Bài 57 trang 55 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số: \(f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\) b) Tìm các giao điểm của đường cong \((C)\) và parabol: \((P):\,\,\,g\left( x \right) = 2{x^2} + 1\) c) Viết phương trình các tiếp tuyến của \((C)\) và \((P)\) tại mỗi giao điểm của chúng. d) Xác định các khoảng trên đó \((C)\) nằm phía trên hoặc phía dưới \((C)\). Giải a) Tập xác định: \(D=\mathbb R\) \(f'(x)=6x^2+6x\) \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = - 1 \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên: - Hàm số đông biến trên \(( - \infty ;-1)\) và \((0; + \infty )\) - Hàm số nghịch biến trên \((-1;0)\) - Hàm số đạt cực tại \(x=-1;y_{CĐ}=2\) - Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;y_{CT}=1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \) Đồ thị giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\) b) Hoành độ giao điểm của đường cong \((C)\) và paraobol \((P)\) là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \,\,\,\,2{x^3} + 3{x^2} + 1 = 2{x^2} + 1 \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) Với \(x = 0\) ta có \(y = 1\); với \(x = - {1 \over 2}\) ta có \(y = {3 \over 2}\) Ta có giao điểm \(A(0;1)\) và \(B\left( { - {1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\) c) \(f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x;\,g'\left( x \right) = 4x\) \(f'\left( 0 \right) = 0;\,g'\left( 0 \right) = 0\). Đường thẳng \(y = 1\) là tiếp tuyến chung của \((C)\) và \((P)\) tại điểm \(A(0;1)\). \(f'\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {3 \over 2}\). Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(B\) là: \(y = - {3 \over 2}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}\) hay \(y = - {3 \over 2}x + {3 \over 4}\) \(g'\left( { - {1 \over 2}} \right) = - 2\). Phương trình tiếp tuyến của parabol \((P)\) tại điểm \(B\) là: \(y = - 2\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}\,hay\,\,y = - 2x + {1 \over 2}\) d) Xét hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1 - 2{x^2} - 1 = 2{x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\) Xét dấu \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\): Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) \((C)\) nằm phía dưới \((P)\) Trên các khoảng \(\left( { - {1 \over 2};0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) \((C)\) nằm phía trên \((P)\). Bài 58 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2x - 1} \over {x + 1}}\) b) Với các giá nào của \(m\), đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A(-2;2)\) và có hệ số góc \(m\) cắt đồ thị của hàm số đã cho: • Tại hai điểm phân biệt? • Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị? Giải a) Tập xác đinh: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) \(y' = {3 \over {{{(x + 1)}^2}}}>0\,\,\forall x\in D\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\) Hàm số không có cực trị Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2\) Tiệm cận đứng \(y=2\) \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \) Tiệm cận đứng: \(x=-1\) Bảng biến thiên: Đồ thị giao \(Ox\) tại điểm \(\left( {{1 \over 2};0} \right)\) Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\) b) Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) qua điểm \(A(-2;2)\) có hệ số góc \(m\) là: \(y - 2 = m\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,hay\,\,\,\,y = mx + 2m + 2\) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình: \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,mx + 2m + 2 = {{2x - 1} \over {x + 1}} \cr & \Leftrightarrow \left( {mx + 2m + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 2x - 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr & \Leftrightarrow f\left( x \right) = m{x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \) (vì \(x = -1\) không là nghiệm của (1)) • Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((2)\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(\left\{ \matrix{ m \ne 0 \hfill \cr \Delta = {m^2} - 12m > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < 0\,\,\text{ hoặc }\,m > 12\,\,\,\left( * \right)\) • Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng \(x = -1\) của đồ thị. Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0 \cr & \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 \Leftrightarrow {{2m + 3} \over m} - {{3m} \over m} + 1 < 0 \cr & \Leftrightarrow {3 \over m} < 0\,\text{(thỏa mãn diều kiện (*))} \cr} \) Vậy với \(m < 0\) thì \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị. Bài 59 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao. Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: \(f\left( x \right) = - {x^2} + 3x + 6\); \(g\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 4\) và \(h\left( x \right) = {x^2} + 7x + 8\) tiếp xúc với nhau tại điểm \(A(-1;2)\) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại \(A\)). Giải Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = g\left( { - 1} \right) = h\left( { - 1} \right) = 2\) Do đó điểm \(A(-1;2)\) là điểm chung của ba đường cong đã cho. Ngoài ra, ta có: \(\eqalign{ & f'\left( x \right) = - 2x + 3;\,g'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x;\,h'\left( x \right) = 2x + 7 \cr & f'\left( { - 1} \right) = g'\left( { - 1} \right) = h'\left( { - 1} \right) = 5 \cr} \) Vậy ba đường cong có tiếp tuyến chung điểm \(A\). Bài 60 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao. Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x\) và \(g\left( x \right) = {{3x} \over {x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó. Giải Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình: \(\eqalign{ (I)\,\,& \left\{ \matrix{ {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} \hfill \cr {\left( {{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x} \right)'} = {\left( {{{3x} \over {x + 2}}} \right)'} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}}\,(1) \hfill \cr x + {3 \over 2} = {6 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\,(2) \hfill \cr} \right. \cr & (1)\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {{x + 3} \over 2} = {3 \over {x + 2}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} + 5x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = - 5 \hfill \cr} \right. \cr} \) +) \(x=0\) thỏa mãn (2) +) \(x =-5\) không thỏa mãn (2) Hệ phương trình (I) có \(1\) nghiệm duy nhất \(x = 0\). Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ \(O\); \(y'\left( 0 \right) = {3 \over 2}\). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là \(y = {3 \over 2}x.\) Bài 61 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao. Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu \({v_o} > 0\) từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ \(O\), nghiêng một góc \(\alpha \) với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng \(Oxy\) và tạo với trục hoành \(Ox\) góc \(\alpha \) ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol. \(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y = - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \) ( \(g\) là gia tốc trọng trường). Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right),\,\left( {{\gamma _\alpha }} \right)\) luôn tiếp xúc với parabol \((P)\) có phương trình là: \(y = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm \((P)\) được gọi là parabol an toàn). Giải Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}} \hfill \cr - {g \over {v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha = - {g \over {v_o^2}}x \hfill \cr} \right.\) Nghiệm của phương trình thứ hai của hệ là \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\) Ta có \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\) cũng là nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ. Vậy với mọi \(\alpha \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) hai parabol luôn tiếp xúc với nhau. Hoành độ tiếp điểm là \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\). Tung độ của tiếp điểm là \(y = - {g \over {2v_o^2}}{\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}} \right)^2} + {{v_o^2} \over {2g}} = {{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {1 \over {{{\tan }^2}\alpha }}} \right)\) Điểm \(\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }};{{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \right)\) là tiếp điểm của hai parabol với mọi \(\alpha \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) Bài 62 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y = {{x - 1} \over {x + 1}}\) b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó. Giải Tập xác định: \(\eqalign{ & D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\} \cr & \cr} \) Sự biến thiên: \(y' = {2 \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0\,\forall x \in D\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\) Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \) Tiệm cận đứng: \(x=-1\) \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\) Tiệm cận ngang: \(y=1\) Bảng biến thiên: Đồ thị giao \(Ox\) tại điểm \((1;0)\) Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\) b) Giao điểm của hai tiệm cận của đường cong là \(I(-1;1)\) Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \) là \(\left\{ \matrix{ x = X - 1 \hfill \cr y = Y + 1 \hfill \cr} \right.\) Phương trình đường cong trong hệ tọa độ \(IXY\) là: \(Y + 1 = {{X - 1 - 1} \over {X - 1 + 1}} \Leftrightarrow Y + 1 = {{X - 2} \over X} \Leftrightarrow Y = - {2 \over X}\) Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng. Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((H)\) của hàm số: \(y = {{x + 2} \over {2x + 1}}\) b) Chứng minh rằng đường thẳng \(y = mx + m - 1\) luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên. c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong \((H)\) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H). Giải a) Tập xác định: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\) +) Sự biến thiên: \(y' = {{ - 3} \over {{{(2x + 1)}^2}}} < 0\,\forall x \in D\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\) Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \) Hầm số không có cực trị. Tiệm cận đứng: \(x={ - {1 \over 2}}\) \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = {1 \over 2}\) Tiệm cận ngang \(y={1 \over 2}\) Bảng biến thiên: Đồ thị giao \(Ox\) tại điểm \((-2;0)\) Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;2)\) b) Ta có \(y = mx + m - 1 \Leftrightarrow y + 1 = m\left( {x + 1} \right)\) Tọa độ điểm cố định \(A\) của đường thẳng là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ x + 1 = 0 \hfill \cr y + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr y = - 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(A(-1;1)\) Tọa độ \(A\) thỏa mãn phương trình \(y = {{x + 2} \over {2x + 1}}\) nên \(A\) thuộc đường cong \((H)\). c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong \((H)\) là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \,\,\,m\left( {x + 1} \right) - 1 = {{x + 2} \over {2x + 1}} \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left[ {m\left( {x + 1} \right) - 1} \right] = x + 2 \cr & \Leftrightarrow m\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x + 1} \right) = x + 2 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2mx + m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr f\left( x \right) = 2mx + m - 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) Hai nhánh của \((H)\) nằm về hai bên của tiệm cận đứng \(x = - {1 \over 2}\) Điểm \(A(-1;1)\) thuộc nhánh trái của \((H)\) vì \({x_A} = - 1 < - {1 \over 2}\) Đường thẳng cắt \((H)\) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm \(x < - {1 \over 2}\) và \(x \ne - 1\) tức \(\left\{ \matrix{ x \ne 0 \hfill \cr x = {{ - m + 3} \over 2} < - {1 \over 2} \hfill \cr f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne 0 \hfill \cr {3 \over {2m}} < 0 \hfill \cr - m - 3 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 3\,\, \text{hoặc}\, - 3 < m < 0.\) Bài 64 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao. Cho hàm số \(y = {{a{x^2} - bx} \over {x - 1}}\) a) Tìm \(a\) và \(b\) biết rằng đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( { - 1;{5 \over 2}} \right)\) và tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(O(0;0)\) có hệ số bằng \(-3\). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của \(a\) và \(b\) đã tìm được. Giải a) Ta có: \({M_o} \in \left( C \right)\) \(y' = {{\left( {12ax - b} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {a{x^2} - bx} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) Đồ thị \((C)\) đi qua \(A\left( { - 1;{5 \over 2}} \right)\) \( \Leftrightarrow y\left( { - 1} \right) = {5 \over 2} \Leftrightarrow {{a + b} \over { - 2}} = {5 \over 2} \Leftrightarrow a + b = - 5\,\,\,\left( 1 \right)\) Tiếp tuyến của \((C)\) tại \(O(0;0)\) có hệ số góc bằng \(-3\) khi và chỉ khi \(y’(0) = -3 \)\( \Leftrightarrow b = - 3\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) suy ra \(a = -2; b = - 3\). b) Với \(a = -2; b = - 3\) ta có: \(y = {{ - 2{x^3} + 3x} \over {x - 1}}\) Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\) \(y' = {{ - 2{x^2} + 4x - 3} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0\,\forall x \in D\) Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(( - \infty ;1)\) và \((1; + \infty )\) Hàm số không có cực trị Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = + \infty \) Tiệm cận đứng là: \(x=1\) \(\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{ - 2{x^2} + 3x} \over {{x^2} - x}} = - 2 \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y + 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{ - 2{x^2} + 3x} \over {x - 1}} + 2x} \right) = 1 \cr} \) Tiệm cận xiên là: \(y=-2x+1\) Bảng biến thiên: Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;0)\) và \(\left( {{3 \over 2};0} \right)\) Bài 65 trang 58 sách giải tích 12 nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}}\) b) Với các giá trị nào t=của m đường thẳng \(y = m – x\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hao điểm phân biệt? c) Gọi \(A\) và \(B\) là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi \(m\) biến thiên. Giải a) Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\) Sự biến thiên: \(\eqalign{ & y' = {{2{x^2} - 4x} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty )\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;1)\) và \((1;2)\) Cực trị Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{CĐ}=1\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{CT}=7\) Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = + \infty \) Tiệm cận đứng là: \(x=1\) \(\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2{x^2} - x + 1} \over {{x^2} - x}} = 2 \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} - 2x} \right) = 1 \cr} \) Tiệm cận xiên là: \(y=2x+1\) Bảng biến thiên: Đồ thị cắt \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\) b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình \(\eqalign{ & {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} = m - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {m - x} \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right) \cr} \) (vì \(x =1\) không là nghiệm củ hai phương trình) Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(\eqalign{ & \Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 8 > 0 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m < 4 - 2\sqrt 6 \,\,\text{hoặc}\,\,m > 4 + 2\sqrt {6\,\,} \,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \) c) Hoành độ giao điểm \(A, B\) là các nghiệm của (1) Hoành độ trung điểm \(M\) của \(AB\) là: \({x_M} = {1 \over 2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = {{m + 2} \over 6}\) Vì M nằm trên đường thẳng y = m – x nên \({y_M} = m - {x_M} = m - {{m + 2} \over 6} = {{5m - 2} \over 6}\) Khử \(m\) từ hệ \(\left\{ \matrix{ {x_M} = {{m + 2} \over 6} \hfill \cr {y_M} = {{5m - 2} \over 6} \hfill \cr} \right.\) ta dược: \(5{x_M} - {y_M} = 2 \Leftrightarrow {y_M} = 5{x_M} - 2\) Vậy \(M\) nằm trên đường thẳng \(y = 5x -2\) Vì \(m\) chỉ lấy giá trị thỏa mãn (2) nên: \(m < 4 - 2\sqrt 6 \Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2\sqrt 6 \Rightarrow {x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\) \(m > 4 + 2\sqrt 6 \Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2\sqrt 6 \Rightarrow {x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\) Vậy tập hợp các trung điểm \(M\) của đoạn \(AB\) là phần của đường thẳng \(y = 5x -2\) với \({x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\) hoặc \({x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\) Bài 66 trang 58 SGK giải tích 12 nâng cao. Tìm các hệ số \(a, b\) sao cho parabol \(y = 2{x^2} + ax + b\) tiếp xúc với hypebol \(y = {1 \over x}\) tại điểm \(M\left( {{1 \over 2};2} \right)\) Giải Giả sử \(f\left( x \right) = 2{x^2} + ax + b;\,g\left( x \right) = {1 \over x}\) Parabol tiếp xúc với hypebol tại \(M\left( {{1 \over 2};2} \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ f\left( {{1 \over 2}} \right) = g\left( {{1 \over 2}} \right) = 2 \hfill \cr f'\left( {{1 \over 2}} \right) = g'\left( {{1 \over 2}} \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {1 \over 2} + {a \over 2} + b = 2 \hfill \cr 4.{1 \over 2} + a = - {1 \over {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}} \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a + 2b = 3 \hfill \cr a + 2 = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - 6 \hfill \cr b = {9 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
