Bài 23 trang 89 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: a) Cơ số của lôgarit là một số thực bất kì; b) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên; c) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương; d) Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1; Trả lời Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. Chọn (D). Bài 24 trang 89 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? a) Có lôgarit của một số thực bất kì; b) Chỉ có lôgarit của một số thực dương; c) Chỉ có lôgarit của một số thực dương khác 1; d) Chỉ có lôgarit của một số thực lớn hơn 1; Trả lời Khẳng định đúng: b) Khẳng định sai: a), c), d). Bài 25 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để đẳng thức đúng. a) \({\log _a}\left( {xy} \right) = ...;\) b) \(... = {\log _x}x - {\log _a}y;\) c) \({\log _a}{x^\alpha} = ...;\) d) \({a^{{{\log }^b}_a}} = ...,\) Giải a) \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y;\) điều kiện \(\,a > 0,a \ne 1,x > 0,y > 0\) b) \({\log _x}{x \over y} = {\log _x}x - {\log _a}y;\) điều kiện \(\,a > 0,a \ne 1,x > 0,y > 0\) c) \({\log _a}{x^\alpha} = \alpha {\log _a}x;\) điều kiện \(\,a > 0,a \ne 1,x > 0,y > 0\) d) \({a^{{{\log }^b}_a}} = b;\) điều kiện \(\,a > 0,a \ne 1,x > 0,y > 0\). Bài 26 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của a để có mệnh đề đúng: a) \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow 0 < x < y;\) b) \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x > y > 0;\) Giải a) \(a > 1\); b) \(0 < a <1\) Bài 27 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số 3: 3; 81; 1; \({1 \over 9};\root 3 \of 3 ;{1 \over {3\sqrt 3 }}\). Giải Áp dụng \({\log _a}{a^b} = b\,\,\) với \(a > 0;a \ne 1\) \({\log _3}3 = 1;{\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4;{\log _3}1 = 0;{\log _3}{1 \over 9} = {\log _3}{3^{ - 2}} = - 2;\) \({\log _3}\root 3 \of 3 = {\log _3}{3^{{1 \over 3}}} = {1 \over 3};{\log _3}{1 \over {3\sqrt 3 }} = {\log _3}{3^{{{ - 3} \over 2}}} = - {3 \over 2}\) Bài 28 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính \({\log _{{1 \over 5}}}125;{\log _{0,5}}{1 \over 2};{\log _{{1 \over 4}}}{1 \over {64}};{\log _{{1 \over 6}}}36.\) Giải \({\log _{{1 \over 5}}}125 = {\log _{{1 \over 5}}}{\left( {{1 \over 5}} \right)^{ - 3}} = - 3;\) \({\log _{0,5}}{1 \over 2} = {\log _{0,5}}0,5 = 1;\) \({\log _{{1 \over 4}}}{1 \over {64}} = {\log _{{1 \over 4}}}{\left( {{1 \over 4}} \right)^3} = 3;\) \({\log _{{1 \over 6}}}36 = {\log _{{1 \over 6}}}{\left( {{1 \over 6}} \right)^{ - 2}} = - 2.\) Bài 29 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính \({3^{{{\log }_3}18}};{3^{5{{\log }_3}2}};{\left( {{1 \over 8}} \right)^{{{\log }_2}5}};{\left( {{1 \over {32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\) Giải Áp dụng \({a^{{{\log }_a}b}} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) \({3^{{{\log }_3}18}} = 18;\) \({3^{5{{\log }_3}2}} = {3^{lo{g_3}{2^5}}} = {2^5} = 32;\) \({\left( {{1 \over 8}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {\left( {{2^{ - 3}}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {2^{\left( { - 3} \right){{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{5^{ - 3}}}} = {5^{ - 3}} = {1 \over {125}};\) \({\left( {{1 \over {32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}} = {\left( {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^5}} \right)^{{{\log }_{{1 \over 2}}}2}} = {\left( {{1 \over 2}} \right)^{lo{g_{{1 \over 2}}}{2^5}}} = {2^5} = 32;\) Bài 30 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm x, biết: a) \({\log _5}x = 4;\) b) \({\log _2}\left( {5 - x} \right) = 3;\) c) \({\log _3}\left( {x + 2} \right) = 3;\) d) \({\log _{{1 \over {16}}}}\left( {0,5 + x} \right) = - 1;\) Giải a) \({\log _5}x = 4 \Leftrightarrow x = {5^4} = 625.\) b) \({\log _2}\left( {5 - x} \right) = 3 \Leftrightarrow 5 - x = {2^3} \Leftrightarrow x = - 3\); c) \({\log _3}\left( {x + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 2 = {3^3} \Leftrightarrow x = 25\); d) \({\log _{{1 \over {6}}}}\left( {0,5 + x} \right) = - 1 \Leftrightarrow 0,5 + x = {\left( {{1 \over {6}}} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow x = 6 - 0,5 = 5,5\). Bài 31 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Biểu thị các lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai): \({\log _7}25;\;\;{\log _5}8;\;\;{\log _9}0,75;\;\;{\log _{0,75}}1,13.\) Giải \({\log _7}25 = {{\log 25} \over {\log 7}} \approx 1,65\) \({\log _5}8 = {{\log 8} \over {\log 5}} \approx 1,29\) \({\log _9}0,75 = {{\log 0,75} \over {\log 9}} \approx - 0,13\) \({\log _{0,75}}1,13 = {{\log 1,13} \over {\log 0,75}} \approx - 0,42\) Bài 32 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Hãy tính: a) \({\log _8}12 - {\log _8}15 + {\log _8}20;\) b) \({1 \over 2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\root 3 \of {21} ;\) c) \({{{{\log }_5}36 - {{\log }_5}12} \over {{{\log }_5}9}};\) d) \({36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \log 2}} - {8^{{{\log }_2}3}}.\) Giải a) \({\log _8}12 - {\log _8}15 + {\log _8}20 = {\log _8}{{12.20} \over {15}} = {\log _8}16 = {\log _{{2^3}}}{2^4} = {4 \over 3}\) b) \({1 \over 2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\root 3 \of {21} = {\log _7}6 - {\log _7}14 - {\log _7}21\) \( = {\log _7}{6 \over {14.21}} = {\log _7}{1 \over {49}} = {\log _7}{7^{ - 2}} = - 2\) c) \({{{{\log }_5}36 - {{\log }_5}12} \over {{{\log }_5}9}} = {{{{\log }_5}{{36} \over {12}}} \over {{{\log }_5}{3^2}}} = {{{{\log }_5}3} \over {2{{\log }_5}3}} = {1 \over 2}\) d) \({36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \log 2}} - {8^{{{\log }_2}3}} = {6^{2{{\log }_6}5}} + {10^{{{\log }_{10}}{{10} \over 2}}} - {2^{{{\log }_2}27}} = {6^{{{\log }_6}{5^2}}} + {10^{{{\log }_{10}}5}} - {2^{{{\log }_2}27}}=25 + 5 - 27 = 3\) Bài 33 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Hãy so sánh: a) \({\log _3}4\) và \({\log _4}{1 \over 3};\) b) \({3^{{{\log }_6}1,1}}\) và \({7^{{{\log }_6}0,99}};\) Giải a) Ta có \({\log _3}4 > {\log _3}3 = 1\) và \({\log _4}{1 \over 3} < {\log _4}1 = 0\). Suy ra \({\log _3}4 > {\log _4}{1 \over 3}\) b) \({\log _6}1,1 >{\log _6}1= 0\) nên \({3^{{{\log }_6}1,1}} > {3^0} = 1\) (vì 3 > 1) và \({\log _6}0,99 <{\log _6}1= 0\) nên \({7^{{{\log }_6}0,99}} < {7^0} = 1\) (vì 7 > 1) Suy ra \({3^{{{\log }_6}1,1}} > 1 > {7^{{{\log }_6}0,99}}\) Bài 34 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh: a) \(\log 2 + \log 3\) với \(\log 5\); b) \(\log 12 - \log 5\) với \(\log 7\); c) \(3\log 2 + \log 3\) với \(2\log 5\); d) \(1 + 2\log 3\) với \(\log 27\); Giải a) \(\log 2 + \log 3 = \log 6 > \log 5\) (vì 10 > 1) b) \(\log 12 - \log 5 = \log {{12} \over 5} = \log 2,4\) \(\log 12 - \log 5 < \log 7\) (vì 10>1) c) \(3\log 2 + \log 3 = \log \left( {{2^3}.3} \right) = \log 24 < \log 25 = 2\log 5\). \(3\log 2 + \log 3 <2\log 5\) d) \(1 + 2\log 3 = \log 10 + \log {3^2} = \log \left( {10.9} \right) = \log 90 > \log 27\). \(1 + 2\log 3>\log 27\). Bài 35 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính \({\log _a}x\) biết \({\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 2\): a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c ;\) b) \(x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}.\) Giải a) \({\log _a}x = {\log _a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right) = 3 + 2{\log _a}b + {1 \over 2}{\log _a}c = 3 + 2.3 + {1 \over 2}\left( { - 2} \right) = 8\). b) \({\log _a}x = {\log _a}\left( {{{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}} \right) = 4 + {1 \over 3}{\log _a}b - 3{\log _a}c = 4 + {1 \over 3}.3 - 3\left( { - 2} \right) = 11\). Bài 36 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm x: a) \({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b\) b) \({\log _5}x = 2{\log _5}a - 3{\log _5}b\) Giải a) \({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b = {\log _3}{a^4} + {\log _3}{b^7} = {\log _3}\left( {{a^4}{b^7}} \right) \Rightarrow x = {a^4}{b^7}\) b) \({\log _5}x = 2{\log _5}a - 3{\log _5}b = {\log _5}{{{a^2}} \over {{b^3}}} \Rightarrow x = {{{a^2}} \over {{b^3}}}.\) Bài 37 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Hãy biểu diễn các lôgarit sau qua \(\alpha \) và \(\beta \): a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\), nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \); b) \({\log _4}1250 = \alpha \), nếu \({\log _2}5 = \alpha \). Giải Áp dụng \({\log _{{a^\alpha }}}b = {1 \over \alpha }{\log _a}b\) \(\left( {a,b > 0,a \ne 1} \right)\) a) \({\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{1 \over {{3^2}}}}}50 = 2{\log _3}50 = 2{\log _3}10 + 2{\log _3}5\) \( = 2{\log _3}10 + 2{\log _3}{{15} \over 3} = 2{\log _3}10 + 2\left( {{{\log }_3}15 - 1} \right)\) \( = 2\beta + 2\left( {\alpha - 1} \right) = 2\alpha + 2\beta - 2\) b) \({\log _4}1250 = {1 \over 2}{\log _2}\left( {{5^4}.2} \right) = 2{\log _2}5 + {1 \over 2} = 2\alpha + {1 \over 2}.\) Bài 38 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Đơn giản các biểu thức: a) \(\log {1 \over 8} + {1 \over 2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 \); b) \(\log {4 \over 9} + {1 \over 2}\log 36 + {3 \over 2}\log {9 \over 2}\); c) \(\log 72 - 2\log {{27} \over {256}} + \log \sqrt {108} \); d) \(\log {1 \over 8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \). Giải a) \(\log {1 \over 8} + {1 \over 2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 = - \log 8 + \log 2 + \log 4 = - \log 8 + \log 8 = 0\) b) \(\log {4 \over 9} + {1 \over 2}\log 36 + {3 \over 2}\log {9 \over 2} = \log \left( {{4 \over 9}.6\sqrt {{{\left( {{9 \over 2}} \right)}^3}} } \right) = \log \left( {{4 \over 9}.6.{{{3^3}} \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} } \right)\) \( = \log \left( {{4 \over 9}{{.3}^4}.{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = \log \left( {18\sqrt 2 } \right)\) c) \(\log 72 - 2\log {{27} \over {256}} + \log \sqrt {108} = \log \left( {{2^3}{{.3}^2}} \right) - \log {{{3^6}} \over {{2^{16}}}} + \log \sqrt {{2^2}{{.3}^3}} \) \( = \log \left( {{2^3}{{.3}^2}:{{{3^6}} \over {{2^{16}}}}{{.2.3}^{{3 \over 2}}}} \right) = \log \left( {{2^{20}}{{.3}^{ - {5 \over 2}}}} \right) = 20\log 2 - {5 \over 2}\log 3\). d) \(\log {1 \over 8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} = \log {2^{ - 3}} - \log \left( {0,{5^3}.3} \right) + \log \left( {0,{5^4}{{.3}^2}} \right)\) \( = \log {2^{ - 3}} - \log {2^{ - 3}} - \log 3 + 2\log {2^{ - 2}} + 2\log 3 = \log {2^{ - 4}} + \log 3 = \log {3 \over {16}}\). Bài 39 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tìm x, biết: a) \({\log _x}27 = 3\); b) \({\log _x}{1 \over 7} = - 1\); c) \({\log _x}\sqrt 5 = - 4\); Giải Áp dụng: \({\log _a}b = c \Leftrightarrow b = {a^c}.\) Điều kiện: x>0 và \(x \ne 1\) a) \({\log _x}27 = 3 \Leftrightarrow {x^3} = 27 = {3^3} \Leftrightarrow x = 3\). b) \({\log _x}{1 \over 7} = - 1 \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = {1 \over 7} = {7^{ - 1}} \Leftrightarrow x = 7\). c) \({\log _x}\sqrt 5 = - 4 \Leftrightarrow {x^{ - 4}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow x = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{ - {1 \over 4}}} = {5^{ - {1 \over 8}}}\). Bài 40 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Số nguyên tố dạng \({M_p} = {2^p} - 1\), trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp). Ơ-le phát hiện \({M_{31}}\) năm 1750. Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp). Phát hiện \({M_{127}}\) năm 1876. \({M_{1398269}}\) được phát hiện năm 1996. Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số? (Dễ thấy rằng chữ số của \({2^p} - 1\) bằng chữ số của \({2^p}\)và để tính chữ số của \({M_{127}}\) có thể lấy \(\log 2 \approx 0,30\) và để tính chữ số của \({M_{1398269}}\) có thể lấy \(\log 2 \approx 0,30103\) (xem ví dụ 8) Giải \({M_{31}} = {2^{31}} - 1\) và số các chữ số của \({M_{31}}\) khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của \({2^{31}}\) nên số các chữ số của \({M_{31}}\) là \(\left[ {31.\log 2} \right] + 1 = \left[ {9,3} \right] + 1 = 10\) Tương tự, số các chữ số của \({M_{127}} = {2^{127}} - 1\) khi viết trong hệ thập phân là \(\left[ {127.\log 2} \right] + 1 = \left[ {38,23} \right] + 1 = 39\) Số các chữ số của \({M_{1398269}}\) khi viết trong hệ thập phân là \(\left[ {1398269.\log 2} \right] + 1 = 420921\) Bài 41 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi) Giải Số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sẽ có sau n quý là \(S = 15{\left( {1 + 0,0165} \right)^n} = 15.1,{0165^n}\) (triệu đồng) Từ đó \(\log S = \log 15 + n\log 1,0165,\,\) hay \(\,n = {{\log S - \log 15} \over {\log 1,0165}}\) Để có được số tiền 20 triệu đồng thì phải sau một thời gian là \(\,n = {{\log 20 - \log 15} \over {\log 1,0165}} \approx 17,58\) (quý). Vậy sau khoảng 4 năm 6 tháng (4 năm 2 quý), người gửi sẽ có ít nhất 20 triệu đồng từ số vốn 15 triệu đồng ban đầu (vì hết quý thứ hai, người gửi mới được nhận lãi của quý đó).
