Tóm tắt lý thuyết 1. Kiến thức cần nhớ Sự đơn điệu của hàm số. Cực trị của hàm số. Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tiệm cận của đồ thị hàm số. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Các dạng toán thường gặp a) Một số dạng toán về sự đơn điệu của hàm số thường gặp Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ. b) Một số dạng toán về cực trị của hàm số thường gặp Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: Dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2. Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại \(x_0.\) Phương pháp: Tìm tập xác định. Tính \(y' \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right).\) Lập luận: Hàm số đạt cực đại tại \({x_0} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 0\), giải phương trình tìm được m. Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không. Kết luận giá trị m thỏa điều kiện. Dạng 3:Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\)cực đại, cực tiểu: Phương pháp: Tìm tập xác định D. Tính \(y'\). Tính \(\Delta _{y'}\). Lập luận: Hàm số luôn luôn có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}>0\) giải tìm m. Dạng 4: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\) không có cực đại, cực tiểu: Phương pháp: Tìm tập xác định D. Tính \(y'\). Tính \(\Delta _{y'}\). Lập luận: Hàm số không có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}\leq 0\) giải tìm m. Dạng 5: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) luôn luôn có cực đại, cực tiểu. Phương pháp: Tìm tập xác đinh D. Tính \(y'\). Tính \(\Delta _{y'}\) (nếu y’ là tam thức bậc 2 theo x). Chứng minh: \(\Delta _{y'}>0\) và y’ đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó suy ra hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu. c) Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số Tìm GTLN - GTNN của hàm sô trên một khoảng, nửa khoảng. Tìm GTLN - GTNN của hàm số trên một đoạn. d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất (hàm nhất biến). e) Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số Tìm số giao điểm của hai đường \((C_1):y=f(x)\) và \((C_2):y=g(x).\) Biện luận theo m nghiệm của phương trình \(f(x)=m.\) Bài tập minh họa Bài tập 1: Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số: a) Có cực đại và cực tiểu. b) Đạt cực đại tại điểm x=1. Lời giải: TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\) Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\). a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\) b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\) Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\) Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1. Bài tập 2: Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1). Lời giải: TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\) Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\) \(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\) Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\) Xét hàm số \(g(x), x\in (-1;1)\) Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\) BBT: Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\) Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e]. Lời giải: Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1;e]. \(f'(x)=2x-\frac{4}{x}=\frac{2x^2-4}{x}\); với \(x\in [1;e],f'(x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\) \(f(1)=1;f(e)=e^2-4;f(\sqrt{2})=2-2ln2\) Do đó: \(\underset{x\in [1;e]}{min}f(x)=f(\sqrt{2})=2-2ln2\). \(\underset{x\in [1;e]}{max}f(x)=f(e)=e^2-4\). Bài tập 4: Cho hàm số \(y=-x^4+(m+2)x^2-m-1\) có đồ thị (C). Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: \(-x^4+(m+2)x^2-m-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1\\ x^2=m+1 \end{matrix}\) (1) (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+1>0\\ m+1\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-1\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\) Khi đó: \((1)\Leftrightarrow x=-1\cup x=1\cup x=-\sqrt{m+1}\cup x=\sqrt{m+1}\) Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \sqrt{m+1}<2\Leftrightarrow m+1<4\Leftrightarrow m<3\) So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: \(m < 3 \) Theo LTTK Education tổng hợp
