1. Dãy số có giới hạn 0 Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \(0\) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0\) hoặc \(\lim {u_n} = 0\). Một số dãy số có giới hạn \(0\) thường gặp: \(\lim \dfrac{1}{n} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0,..\) Định lý 1: Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\). Định lý 2: Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\). 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0\). Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = L\) hoặc \(\lim {u_n} = L\). Định lý 1: Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó: i) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\). ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \) Định lý 2: Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Khi đó: i) Các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} - {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và \(\left( {c.{u_n}} \right)\) có giới hạn là: +) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\) +) \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M\) +) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M\) +) \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\) ii) Nếu \(M \ne 0\) thì dãy số \(\left( {\dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\) có giới hạn là \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \dfrac{L}{M}\). Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Với cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) thì: \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) 3. Dãy số có giới hạn vô cực Định nghĩa: a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( + \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = + \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = + \infty \) hoặc \(\lim {u_n} = + \infty \). b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( - \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = - \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = - \infty \) hoặc \(\lim {u_n} = - \infty \). Nhận xét: i) \(\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n = + \infty ,\) \(\lim \sqrt[3]{n} = + \infty \) ii) Nếu \(\lim {u_n} = - \infty \) thì \(\lim \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \) Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:
