Bài 10: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(x)f(y)=y^{\alpha} f \left( \dfrac{x}{2} \right)+x^{\beta} f \left( \dfrac{y}{2} \right), \forall x,y \in \mathbb{R^+}$với $\alpha, \beta$ là các số thực cho trước không nhất thiết phân biệt.
Bài 11: Cho hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa điều kiện $f \left( x^3+2y \right)=f \left( y^3+2x \right), \forall x,y \in \mathbb{R}$.Chứng minh $f$ là hàm hằng.
Bài 12: Tìm tất cả các hàm liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện $f \left( x^2 \right) +f(x)=x^2+x, \forall x \in \mathbb{R}$.
Bài 13: Tìm tất cả các hàm liên tục $f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $f(x)=f \left( x^2+ \dfrac{1}{4} \right), \forall x \in \mathbb{R}$.
Bài 14: Cho $ 0<k< \dfrac{1}{4}$. Hàm liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x)=f \left( x^2+k \right), \forall x \in \mathbb{R}$.Chứng minh $f$ là hàm hằng trên $\mathbb{R}$.
Bài 15: Cho $g(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$. Hãy tìm tất cả các hàm $f$ xác định, liên tục trên khoảng $(-1;1)$ và thỏa mãn hệ thức $\left( 1-x^2 \right).f \left( g(x) \right)=\left( 1+x^2 \right)^2.f(x)$ với mọi $x \in (-1;1)$