Câu 1 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao. a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = ex – x – 1 đồng biến trên nửa khoảng \([0; +∞)\) b) Từ đó suy ra: ex > x + 1 với mọi x > 0. Giải a) Vì f(x) liên tục trên \(\mathbb R\) và f '(x) = ex – 1 > 0 với mọi x > 0 nên f đồng biến trên \([0; +∞)\) b) Do f(x) đồng biến trên \([0; +∞)\) nên với mọi x > 0, ta có: f(x) = ex – x – 1 > f(0) > 0 Từ đó suy ra: ex > x + 1 với mọi x > 0 Câu 2 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x – 10 b) Chứng minh rằng phương trình 2x3 – 3x2 – 12x – 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất. c) Gọi nghiệm thực duy nhất của hàm số là \(α\). Chứng ming rằnh \(3,5 < α < 3,6\). Giải a) TXD: \(D =\mathbb R\) f ’(x) = 6(x2 – x – 2) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.\) Hàm số đạt cực đại tại \(x=1;\;y_{CĐ}=-3\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;\;y_{CĐ}=-30\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \pm \infty \) Ta có bảng biến thiên: Đồ thị b) Đồ thị hàm số y = 2x3 – 3x2 – 12x – 10 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất nên phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất. c) Ta có: \(f(3, 5).f(3, 6) < 0\) Vì vậy, phương trình có nghiệm \(α\) duy nhất thỏa mãn điều kiện \(3,5 < α < 3,6\). Câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C). Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D). Giải Giả sử M(x0, lnx0) ∈ (C) (x0 > 0 ) Ta có: \(y' = {1 \over x}\) Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là: \(y = {1 \over {{x_0}}}(x - {x_o}) + \ln {x_0}\) Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh: \(\eqalign{ & {1 \over {{x_0}}}(x - {x_0}) + \ln {x_0} \ge \ln x \cr & \Leftrightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0 \cr} \) Đặt \(t = {x \over {{x_0}}} > 0\) Xét hàm số \(g(t) = t – \ln t\) với t > 0 \(\eqalign{ & g' = 1 - {1 \over t} = {{t - 1} \over t} \cr & g' = 0 \Leftrightarrow y = t = 1 \cr} \) Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có \(g(t) ≥ 1\) với mọi \(t \in (0, +∞)\) \( \Rightarrow t - \ln t - 1 \ge 0 \Rightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0\) với mọi \(x > 0\) Vậy trên \((0; +∞)\) (C) nằm phía dưới đường thẳng (D) Câu 4 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lầm in là 50 nghìn đồng. Chi phí để n máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất? Giải Gọi x là số máy in được sử dụng (x nguyên, 1 ≤ x ≤ 8) Khi đó, thời gian in 50000 tờ quảng cáo là: \({{50000} \over {3600x}}\,(h) = {{125} \over {9x}}\,(h)\) Tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là: \(f(x) = {{125} \over {9x}}(6x + 10).10 + 50x\) (nghìn đồng) Số lãi sẽ nhiều nhất nếu chi phí ít nhất Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [1, 8] Ta có: \(\eqalign{ & f(x) = {{2500} \over 3} + 50x + {{12500} \over {9x}};\,\,\,x \in {\rm{[}}1,\,8{\rm{]}} \cr & f'(x) = 50 - {{12500} \over {9{x^2}}} = {{50(9{x^2} - 250)} \over {9{x^2}}} \cr & f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {{{250} \over 9}} \approx 5,3 \cr} \) Bảng biến thiên: Trên [1, 8] đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt {{{250} \over 9}} \) Vì \(x\) nguyên nên khi sử dụng 5 máy thì thì thu được nhiều lãi nhất. Câu 5 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {1 \over {\sqrt { - {x^2} + x + 6} }}\) trên đoạn [0, 1] Giải Xét hàm số g(x) = -x2 + x + 6 với x ∈ [0, 1) Ta có: \(\eqalign{ & g'(x) = - 2x + 1 \cr & g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2} \cr} \) \(\eqalign{ & g(0) = 6;\,\,\,g({1 \over 2}) = {{25} \over 4};\,\,\,g(1) = 6 \cr & \mathop {\min }\limits_{x \in {\rm{[}}0,1{\rm{]}}} (x) = 6;\,\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0,1{\rm{]}}} (x) = {{25} \over 4} \cr} \) \(\eqalign{ & \Rightarrow 6 \le g(x) \le {{25} \over 4}\,\,\,(\forall x \in {\rm{[}}0,1{\rm{]}}) \cr & \Rightarrow {2 \over 5} \le f(x) = {1 \over {\sqrt {g(x)} }} \le {{\sqrt 6 } \over 6} \cr} \) Vậy \(\mathop {\max}\limits_{x \in [0,1{\rm{]}}} (fx) = {{\sqrt 6 } \over 6};\,\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in [0,1{\rm{]}}} (fx) = {2 \over 5}\) Câu 6 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao. a) Cho \(P(x) = {{{4^x}} \over {{4^x} + 2}}\) và hai số a, b thỏa mãn a + b = 1 Hãy tính P(a) + P(b) b) Hãy so sánh \(A = \root 3 \of {18} \) và \(B = {({1 \over 6})^{\log _62 - {1 \over 2}\log _{\sqrt 6 }5}}\) Giải a) Ta có: \(\eqalign{ & p(a) + p(b) = {{{4^a}} \over {{4^a} + 2}} + {{{4^b}} \over {{4^b} + 2}} \cr & = {{{4^a}({4^b} + 2) + {4^b}({4^a} + 2)} \over {({4^a} + 2)({4^b} + 2)}} = {{{{2.4}^{a + b}} + 2({4^a} + {4^b})} \over {{4^{a + b}} + 4 + 2({4^a} + {4^b})}} \cr & = {{8 + 2({4^a} + {4^b})} \over {8 + 2({4^a} + {4^b})}} = 1 \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & B = {({1 \over 6})^{\log _62 - {1 \over 2}\log _{\sqrt 6 }5}} ={6^{-\log _62 + \log _{ 6 }5}}= {6^{{{\log }_6}{5 \over 2}}} = {5 \over 2} \cr & {A^3} = 18 > {({5 \over 2})^3}=B^3 \cr} \) Suy ra A > B Câu 7 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao. a) Chứng minh rằng nếu a và b là hai số dương thỏa mãn a2 + b2 = 7ab thì \({\log _7}{{a + b} \over 3} = {1 \over 2}(log_7a + \log _7b)\) b) Biết a và b là hai số dương, a ≠ 1 sao cho \(\log _ab = \sqrt 3 \) Hãy tính \({\log _{a\sqrt b }}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }}\) Giải a) Ta có: \(\eqalign{ & {\log _7}{{a + b} \over 3} = {1 \over 2}(log_7a + \log _7b) \cr & \Leftrightarrow 2lo{g_7}{{a + b} \over 3} = {\log _7}(ab) \cr & \Leftrightarrow {({{a + b} \over 3})^2} = ab \cr & \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = 9ab \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 7ab\,\,(đpcm) \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & {\log _{a\sqrt b }}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }} = {{{{\log }_a}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }}} \over {{{\log }_a}a\sqrt b }} = {{{{\log }_a}\root 3 \of a - {{\log }_a}\sqrt {{b^3}} } \over {{{\log }_a}a + {{\log }_a}\sqrt b }} \cr & = {{{1 \over 3} - {3 \over 2}{{\log }_a}b} \over {1 + {1 \over 2}{{\log }_a}b}} = {{{1 \over 3} - {3 \over 2}\sqrt 3 } \over {1 + {1 \over 2}\sqrt 3 }} \cr & = {{2 - 9\sqrt 3 } \over {6 + 3\sqrt 3 }} \cr} \) Câu 8 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao. a) Tính đạo hàm của hàm số y = cosx.e2tanx và y = log2(sinx) b) Chứng minh rằng hàm số y = e4x + 2e-x thỏa mãn hệ thức y’’' – 13y’ – 12y = 0 Giải a) Ta có: \(\eqalign{ & y' = (cosx.{e^{2\tan x}})' = - \sin x{.e^{2\tan x}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;+ \cos x.{2 \over {{{\cos }^2}x}}.{e^{2\tan x}} \cr & = {e^{2\tan x}}({2 \over {\cos x}} - \sin x) \cr & y' = ({\log _2}(\sin x))' = {{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \over {\sin x}}.{1 \over {\ln 2}} = {{\cot x} \over {\ln 2}} \cr} \) b) Ta có: y’ = 4.e4x – 2e-x y’’ = 16.e4x + 2e-x y’’’ = 64.e4x – 2e-x Suy ra: y’’’ – 13y’ – 12y = 64e4x – 2e-x – 13(4e4x - 2e-x ) – 12(e4x + 2e-x ) = 0 Câu 9 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao. a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = 2x; \(y = {(\sqrt 2 )^x}\) và \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ, Hãy nêu nhận xét về trị trí tương đối của ba đồ thị hàm số đó. b) Vẽ đồ thị hàm số y = log3x. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số y = 2 + log3x và đồ thị của hàm số y = log3(x + 2) Giải a) Với x > 0 thì \({2^x} > {(\sqrt 3 )^x} > {(\sqrt 2 )^x}\) nên x > 0 đồ thị y = 2x nằm phía trên đồ thị \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) và đồ thị \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) nằm phía trên đồ thị \(y = {(\sqrt 2 )^x}\) Với x < 0 thì \({2^x} < {(\sqrt 3 )^x} < {(\sqrt 2 )^x}\) nên với x < 0 thì y = 2x nằm phía dưới đồ thị \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) và đồ thị \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) nằm phía dưới đồ thị \(y = {(\sqrt 2 )^x}\) b) Đồ thị y = 2 + log3x có được bằng cách tịnh tiến lên 2 đơn vị của đồ thị y = log3x Đồ thị y = log3(x + 2) có được bằng cách tịnh tiến sang trái 2 đơn vị của đồ thị y = log3x Câu 10 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Giải các phương trình và hệ phương trình sau a) \({81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30\) b) \({\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2\) c) \({4^{{{\log }_x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0\) d) \(\left\{ \matrix{ {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \hfill \cr {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \hfill \cr} \right.\) Giải a) Đặt \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\) Khi đó: \({81^{{{\sin }^2}x}} = {81^{1- {{\cos }^2}x}} = {{81} \over t}\) Phương trình trở thành: \(\eqalign{ & {{81} \over t} + t = 30 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 81 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 27 \hfill \cr t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {3^{4{{\cos }^2}x}} = {3^3} \hfill \cr {3^{4{{\cos }^2}x}} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 4{\cos ^2}x = 3 \hfill \cr 4{\cos ^2}x = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2(1 + \cos 2x) = 3 \hfill \cr 2(1 + \cos 2x) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos 2x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right. \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & {\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2 \cr&\Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5 = 9 \cr & \Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}} - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _{{1 \over 2}}}x = - 1 \hfill \cr {\log _{{1 \over 2}}}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {16}};\,2\} \) c) Điều kiện: x > 0 \(\eqalign{ & {4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.9^{\log x}} = 0 \cr} \) Chia hai vế phương trình 4logx ta được: \(4 - {({3 \over 2})^{\log x}} - 18.{({9 \over 4})^{\log x}} = 0\) Đặt \(t = {({3 \over 2})^{\log x}}\,\,(t > 0)\) ta có phương trình: \(18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = {4 \over 9} \hfill \cr t = - {1 \over 2}\,\,(loai) \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {({3 \over 2})^{\log x}} = {({3 \over 2})^{-2}} \Leftrightarrow \log x = - 2 \cr & \Leftrightarrow x = {10^{ - 2}} = {1 \over {100}} \cr} \) d) Điều kiện: x > 0; y > 0 \(\eqalign{ & {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {2^{x - 3y}} = {2^{{3 \over 2}}} \Leftrightarrow x - 3y = {3 \over 2}\,\,\,\,\,(1) \cr & {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr&\Leftrightarrow {1 \over 2}{\log _3}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr & \Leftrightarrow {\log _3}{3 \over x} = {\log _3}(9y) \Leftrightarrow {3 \over x} = 9y \Leftrightarrow xy = {1 \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ x - 3y = {3 \over 2} \hfill \cr xy = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr ({3 \over 2} + 3y)y = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr 3{y^2} + {3 \over 2}y - {1 \over 3} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = {1 \over 6} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = {\rm{\{ }}(2,\,{1 \over 6}){\rm{\} }}\) Câu 11 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tìm tập xác định của các hàm số sau a) y = log[1 – log(x2 – 5x + 16)] b) \(y = \sqrt {{{\log }_{0,5}}( - {x^2} + x + 6)} + {1 \over {{x^2} + 2x}}\) Giải a) Ta có: y xác định khi và khi chỉ khi: \(\eqalign{ & \log ({x^2} - 5x + 16) < 1 \Leftrightarrow 0 < {x^2} - 5x + 16 < 10 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 5x + 16 > 0 \hfill \cr {x^2} - 5x + 6 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2 < x < 3 \cr} \) Vậy D = (2, 3) b) Ta có: y xác định khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {\log _0}_{,5}( - {x^2} + x + 6) \ge 0 \hfill \cr {x^2} + 2x \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 0 < - {x^2} + x + 6 \le 1 \hfill \cr x(x + 2) \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - x - 6 < 0 \hfill \cr {x^2} - x - 5 \ge 0 \hfill \cr x \ne 0;\,\,x \ne - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 < x < 3 \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le {{1 - \sqrt {21} } \over 2} \hfill \cr x \ge {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr x \ne 0;\,\,x \ne - 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 < x \le {{1 - \sqrt {21} } \over 2} \hfill \cr {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \le x < 3 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(D = ( - 2;\,{{1 - \sqrt {21} } \over 2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}{{1 + \sqrt {21} } \over 2};\,3)\) Câu 12 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau a) y = x3 (1 + x4)3 b) y = cosx sin2x c) \(y = {x \over {{{\cos }^2}x}}\) Giải a) Đặt u = 1 + x4 \(\eqalign{ & \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4} \cr & \int {{x^3}(1 + {x^4})dx = {1 \over 4}} \int {{u^3}du} = {{{u^4}} \over {16}} + c \cr&= {1 \over {16}}{(1 + {x^4})^4} + C \cr} \) b) Ta có: \(\int {\sin 2x.cosxdx = {1 \over 2}} \int {(\sin3x +\sin x)dx}\) \(= - {1 \over 6} \cos 3x - {1 \over 2}\cos x + C\) c) Ta có: Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = \tan x \hfill \cr} \right.\) Do đó: \(\eqalign{ & \int {{x \over {{{\cos }^2}x}}} dx = x\tan x - \int {\tan xdx } \cr & = x\tan x + \int {{{d(cosx)} \over {cosx}}} = x\tan x + \ln |cosx| + C \cr} \) Câu 13 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tìm hàm số f, biết rằng \(f'(x) = 8{\sin ^2}(x + {\pi \over {12}})\) và f(0) = 8 Giải Ta có: \(\eqalign{ & f'(x) = 4{\rm{[}}1 - \cos (2x + {\pi \over 6}){\rm{]}} \cr & \Rightarrow f(x) = 4x - 2\sin (2x + {\pi \over 6}) + C \cr & f(0) = 8 \Rightarrow - 1 + C=8 \Rightarrow C = 9 \cr} \) Vậy \(f(x) = 4x - 2\sin (2x + {\pi \over 6}) + 9\) Câu 14 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tính các tính phân sau a) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} \) b) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}} \) c) \(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} \) Giải a) Đặt \(x = \tan t \Rightarrow dx = {1 \over {{{\cos }^2}t}}dt\) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{dt} \over {{{\cos }^2}t({{\tan }^2}t + 1)}}} = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {dt} = {\pi \over 4}\) b) Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}} = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{{(x + {1 \over 2})}^2} + {{({{\sqrt 3 } \over 2})}^2}}}} \) Đặt \(x + {1 \over 2} = {{\sqrt 3 } \over 2}\tan t \Rightarrow dx = {{\sqrt 3 } \over 2}(1 + {\tan ^2}t)dt\) \(I = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 3}} {{{{{\sqrt 3 } \over 2}dt} \over {{3 \over 4}}}} = {4 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}.{\pi \over 6} = {{\sqrt 3 \pi } \over 9}\) c) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.\) Do đó: \(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} = {x^2}{e^x}|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = e - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx\,\,\,\,\,\,\,(*)} } \) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.\) Suy ra: \(\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = x{e^x}|_0^1} - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - {e^x}|_0^1 = 1\) Từ (*) suy ra: \(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} = e - 2\) Câu 15 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường a) y + x2 = 0 và y + 3x2 = 2 b) y2 – 4x = 4 và 4x – y = 16 Giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là: -x2 = 2 – 3x2 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ± 1 Diện tích cần tìm là: \(\eqalign{ & S = \int\limits_{ - 1}^1 {| - {x^2} - (2 - 3{x^2})|dx = \int\limits_{ - 1}^1 {|2{x^2} - 2|dx} } \cr & = \int\limits_{ - 1}^1 {(2 - 2{x^2})dx = (2x - {2 \over 3}{x^3})|_{ - 1}^1} = {8 \over 3} \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & {y^2} - 4x = 4 \Leftrightarrow x = {{{y^2} - 4} \over 4} \cr & 4x - y = 16 \Leftrightarrow x = {{y + 16} \over 4} \cr} \) Phương trình tung độ giao điểm của hai đường cong là: \({y^2} - 4 = y + 16 \Leftrightarrow {y^2} - y - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ y = - 4 \hfill \cr ý = 5 \hfill \cr} \right.\) Diện tích cần tìm là: \(\eqalign{ & S = \int\limits_{ - 4}^5 {|{{{y^2} - 4} \over 4} - {{y + 16} \over 4}|dy} \cr & = {1 \over 4}\int\limits_{ - 4}^5 {|{y^2} - y - 20|dy = {1 \over 4}\int\limits_{ - 4}^5 {( - {y^2} + y + 20)dy} } \cr & = {1 \over 4}( - {{{y^3}} \over 3} + {{{y^2}} \over 2} + 20y)|_{ - 4}^5 = {{243} \over 8} \cr} \) Câu 16 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao. a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex, trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục hoành. b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol y = x2 + 1 và đường thẳng y = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay B quanh trục tung. Giải a) Thể tích cần tìm là: \(\eqalign{ & V = \pi \int\limits_0^1 {{{({e^x})}^2}dx = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} } \cr & = {\pi \over 2}{e^{2x}}|_0^1\,\, = {{\pi ({e^2} - 1)} \over 2} \cr} \) Thể tích cần tìm là: \(\eqalign{ & V = \pi \int\limits_1^2 {{{(\sqrt {y - 1} )}^2}dy\,\,\, = } \,\,\pi \int\limits_1^2 {(y - 1)dy} \cr & = \pi ({{{y^2}} \over 2} - y)|_1^2\,\,\, = \,\,{\pi \over 2} \cr} \) Câu 17 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Cho các số phức z1 = 1 + i; z2 = 1 – 2i Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức: \(z_1^2;\,\,\,{z_1}{z_2};\,\,\,2{z_1} - {z_2}:\,\,{z_1}\overline {z_2};\,\,\,{{{z_2}} \over {\overline {z_1}}}\) Giải z12 = (1 + i)2 = 2i z1z2 = (1 + i)(1 – 2i) = 3 – i 2z1 – z2 = 2(1 + i) – (1 – 2i) = 1 + 4i \({z_1}\overline {{z_2}} = (1 + i)(1 + 2i) = - 1 + 3i\) \({{{z_2}} \over {\overline {z_1}}} = {{1 - 2i} \over {1 - i}} = {{(1 - 2i)(1 + i)} \over 2} = {3 \over 2} - {i \over 2}\) Câu 18 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tính \(\eqalign{ & a)\,\,{(\sqrt 3 + i)^2} - {(\sqrt 3 - i)^2} \cr & b)\,{(\sqrt 3 + i)^2} + {(\sqrt 3 - i)^2} \cr & c)\,{(\sqrt 3 + i)^3} - {(\sqrt 3 - i)^3} \cr & d)\,{{{{(\sqrt 3 + i)}^2}} \over {{{(\sqrt 3 - i)}^2}}} \cr} \) Giải a) \(\eqalign{ & {(\sqrt 3 + i)^2} - {(\sqrt 3 - i)^2} \cr&= {\rm{[}}\sqrt 3 + i + \sqrt 3 - i{\rm{][}}\sqrt 3 + i - \sqrt 3 + i{\rm{]}} \cr & {\rm{ = 4}}\sqrt 3 i \cr} \) b) \({(\sqrt 3 + i)^2} + {(\sqrt 3 - i)^2} = 2 + 2\sqrt 3 i + 2 - 2\sqrt 3 i = 4\) c) \(\eqalign{ & {(\sqrt 3 + i)^2} - {(\sqrt 3 - i)^2} = {\rm{[}}\sqrt 3 + i - \sqrt 3 + i{\rm{][}}{(\sqrt 3 + i)^2} + {(\sqrt 3 )^2} - {i^2} + {(\sqrt 3 - i)^2}{\rm{]}} \cr & = 2i(4 + 4) = 16i \cr} \) d) \({{{{(\sqrt 3 + i)}^2}} \over {{{(\sqrt 3 - i)}^2}}} = {{2 + 2\sqrt 3 i} \over {2 - 2\sqrt 3 i}} = {{1 + \sqrt 3 i} \over {1 - \sqrt 3 i}} = {{ - 1 + \sqrt 3 i} \over 2}\) Câu 19 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao. a) Xác định phần thực của số phức \({{z + 1} \over {z - 1}}\) biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1 b) Chứng minh rằng nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì |z| = 1 Giải a) Ta có: \(|z| = 1 \Rightarrow z.\overline z = 1 \Rightarrow \overline z = {1 \over z}\) Với \(z ≠ 1\) Ta có: \(\eqalign{ & {{z + 1} \over {z - 1}} + \overline {({{z + 1} \over {z - 1}})} = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr & = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{{1 \over z} + 1} \over {{1 \over z} - 1}} = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{1 + z} \over {1 - z}} = 0 \cr} \) Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo nên có phần thực bằng 0. b) Nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì: \(\eqalign{ & {{z + 1} \over {z - 1}} = - {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr & \Rightarrow (z + 1)(\overline z - 1) = (\overline z + 1)(1 - z) \cr & \Rightarrow z.\overline z = 1 \cr} \) Vậy |z| = 1 Câu 20 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \((1 + i\sqrt 3 )z + 2\) Trong đó |z – 1 | ≤ 2 Giải Đặt \(z' = (1 + i\sqrt 3 )z + 2 \Rightarrow z = {{z' - 2} \over {1 + i\sqrt 3 }}\) Ta có: \(\eqalign{ & |z - 1|\,\, \le 2 \Leftrightarrow \,|{{z' - 2} \over {1 + i\sqrt 3 }} - 1|\,\, \le 2 \cr & \Leftrightarrow \,\,|z' - 2 - 1 - i\sqrt 3 |\,\, \le 2|1 + i\sqrt 3 | \cr & \Leftrightarrow \,\,|z' - (3 + i\sqrt 3 )|\,\, \le 4 \cr} \) Tập hợp các điểm M là tập hợp các điểm thuộc đường tròn (kể cả biên) có tâm A biểu diễn số \(3 + i\sqrt 3 \) có bán kính bằng 4. Câu 21 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tìm các căn bậc hai của các số phức -8 + 6i; 3 + 4i; \(1 - 2\sqrt 2 i\) Giải + Để tìm căn bậc hai của -8 + 6i, ta tìm x và y thỏa mãn: \(\left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = - 8 \hfill \cr 2xy = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr y = - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) Hai căn bậc hai cần tìm là 1 + 3i và -1 – 3i + Tìm x, y thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr 2xy = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) Hai căn bậc hai cần tìm là 2 + i; -2 – i + Tìm x, y thỏa mãn: \(\left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr 2xy = - 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = \sqrt 2 \hfill \cr y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x = - \sqrt 2 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) Hai căn bậc hai cần tìm là: \(\sqrt 2 - i;\,\, - \sqrt 2 + i\) Câu 22 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Giải các phương trình sau trên C a) z2 – 3z + 3 + i = 0 b) \({z^2} - (cos\varphi + i\sin \varphi )z + i\sin \varphi \cos \varphi = 0\) trong đó \(\varphi\) là số thực cho trước Giải a) z2 – 3z + 3 + i = 0 có biệt thức là: Δ = 32 – 4(3 + i) = -3 – 4i = (-1 + 2i )2 Nên nghiệm của nó là: \(\left\{ \matrix{ z_1={{3 + ( - 1 + 2i)} \over 2} = 1 + i \hfill \cr z_2={{3 - ( - 1 + 2i)} \over 2} = 2 - i \hfill \cr} \right.\) b) Ta có: \(\eqalign{ & {z^2} - (cos\varphi + i\sin \varphi )z + i\sin \varphi \cos \varphi = 0 \cr & \Leftrightarrow {z^2} - \cos \varphi .z - i\sin \varphi .z + isin\varphi cos\varphi = 0 \cr & \Leftrightarrow z(z - cos\varphi ) - isin\varphi (z - cos\varphi ) = 0 \cr & \Leftrightarrow (z - cos\varphi )(z - isin\varphi ) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = \cos \varphi \hfill \cr z = i\sin \varphi \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = {\rm{\{ cos}}\varphi {\rm{;}}\,i\sin \varphi )\) Câu 23 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tính: \({({{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }})^6};\,\,{{{{(\sqrt 3 + i)}^5}} \over {{{(1 - i\sqrt 3 )}^{11}}}}\) Giải a) Ta có: \(\eqalign{ & {{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }} = {{4i(1 - i\sqrt 3 )} \over 4} = \sqrt 3 + i \cr & = 2({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}i) = 2(cos{\pi \over 6} + {\rm{i}}\sin {\pi \over 6}) \cr} \) Suy ra: \({({{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }})^6} = {2^6}(cos\pi + \,i\sin \pi ) = - {2^6}\) b) Ta có: \(\eqalign{ & {(\sqrt 3 + i)^5} = {2^5}(cos{{5\pi } \over 6} + {\rm{i}}\sin {{5\pi } \over 6})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr & 1 - i\sqrt 3 = 2({1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i) \cr & = 2(cos( - {\pi \over 3}) + {\rm{i}}\sin ( - {\pi \over 3})) \cr & \Rightarrow {(1 - i\sqrt 3 )^{11}} = {2^{11}}{\rm{[cos(}}{{ - 11\pi } \over 3}) + {\rm{isin(}}{{ - 11\pi } \over 3}){\rm{]}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \) Từ (1) và (2) suy ra: \(\eqalign{ & {{{{(\sqrt 3 + i)}^5}} \over {{{(1 - i\sqrt 3 )}^{11}}}} = {1 \over {{2^6}}}{\rm{[cos(}}{{5\pi } \over 6} + {{11\pi } \over 3}) + {\rm{i}}\sin {\rm{(}}{{5\pi } \over 6} + {{11\pi } \over 3}){\rm{]}} \cr & = {1 \over {{2^6}}}(cos{{9\pi } \over 2} + {\rm{i}}\sin {{9\pi } \over 2}) = {i \over {64}} \cr} \) Câu 24 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao Hàm số \(f(x) = {e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}}\) (A) Đồng biến trên mỗi khoảng \((-∞, 1)\) và \((3, + ∞)\) (B) Nghịch biến trên mỗi khoảng \((-∞, 1)\) và \((3, + ∞)\) (C) Đồng biến trên khoảng \((-∞, 1)\) và nghịch biến trên khoảng \((3, + ∞)\) (D) Nghịch biến trên khoảng \((-∞, 1)\) và đồng biến trên khoảng \((3, + ∞)\) Giải Ta có: \(\eqalign{ & f'(x) = ({x^2} - 4x + 3){e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}} \cr & f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \) Ta có bảng biến thiên: Chọn (A) Câu 25 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao Hàm số f(x) = sin2x – 2sinx có giá trị nhỏ nhất là: (A) \( - {1 \over 2}\) (B) 0 (C) -1 (D) \( - {1 \over 3}\) Giải Đặt t = sin x; t ∈ [-1, 1] f(x) = g(t) = t2 – 2t g’ = 2t – 2 = 0 ⇔ t = 1 g( - 1) = 3 g(1) = -1 Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in R} f(x) = - 1\) Chọn (C) Câu 26 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + x} \) . Khi đó (A) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to + \infty \) ) (B) Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to + \infty \) ) (C) Đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to + \infty \) ) (D) Đồ thị (C) không có tiệm cận xiên (khi \(x \to + \infty \) ) Giải \(\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{f(x)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x}} = 1 \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[f(x)}}\, - {\rm{ax]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + x} - x) \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {\sqrt {{x^2} + x} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \) Vậy \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của (C) khi \(x\to +∞\) Chọn B Câu 27 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao Đồ thị của hàm số y = x3 – x + 1 tiếp xúc với điểm (1, 1) với (A) Parabol y = 2x2 -1 (B) Parabol y = x2 (C) Parabol y = -x2 + 2x (D) Đường thẳng y = 2x + 1 Giải Xét f(x) = x3 – x + 1 ; g(x) = x2 Ta có: \(\left\{ \matrix{ f(1) = g(1) = 1 \hfill \cr f'(1) = g'(1) = 2 \hfill \cr} \right.\) Nên đồ thị hàm số y = x3 – x + 1 tiếp xúc với (P) y = x2 tại (1, 1) Chọn (B) Câu 28 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao Cho hai số dương a và b. Đặt \(\left\{ \matrix{ X = \ln {{a + b} \over 2} \hfill \cr Y = {{\ln a + \ln b} \over 2} \hfill \cr} \right.\) Khi đó: (A) X > Y (B) X < Y (C) X ≥ Y (D) X ≤ Y Giải Ta có: \(\eqalign{ & {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab}\cr& \Rightarrow \ln {{a + b} \over 2} \ge \ln \sqrt {ab} = {1 \over 2}(lna\, + \ln b) \cr & \Rightarrow X \ge Y \cr} \) Chọn (C) Câu 29 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao Cho hai số không âm a và b. Đặt \(\left\{ \matrix{ X = {e^{{{a + b} \over 2}}} \hfill \cr Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \hfill \cr} \right.\) Khi đó: (A) X > Y (B) X < Y (C) X ≥ Y (D) X ≤ Y Giải Ta có: \(Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \ge \sqrt {{e^a}.{e^b}} = {e^{{{a + b} \over 2}}} = X\) Vậy chọn (D) Câu 30 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao Cho (C) là đồ thị của hàm số y = log2x. Ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = log22(x + 3) bằng cách tịnh tiến (C) theo vectơ: \(\eqalign{ & (A)\,\overrightarrow v = (3,1) \cr & (B)\,\overrightarrow v = (3, - 1) \cr & (C)\,\overrightarrow v = ( - 3,1) \cr & (D)\,\overrightarrow v = ( - 3, - 1) \cr} \) Giải Ta có: log22(x + 3) = 1 + log2 (x + 3) y = log2x \(\to\) Tịnh tiến trái 3 đơn vị y = log2 (x + 3) \(\to\) Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị \(\to\) y = 1 + log2 (x + 3) Chọn (C) Câu 31 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao Cho hàm số f(x) = log5(x2 + 1). Khi đó: (A) \(f'(1) = {1 \over {2\ln 5}}\) (B) \(f'(1) = {1 \over {\ln 5}}\) (C) \(f'(1) = {3 \over {2\ln 5}}\) (D) \(f'(1) = {2 \over {\ln 5}}\) Giải Ta có: \(f'(x) = {{2x} \over {{x^2} + 1}}.{1 \over {\ln 5}} \Rightarrow f'(1) = {1 \over {\ln 5}}\) Chọn (B) Câu 32 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax và đồ thị của hàm số y = logbx cắt nhau tại điểm \(\left( {\sqrt {{2^{ - 1}}} ;\sqrt 2 } \right)\). Khi đó (A) a > 1 và b > 1 (B) a > 1 và 0 < b < 1 (C) 0 < a < 1 và b > 1 (D) 0 < a < 1 và 0 < b < 1 Giải Ta có: \(\left\{ \matrix{ {a^{\sqrt {{1 \over 2}} }} = \sqrt 2 \hfill \cr {\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\log _a}\sqrt 2 = \sqrt {{1 \over 2}} > 0 \hfill \cr {\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 > 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{ a > 1 \hfill \cr 0 < b < 1 \hfill \cr} \right.\) Chọn (B) Câu 33 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao Cho hàm số \(f(x) = {{2{x^4} + 3} \over {{x^2}}}\) . Khi đó (A) \(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} - {3 \over x} + C\) (B) \(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over x} + C\) (C) \(\int {f(x)dx = 2{x^3}} - {3 \over x} + C\) (D)\(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over {2x}} + C\) Giải Ta có: \(\int {f(x)dx = \int {(2{x^2} + {3 \over {{x^2}}})dx = {{2{x^3}} \over 3} - {3 \over x} + C} } \) Chọn (A) Câu 34 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao Đẳng thức \(\int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = sina} \) xảy ra nếu: \((A) \;a – π\) \(\eqalign{ & (B)\,\,a = \sqrt \pi \cr & (C)\,\,a = \sqrt {3\pi } \cr & (D)\,a = \sqrt {2\pi } \cr} \) Giải Ta có: \(\eqalign{ & \int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = \sin (x + {a^2})|_0^a} \cr&= \sin (a + {a^2}) - \sin {a^2} = \sin a \cr & \Leftrightarrow \sin (a + {a^2}) = \sin {a^2} + \sin a \cr} \) Với \(a = \sqrt {2\pi } \Rightarrow \sin (\sqrt {2\pi } + 2\pi ) = \sin 2\pi + \sin \sqrt {2\pi } \) \( \Leftrightarrow \sin \sqrt {2\pi } = \sin \sqrt {2\pi } \) Chọn (D) Câu 35 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện: \(\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx\,\, < e - 2\) Khi đó: (A) S = {1} (B) S = {2} (C) S = {1, 2} (D) S = Ø Giải Ta có: \(\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx = \int\limits_1^e {(\ln k - \ln x)dx = (e - 1)\ln k - \int\limits_1^e {\ln xdx} }\) Đặt \(\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = dx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ du = {1 \over x}dx \hfill \cr v = x \hfill \cr} \right.\) Do đó: \(\int\limits_1^e {\ln xdx = x\ln x|_1^e} - \int\limits_1^e {dx} = e - (e - 1) = 1\) Vậy: \(\eqalign{ & \int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx < e - 2 \Leftrightarrow (e - 1)\ln k - 1 < e - 2 \cr & \Leftrightarrow {\mathop{\rm lnk}\nolimits} < 1 \Leftrightarrow 0 < k < e \Leftrightarrow k \in {\rm{\{ }}1,\,2\} \cr} \) Chọn (C) Câu 36 trang 217 SGK Giải tích 12 Nâng cao Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức \(\alpha = {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2};\,\beta = z.\overline z + i\left( {z - \overline z } \right).\) Khi đó: A. α là số thực, β là số thực. B. α là số thực, β là số ảo. C. α là số ảo, β là số thực. D. α là số ảo, β là số ảo. Giải Giả sử z = a+bi, ta có: \(\alpha = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 2{a^2}\) vậy α ∈ R \(\beta = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) + i\left( {a + bi - a + bi} \right)\) \(= {a^2} + {b^2} - {b^2} = {\rm{ }}{a^2}\in\mathbb R\) Vậy chọn A. Câu 37 trang 217 SGK Giải tích 12 Nâng cao Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức \(\left\{ \matrix{ \alpha = {{{i^{2005}} - i} \over {\overline z - 1}} - {z^2} + {(\overline z )^2} \hfill \cr \beta = {{{z^3} - z} \over {z - 1}} + {(\overline z )^2} + \overline z \hfill \cr} \right.\) Khi đó: (A) α là số thực, β là số thực (B) α là số thực, β là số ảo (C) α là số ảo, β là số thực (D) α là số ảo, β là số ảo Giải Ta có: \({i^{2005}} = i \Rightarrow \alpha = {(\overline z )^2} - {z^2} = (\overline z - z)(\overline z + z)\) là số thực \(\beta = {z^2} + z + {\overline z ^2} + \overline z = {(z + \overline z )^2} - 2z.\overline z + (z + \overline z )\) là số thực Chọn (C) Câu 38 trang 217 SGK Giải tích 12 Nâng cao Nếu môđun của số phức z bằng r (r > 0) thì môdn của số phức (1 – i)2z bằng: (A) 4r (B) 2r (C) \(r\sqrt 2 \) (D) r Giải (1 – i)2 = -2i ⇒ |(1 – i)2| = 2 ⇒ |(1 – i)2z| = 2r Chọn (B)
