Bài 12 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Xét mệnh đề: ”Với các số thực x, a, b, nếu 0<a<b, thì \({a^x} < {b^x}\)”. Với điều kiện nào sau đây của x thì mệnh đề đó là đúng? (A) x bất kì (B) x > 0 (C) x < 0 Giải x >0. Chọn (B) Bài 13 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Xét mệnh đề: “Với các số thực x, a, b, nếu \({a^x} < {a^y}\). Với điều kiện nào sau đây của a thì mệnh đề đó là đúng? (A) a bất kì (B) a > 0 (C) a > 1 Giải a>1. Chọn (C) Bài 14 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Cho các số thực a, x, y với x < y. Hãy tìm điều kiện của a để \({a^x} > {a^y}\). Giải Với x < y điều kiện để \({a^x} > {a^y}\) là 0 < a < 1. Bài 15 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính các biểu thức: \({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }}\); \({2^{2 - 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }}\); \({3^{1 + 2\root 3 \of 2 }}:{9^{\root 3 \of 2 }}\). Giải \({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }} = 0,{5^{\sqrt {16} }} = 0,{5^4} = {1 \over {16}}.\) \({2^{2 - 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }} = {2^{2 - 3\sqrt 5 }}{.2^{3\sqrt 5 }} = {2^{2 - 3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 }} = {2^2} = 4\) \({3^{1 + 2\root 3 \of 2 }}:{9^{\root 3 \of 2 }} = {3^{1 + 2\root 3 \of 2 }}:{3^{2\root 3 \of 2 }} = {3^{1 + 2\root 3 \of 2 - 2\root 3 \of 2 }} = {3^1} = 3\) Bài 16 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Đơn giản các biểu thức: \({{{{\left( {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}} \over {{a^{\sqrt 5 - 3}}.{a^{4 - \sqrt 5 }}}}\); \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {{1 \over a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\) Giải \({{{{\left( {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}} \over {{a^{\sqrt 5 - 3}}.{a^{4 - \sqrt 5 }}}} = {{{a^{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}} \over {{a^{\sqrt 5 - 3 + 4 - \sqrt 5 }}}} = {{{a^2}} \over {{a^1}}} = a\) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {{1 \over a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{1 - \sqrt 2 }} = {a^{\sqrt 2 + 1 - \sqrt 2 }} = a\) Bài 17 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 7.56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Giải Áp dụng công thức lãi kép: \(C = A{\left( {1 + r} \right)^N}\) Sau 5 năm người gửi thư thu được một số tiền (cả vốn lẫn lãi) là \(15{\left( {0,756} \right)^5} \approx 21,59\) (triệu đồng) Bài 18 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữi tỉ: a) \(\root 4 \of {{x^2}\root 3 \of x } \,\,\,\,\left( {x > 0} \right);\) b) \(\root 5 \of {{b \over a}\root 3 \of {{a \over b}} } \,\,\,\,\left( {a > 0,b > 0} \right);\) c) \(\root 3 \of {{2 \over 3}\root 3 \of {{2 \over 3}} \sqrt {{2 \over 3}} } ;\) d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{{{11} \over {16}}}}\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\) Giải a) \(\root 4 \of {{x^2}\root 3 \of x } = {\left( {{x^2}.{x^{{1 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 4}}} = {\left( {{x^{{7 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 4}}} = {x^{{7 \over {12}}}}\) b) \(\root 5 \of {{b \over a}\root 3 \of {{a \over b}} } = {\left( {{b \over a}{{\left( {{a \over b}} \right)}^{{1 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 5}}} = {\left( {{{\left( {{a \over b}} \right)}^{ - 1}}{{\left( {{a \over b}} \right)}^{{1 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 5}}} = {\left( {{{\left( {{a \over b}} \right)}^{ - {2 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 5}}} = {\left( {{a \over b}} \right)^{ - {2 \over {15}}}}\) c) \(\root 3 \of {{2 \over 3}\root 3 \of {{{2 \over 3}} \sqrt {{2 \over 3}} } } = {\left( {{2 \over 3}{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^{{1 \over 3}}}{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^{{1 \over 6}}}} \right)^{{1 \over 3}}} = {\left( {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^{1 + {1 \over 3} + {1 \over 6}}}} \right)^{{1 \over 3}}} = {\left( {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^{{3 \over 2}}}} \right)^{{1 \over 3}}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{{1 \over 2}}}\) d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{{{11} \over {16}}}} = \left( {{a^{{1 \over 2}}}.{a^{{1 \over 4}}}.{a^{{1 \over 8}}}.{a^{{1 \over {16}}}}} \right):{a^{{{11} \over {16}}}} = {a^{{{15} \over {16}}}}:{a^{{{11} \over {16}}}} = {a^{{1 \over 4}}}\) Bài 19 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Đơn giản biểu thức a) \({a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left( {{1 \over {{a^{ - \sqrt 2 - 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}\); b) \({\left( {{{{a^{\sqrt 3 }}} \over {{b^{\sqrt 3 - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}} \over {{b^{ - 2}}}};\) c) \({{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}} \over {{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1;\) d) \(\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} - {{\left( {{4^{{1 \over \pi }}}xy} \right)}^\pi }} ;\) Giải a) \({a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left( {{1 \over {{a^{ - \sqrt 2 - 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}} = {a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left( {{a^{\sqrt 2 + 1}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}} = {a^{ - 2\sqrt 2 }}{a^{3 + 2\sqrt 2 }} = {a^3}\) b) \({\left( {{{{a^{\sqrt 3 }}} \over {{b^{\sqrt 3 - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}} \over {{b^{ - 2}}}} = {{{a^{3 + \sqrt 3 }}} \over {{b^2}}}.{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}} \over {{b^{ - 2}}}} = {a^2}\) c) \({{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}} \over {{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = {{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }} + {{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}\) \( = {{2{a^{2\sqrt 2 }} - 2{a^{\sqrt 2 }}{b^{\sqrt 3 }}} \over {{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = {{2{a^{\sqrt 2 }}\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)} \over {{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = {{2{a^{\sqrt 2 }}} \over {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\) d) \(\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} - {{\left( {{4^{{1 \over \pi }}}xy} \right)}^\pi }} = \sqrt {{x^{2\pi }} + {y^{2\pi }} - 2{x^\pi }{y^\pi }} = \sqrt {{{\left( {{x^\pi } - {y^\pi }} \right)}^2}} = \left| {{x^\pi } - {y^\pi }} \right|\). Bài 20 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm số thực \(\alpha \), thỏa mãn từng điều kiện sau: a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1\,\,\left( {a > 0} \right);\) b) \({3^{\left| \alpha \right|}} < 27.\) Giải a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1 \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{a^{{\alpha \over 2}}} - {a^{ - {\alpha \over 2}}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {a^{{\alpha \over 2}}} = {a^{ - {\alpha \over 2}}}\)(*) - Nếu \(a \ne \,1\) thì (*) \( \Leftrightarrow {\alpha \over 2} = - {\alpha \over 2} \Leftrightarrow \alpha = 0\) - Nếu \(a = 1\) thì (*) \( \Leftrightarrow \alpha \) là số thực tùy ý. b) \({3^{\left| \alpha \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha \right|}} < {3^3} \Leftrightarrow \left| \alpha \right| < 3 \Leftrightarrow - 3 < \alpha < 3.\) Bài 21 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Giải các phương trình sau bằng cách đặt \(t = \root 4 \of x \): a) \(\sqrt x + \root 4 \of x = 2;\) b) \(\sqrt x - 3\root 4 \of x + 2 = 0\). Giải a) Điều kiện \(x \ge 0\) Đặt \(t = \root 4 \of x \left( {t \ge 0} \right)\), ta được phương trình \({t^2} + t = 2\). Ta có \({t^2} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 2\text{ loại } \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \root 4 \of x = 1 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy tập nghiệm phương trình là S =\(\left\{ 1 \right\}\) b) Điều kiện \(x \ge 0\). Đặt \(t = \root 4 \of x \,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình \({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \root 4 \of x = 1 \hfill \cr \root 4 \of x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 16 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = \left\{ {1;16} \right\}\) Bài 22 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Giải các bất phương trình sau: \(a){x^4} < 3;\) \(b){x^{11}} \ge 7;\) \(c){x^{10}} > 2;\) \(d){x^3} \le 5;\) Giải \(a)\,\,{x^4} < 3 \Leftrightarrow \left| x \right| < \root 4 \of 3 \Leftrightarrow - \root 4 \of 3 < x < \root 4 \of 3 \). Tập nghiệm \(S = \left( { - \root 4 \of 3 ;\root 4 \of 3 } \right)\) \(b)\,\,{x^{11}} \ge 7 \Leftrightarrow x \ge \root {11} \of 7 ;\) Vậy \(S = \left[ {\root {11} \of 7 ; + \infty } \right)\) \(c)\,\,{x^{10}} > 2 \Leftrightarrow \left| x \right| > \root {10} \of 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - \root {10} \of 2 \hfill \cr x > \root {10} \of 2 \hfill \cr} \right..\) Vậy \(S = \left( { - \infty ; - \root {10} \of 2 } \right) \cup \left( {\root {10} \of 2 ; + \infty } \right)\) \(d)\,\,{x^3} \le 5 \Leftrightarrow x \le \root 3 \of 5 \,\,\,\text{ Vậy } S = \left( { - \infty ;\root 3 \of 5 } \right)\)
