ - x} \over {x + 1}}\) Do đó đồ thị của hàm số \(y = - 1 + {1 \over {x + 1}}\) là hình đối xứng của \((H)\) qua trục hoành. Bài 55 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x - {2 \over {x - 1}}\) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm \((3;3)\). Giải a) Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\) \(y' = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((1; + \infty )\) \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \) Do đó \(x=1\) là tiệm cận đứng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - {2 \over {x - 1}}} \right) = 0\) Vậy \(y=x\) là tiệm cận xiên. Bảng biến thiên: Đồ thị giao \(Ox\) tại \((-1;0),(2;0)\) Đồ thị giao \(Oy\) tại \(0;2)\) b) Ta có: \(y' = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right) \in \left( C \right)\) là: \(\left( d \right):\,y - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = \left[ {1 + {2 \over {{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {x - {x_o}} \right)\,\left( {x \ne 1} \right)\) Vì \(\left( {3;3} \right) \in d\) nên \(3 - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = {{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left( {3 - {x_o}} \right)\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {3 - {x_o}} \right){\left( {{x_o} - 1} \right)^2} + 2\left( {{x_o} - 1} \right) = \left( {{x_o} - 2{x_o} + 3} \right)\left( {3 - {x_o}} \right) \cr & \Leftrightarrow {x_o} = 2;\,{y_o} = y\left( 2 \right) = 0 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'\left( 2 \right) = 3 \cr} \) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = 3\left( {x - 2} \right)\) hay \(y = 3x - 6.\) Bài 56 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = {{{x^2}} \over {x + 1}}\) b) Từ đồ thị \((C)\) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = {{{x^2}} \over {\left| {x + 1} \right|}}\) Giải a) \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) \(\eqalign{ & y' = {{{x^2} + 2x} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;-1)\) và \((1;0)\) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{CĐ}=-4\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) , \(y_{CT}=0\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty \) Vậy \(x=-1\) là tiệm cận đứng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - (x - 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{1 \over {x + 1}}} \right) = 0\) Vậy \(y=x-1\) là tiệm cận xiên. Bảng biến thiên Đồ thị Đồ thị giao \(Ox\), \(Oy\) tại \(O(0;0)\) \(x=-2\rightarrow y=-4\) b) Ta có \(y = {{{x^2}} \over {\left| {x + 1} \right|}} = \left\{ \matrix{ {{{x^2}} \over {x + 1}}\,\,\text{nếu} \,x > - 1 \hfill \cr - {{{x^2}} \over {x + 1}}\,\,\text{ nếu }\,x < - 1 \hfill \cr} \right.\) Giữ nguyên phần đồ thị \((C)\) ở bên phải tiệm cận đứng \(x = -1\) và lấy đối xứng của phần \((C)\) bên trái tiệm cận đứng qua trục hoành.
