Bài 29 Trang 172 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = -1\) và \(x = 1\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x( - 1 \le x \le 1)\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \). Giải \(S(x) = {(2\sqrt {1 - {x^2}} )^2} = 4(1 - {x^2})\) Ta có: \(V = \int\limits_{ - 1}^1 {4(1 - {x^2})dx = } \left. {\left( {4x - {{4{x^3}} \over 3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = {{16} \over 3}.\) Bài 30 Trang 172 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = \pi \), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\;(0 \le x \le \pi )\) là một tam giác đều cạnh \(2\sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \). Giải Ta có: \(S(x) = {(2\sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} )^2}.{{\sqrt 3 } \over 4} = \sqrt 3 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) Do đó: \(V = \int\limits_0^\pi {S(x)dx = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 } } \sin {\rm{x}}dx = - \sqrt 3 \cos x\mathop |\nolimits_0^\pi = 2\sqrt 3 \) Bài 31 Trang 172 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = 0, x = 4\), và \(y = \sqrt x - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành. Giải Hoành độ giao điểm của đường thẳng với trục hoành \(\eqalign{ & \sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr & V = \pi \int\limits_1^4 {{{(\sqrt x - 1)}^2}} dx = \pi \int\limits_1^4 {(x - 2\sqrt x } + 1)dx = \left. {\pi \left( {{{{x^2}} \over 2} - {4 \over 3}x\sqrt x + x} \right)} \right|_1^4 = {{7\pi } \over 6} \cr} \) Bài 32 Trang 173 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = {2 \over y},y = 1\) và \(y=4\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung. Giải Ta có \(V = \pi {\int\limits_1^4 {\left( {{2 \over y}} \right)} ^2}dy = 4\pi \int\limits_1^4 {{{dy} \over {{y^2}}}} = \left. {4\pi \left( { - {1 \over y}} \right)} \right|_1^4 = 3\pi \) Bài 33 Trang 173 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y = - 1\) và \(y = 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung. Giải \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {(\sqrt 5 } {y^2}{)^2}dy = 5\pi \int\limits_{ - 1}^1 {{y^4}} dy = \pi {y^5}\mathop |\nolimits_{ - 1}^1 = 2\pi \) Bài 34 Trang 179 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị các hàm số \(y = x, y = 1\) và \(y = {{{x^2}} \over 4}\) trong miền \(x \ge 0,y \le 1.\) b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 4,y = {x^2}\), trục tung và đường thẳng \(x = 1\) c) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2},y = 4x - 4\) và \(y = -4x – 4\). Giải a) Diện tích hình thang \(OABC\) là: \({S_1} = (2 + 1){1 \over 2} = {3 \over 2}\) Diện tích tam giác cong \(OBC\) là hình phẳng giới hạn bởi: \(y = 0,x = 2,y = {{{x^2}} \over 4}\) là: \({S_2} = \int\limits_0^2 {{{{x^2}} \over 4}} dx = \left. {{{{x^3}} \over {12}}} \right|_0^2 = {2 \over 3}\) Diện tích cần tìm là \(S = {S_1} - {S_2} = {3 \over 2} - {2 \over 3} = {5 \over 6}\) b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \({x^4} - 4{x^2} + 4 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} = 1 \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \pm 1 \hfill \cr x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\) Ta có: \(\eqalign{ & S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 4 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right|} dx \cr & = \int\limits_0^1 {({x^4} - 5{x^2}} + 4)dx = \left. {\left( {{{{x^5}} \over 5} - {{5{x^3}} \over 3} + 4x} \right)} \right|_0^1 = {{38} \over {15}} \cr} \) c) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = 4x – 4\) là: \(\eqalign{ & {x^2} = 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2. \cr} \) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = -4x – 4\) là: \(\eqalign{ & {x^2} = - 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 2. \cr} \) \(\eqalign{ & S = \int\limits_{ - 2}^0 {({x^2} + 4x + 4)} dx + \int\limits_0^2 {({x^2} - 4x + 4)} dx \cr & = \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^0 + \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2 = {8 \over 3} + {8 \over 3} = {{16} \over 3} \cr} \) Bài 35 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 1\) và \(y = 3 – x\). b) Các đường có phương trình \(x = {y^3}\), \(y = 1\), và \(x = 8\). c) Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 - x\) và trục hoành. Giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \({x^2} + 1 = 3 - x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right.\) Diện tích cần tìm là: \(\eqalign{ & S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + 1 - (3 - x)} \right|} dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx \cr & = \int\limits_{ - 2}^1 {( - {x^2} - x + 2)dx = \left. {\left( { - {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} + 2x} \right)} \right|} _{ - 2}^1 = {9 \over 2} \cr} \) b)Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_1^8 {({x^{{1 \over 3}}} - 1)dx = \left. {\left( {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - x} \right)} \right|_1^8} = {{17} \over 4}\) c) Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là: \(\eqalign{ & \sqrt x = 6 - x \Leftrightarrow x + \sqrt x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4 \cr} \) \(S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx + {1 \over 2}.2.2 = \left. {{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}} \right|_0^4} + 2 = {{22} \over 3}\) Bài 36 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Tính thể tích của vật thể \(T\) nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = \pi \), biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \((0 \le x \le \pi )\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \). Giải Ta có: \(\eqalign{ & S(x) = {(2\sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} )^2} = 4\sin x \cr & V = \int\limits_0^\pi {S(x)dx = \int\limits_0^\pi {4\sin xdx = - 4\cos x\mathop |\nolimits_0^\pi } } = 8 \cr} \) Bài 37 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2},x = 0\) và \(x = 2\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành. Giải Ta có: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx = \left. {\pi .{{{x^5}} \over 5}} \right|_0^2 = {{32\pi } \over 5}} \) Bài 38 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường \(y = \cos x, y = 0, x = 0\) và \(x = {\pi \over 4}.\) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. Giải Ta có: \(\eqalign{ & V = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos }^2}xdx = {\pi \over 2}\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {(1 + \cos 2x)dx} } \cr & = {\pi \over 2}\left. {\left( {x + {1 \over 2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{{\pi \over 4}} = {\pi \over 2}\left( {{\pi \over 4} + {1 \over 2}} \right) = {{\pi (\pi + 2)} \over 8} \cr} \) Bài 39 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường \(y = x{e^{{x \over 2}}},y = 0,x = 0\) và \(x = 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. Giải Ta có: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.\) \(V = \pi \left( {{x^2}{e^x}\mathop |\nolimits_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} } \right) = \pi \left( {e - 2{I_1}} \right)\) Với \({I_1} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.\) Do đó \({I_1} = x{e^x}\mathop |\nolimits_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx = e - {e^x}\mathop |\nolimits_0^1 } = 1\). Vậy \(V = \pi \left( {e - 2} \right).\) Bài 40 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt {2\sin 2y} ,x = 0,y = 0\) và \(y = {\pi \over 2}.\) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung. Giải Ta có: \(V = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {2\sin 2ydy = - \pi \cos 2y\mathop |\nolimits_0^{{\pi \over 2}} } = 2\pi \)
