1. Các kiến thức cần nhớ Căn bậc hai số học Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$. Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$. +) $\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$ +) So sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a< \sqrt b $. Căn thức bậc hai Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A $ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. $\sqrt A $ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm. Hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Với mọi số $a$, ta có $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$. Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ nghĩa là $\sqrt {{A^2}} = A$ nếu $A \ge 0$ và $\sqrt {{A^2}} = - A$ nếu $A < 0$. 2. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai. Phương pháp: Sử dụng kiến thức với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $. Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai Phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$ Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Phương pháp: - Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức (thông thường là ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$, ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$) - Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$ Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa Phương pháp: Sử dụng kiến thức biểu thức $\sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0.$ Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai Phương pháp: Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây: \(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\); \(\sqrt {{A^2}} = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\) \(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { \vee B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\) ; \(\sqrt {{A^2}} = \sqrt {{B^2}} \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A = \pm B\)
