Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Đại số 9. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nghiệm của hệ phương trình: $(I)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}}\\ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}} \end{array}} \right.$ $\left( {a_1^2 + b_1^2 \ne 0,a_2^2 + b_2^2 \ne 0} \right)$ là cặp số $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thỏa mãn đồng thời hai phương trình ${a_1}x + {b_1}y = {c_1}$ và ${a_2}x + {b_2}y = {c_2}.$ 2. Giải hệ phương trình $(I)$ là tìm tập nghiệm của nó. 3. Số nghiệm của hệ $(I)$ chính là số giao điểm của hai đường thẳng ${a_1}x + {b_1}y = {c_1}$ $\left( {{d_1}} \right)$ và ${a_2}x + {b_2}y = {c_2}$ $\left( {{d_2}} \right).$ Hệ $(I)$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \left( {{d_1}} \right)$ cắt $\left( {{d_2}} \right).$ Hệ $(I)$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left( {{d_1}} \right)//\left( {{d_2}} \right).$ Hệ $(I)$ có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow \left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right).$ 4. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau. Hai hệ phương trình cùng vô nghiệm cũng được coi là tương đương với nhau. 5. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế: + Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn. + Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. 6. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số: + Nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau. + Áp dụng quy tắc cộng đại số để được một hệ phương trình mới, trong đó một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng $0$ (phương trình còn một ẩn). + Giải phương trình một ẩn thu được rồi dùng phương pháp thế, suy ra nghiệm của hệ đã cho. 7. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1. Lập hệ phương trình: + Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng. + Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập hệ hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải hệ phương trình nói trên. Bước 3. Kiểm tra các điều kiện rồi kết luận. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. XÉT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ BIỂU DIỄN NGHIỆM I. Phương pháp giải + Thử trực tiếp cặp số đã cho vào hệ. + Nhận xét đặc điểm riêng của từng phương trình (nếu có). + Vẽ đường thẳng biểu diễn từng phương trình của hệ, lưu ý hệ số góc của các đường thẳng. Lưu ý: + Nếu một trong hai phương trình của hệ vô nghiệm thì cả hệ vô nghiệm. + Nghiệm của hệ là một cặp số, chính là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình của hệ. II. Ví dụ Ví dụ 1: Hai hệ phương trình cùng có vô số nghiệm liệu có tương đương với nhau không? Cho ví dụ minh hoạ. Hai hệ phương trình cùng có vô số nghiệm chưa chắc đã tương đương với nhau. Chẳng hạn, xét hai hệ phương trình: $(I)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y = 0}\\ {2x – 2y = 0} \end{array}} \right.$ và $(II)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 0}\\ {3x + 3y = 0} \end{array}} \right..$ Dễ dàng thấy rằng cả hai hệ phương trình đều có vô số nghiệm. Hệ $(I)$ có nghiệm dạng $(t;t)$, hệ $(II)$ có nghiệm dạng $(t;-t)$, $t \in R.$ Tuy nhiên, tập nghiệm của hệ $(I)$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y = x$, tập nghiệm của hệ $(II)$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y = -x.$ Rõ ràng hai đường thẳng này không trùng nhau (chúng vuông góc với nhau), tức là tập nghiệm của hai hệ không trùng nhau. Vậy hệ $(I)$ và hệ $(II)$ không tương đương. Ví dụ 2: Với giá trị nào của $m$ và $n$ thì hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {mx – y = 1}\\ {x + y = n} \end{array}} \right.$ nhận cặp số $(-1;0)$ làm nghiệm? Cặp số $(-1;0)$ là nghiệm của hệ khi thoả mãn đồng thời hai phương trình của hệ, nên ta có: $m.( – 1) – 0 = 1$ và $ – 1 + 0 = n.$ Từ đó $m = -1$ và $n = -1.$ Ví dụ 3: Hãy xét xem hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {11x + 10y = 12}\\ {6x + y = 18} \end{array}} \right..$ Ta hãy xem đồ thị của các phương trình của hệ có vị trí tương đối như thế nào? Muốn vậy, ta hãy biểu diễn $y$ theo $x$ từ mỗi phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = – 1,1x + 1,2}\\ {y = – 6x + 18} \end{array}} \right..$ Đây là hai hàm bậc nhất. Đồ thị của chúng là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau, do đó chúng cắt nhau. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất. Ví dụ 4: Với giá trị nào của $a$ thì hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 1}\\ {ax + 2y = 0} \end{array}} \right..$ a) Có nghiệm duy nhất? b) Vô nghiệm? c) Có vô số nghiệm? Từ phương trình thứ nhất rút ra: $y = – x + 1$ $(1).$ Từ phương trình thứ hai rút ra: $y = – \frac{a}{2}x$ $(2).$ a) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi các đường thẳng $(1)$ và $(2)$ cắt nhau, tức là các hệ số góc của chúng khác nhau hay $ – \frac{a}{2} \ne – 1$ suy ra $a \ne 2.$ b) Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi hai đường thẳng $(1)$ và $(2)$ song song. Vì hai đường thẳng này có tung độ gốc khác nhau nên chúng song song với nhau khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau, tức là: $ – \frac{a}{2} = – 1$ hay $a = 2.$ c) Hai đường thẳng $(1)$ và $(2)$ có tung độ gốc khác nhau nên không thể trùng nhau. Vậy hệ đã cho không thể có vô số nghiệm. Ví dụ 5: Cho hệ phương trình: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x – y = m}\\ {mx + \sqrt 2 y = m} \end{array}} \right..$ a) Tìm $m$ để hệ vô nghiệm, vô số nghiệm. b) Hệ có nghiệm duy nhất khi nào? Vì sao? a) Biến đổi hệ đã cho thành: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = 2x – m\:\:(1)}\\ {y = – \frac{m}{{\sqrt 2 }}x + \frac{m}{{\sqrt 2 }}\:\:(2)} \end{array}.} \right.$ Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi hai đường thẳng $(1)$ và $(2)$ song song hay $ – \frac{m}{{\sqrt 2 }} = 2$, tức là $m = – 2\sqrt 2 $ (hệ số góc của hai đường thẳng $(1)$ và $(2)$ bằng nhau). Mặt khác, khi $m = – 2\sqrt 2 $ thì tung độ gốc của hai đường thẳng này khác nhau $\left( { – m \ne \frac{m}{{\sqrt 2 }}} \right).$ Vậy hệ vô nghiệm khi và chỉ khi $m = – 2\sqrt 2 .$ Theo trên ta thấy khi hai đường thẳng $(1)$ và $(2)$ có cùng hệ số góc thì tung độ gốc của chúng khác nhau. Vậy không có giá trị nào của $m$ để hệ có vô số nghiệm. b) Từ câu a suy ra khi $m \ne – 2\sqrt 2 $ thì hai đường thẳng $(1)$ và $(2)$ có hệ số góc khác nhau, tức là chúng cắt nhau. Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m \ne – 2\sqrt 2 .$ III. Bài tập 1. Cặp số $(3; – 1)$ là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây? a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3u + v = 8}\\ {7u – 2v = 23} \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v + 2u = 5}\\ {u + 2v = 1} \end{array}} \right..$ c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3u – v = 0}\\ {5u – v = – 4} \end{array}} \right..$ 2. Cặp số nào trong các cặp số $( – 3;4)$, $( – 2; – 6)$, $( – 4;3)$ là nghiệm của hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = y – 7}\\ {3x + 4y = 0} \end{array}} \right.$? 3. Nối mỗi hệ phương trình với một cặp số tương ứng mà nó nhận làm nghiệm: A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{x}{2} + 2y = \frac{7}{2}}\\ {2x – y = \frac{{19}}{2}} \end{array}} \right.$a. $( – 2;1)$B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y = – 3}\\ { – 2x + 2y = 6} \end{array}} \right.$b. $\left( {5;\frac{1}{2}} \right)$C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x – y = 3}\\ {3x + 2y = 4,5} \end{array}} \right.$c. $\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)$D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\sqrt 2 + y\sqrt 3 = 5}\\ {x\sqrt 3 – y\sqrt 2 = 0} \end{array}} \right.$d. $(1,5;0).$4. Xác định giá trị của $m$ để hệ phương trình sau có vô số nghiệm. Viết công thức nghiệm tổng quát của hệ với giá trị tìm được của $m$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + y = \frac{1}{2}}\\ {(2m + 1)x – y = – \frac{1}{2}} \end{array}} \right..$ 5. Xét xem các hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm? a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x – 2y = 7}\\ {6x – 4y = 1} \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5x – y = 11}\\ { – 10x + 2y = – 22} \end{array}.} \right.$ c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + 3y = 1}\\ {2y = 4} \end{array}} \right..$ d) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + 2 = 0}\\ {2x – y = 3} \end{array}} \right..$ 6. Cho hai phương trình: $3x + y = 7$ và $ – 5x + 2y = 3.$ a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên. b) Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ toạ độ, rồi xác định nghiệm chung của hai phương trình. 7. Bằng cách vẽ đồ thị, hãy giải các hệ phương trình sau: a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y = 1}\\ {x + 3y = 9} \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + 2y = 4}\\ { – 2x – 4y = 10} \end{array}} \right..$ c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 0}\\ { – 3x + 4y = 14} \end{array}} \right..$ d) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,5y + x = – 0,5}\\ {2x + 3y = – 1} \end{array}} \right..$ 8. Chứng minh rằng nếu một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm phân biệt thì hệ đó có vô số nghiệm. Dạng 2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ I. Phương pháp giải Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta cần tiến hành các bước sau đây: 1. Biểu diễn một ẩn từ một phương trình nào đó của hệ qua ẩn kia. 2. Thay ẩn này bởi biểu thức biểu diễn nó vào phương trình còn lại. 3. Giải phương trình một ẩn nhận được. 4. Tìm giá trị tương ứng của ẩn còn lại. II. Ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tìm trên đường thẳng $y = 3x + 8$ điểm có hoành độ bằng tung độ. Giả sử điểm cần tìm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Điểm này có hoành độ bằng tung độ nên ${x_0} = {y_0}.$ Mặt khác, $M$ thuộc đường thẳng $y = 3x + 8$ nên toạ độ của nó thoả mãn phương trình của đường thẳng, tức là ${y_0} = 3{x_0} + 8.$ Ta có hệ phương trình hai ẩn ${x_0}$, ${y_0}.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} = {y_0}\:\:(1)}\\ {{y_0} = 3{x_0} + 8\:\:(2)} \end{array}.} \right.$ Thay ${x_0}$ bởi ${y_0}$ từ phương trình $(1)$ vào phương trình $(2)$, ta có: ${y_0} = 3{y_0} + 8$ $ \Leftrightarrow – 2{y_0} = 8$ $ \Leftrightarrow {y_0} = – 4.$ Từ đó ${x_0} = – 4.$ Vậy điểm cần tìm là $M( – 4; – 4).$ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + y = 12\:\:(1)}\\ {7x – 2y = 31\:\:(2)} \end{array}.} \right.$ Từ phương trình $(1)$, biểu diễn $y$ theo $x$ ta có: $y = 12 – 2x.$ Thay $y$ trong phương trình $(2)$ bởi $12 – 2x$ ta được: $7x – 2(12 – 2x) = 31.$ $ \Leftrightarrow 7x – 24 + 4x = 31.$ $ \Leftrightarrow 11x = 55.$ $ \Leftrightarrow x = 5.$ Thay $x = 5$ vào phương trình $y = 12 – 2x$ ta được: $y = 12 – 2.5 = 2.$ Vậy hệ có nghiệm $(x;y) = (5;2).$ Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x\sqrt 2 – y = 3\:\:(1)}\\ {x – 2y\sqrt 2 = – 5\sqrt 2 \:\:(2)} \end{array}.} \right.$ Từ $(1)$ rút ra $y = 3x\sqrt 2 – 3.$ Thay vào $(2)$ ta có: $x – 2\sqrt 2 (3x\sqrt 2 – 3) = – 5\sqrt 2 $ $ \Rightarrow – 11x = – 11\sqrt 2 $ $ \Rightarrow x = \sqrt 2 .$ Từ đó tìm được $y = 3.$ Vậy hệ có nghiệm $(x;y) = (\sqrt 2 ;3).$ Ví dụ 4: Cho hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {ax – y = 2\:\:(1)}\\ {x + ay = 3\:\:(2)} \end{array}} \right..$ a) Giải hệ phương trình khi $a = \sqrt 3 – 1.$ b) Chứng minh rằng với mọi $a$ hệ luôn có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó. a) Với $a = \sqrt 3 – 1$ hệ trở thành: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(\sqrt 3 – 1)x – y = 2\:\:(1)}\\ {x + (\sqrt 3 – 1)y = 3\:\:(2)} \end{array}.} \right.$ Giải hệ bằng phương pháp thế. Từ $(2)$ ta có: $x = 3 – (\sqrt 3 – 1)y.$ Thay vào $(1)$ ta có: $(\sqrt 3 – 1)[3 – (\sqrt 3 – 1)y] – y = 2.$ $ \Leftrightarrow – {(\sqrt 3 – 1)^2}y – y = 2 – 3(\sqrt 3 – 1).$ $ \Leftrightarrow \left[ { – {{(\sqrt 3 – 1)}^2} – 1} \right]y = 2 – 3(\sqrt 3 – 1).$ $ \Leftrightarrow ( – 5 + 2\sqrt 3 )y = 5 – 3\sqrt 3 .$ $ \Leftrightarrow y = \frac{{5 – 3\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 – 5}}$ $ = \frac{{(5 – 3\sqrt 3 )(2\sqrt 3 + 5)}}{{ – 13}}$ $ = \frac{{5\sqrt 3 – 7}}{{13}}.$ Từ đó: $x = 3 – \frac{{(\sqrt 3 – 1)(5\sqrt 3 – 7)}}{{13}}$ $ = \frac{{39 – (15 – 5\sqrt 3 – 7\sqrt 3 + 7)}}{{13}}$ $ = \frac{{17 + 12\sqrt 3 }}{{13}}.$ Vậy hệ có nghiệm là $(x;y) = \left( {\frac{{12\sqrt 3 + 17}}{{13}};\frac{{5\sqrt 3 – 7}}{{13}}} \right).$ b) Xét hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {ax – y = 2\:\:(1)}\\ {x + ay = 3\:\:(2)} \end{array}} \right..$ Từ phương trình $(2)$ rút ra $x = 3 – ay.$ Thay vào phương trình $(1)$ ta được: $a(3 – ay) – y = 2.$ $ \Leftrightarrow 3a – {a^2}y – y = 2$ $ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)y = 3a – 2$ $(3).$ Do ${a^2} + 1 \ne 0$ với mọi $a$ nên phương trình $(3)$ có nghiệm duy nhất $y = \frac{{3a – 2}}{{{a^2} + 1}}$, suy ra $x = 3 – \frac{{a(3a – 2)}}{{{a^2} + 1}}$ $ = \frac{{2a + 3}}{{{a^2} + 1}}.$ Vậy với mọi $a$ hệ luôn có nghiệm duy nhất: $\left( {\frac{{2a + 3}}{{{a^2} + 1}};\frac{{3a – 2}}{{{a^2} + 1}}} \right).$ Ví dụ 5: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho ba đường thẳng: $2x – y = – 1$ $\left( {{d_1}} \right).$ $x + y = – 2$ $\left( {{d_2}} \right).$ $y = – 2x – m$ $\left( {{d_3}} \right).$ Xác định $m$ để ba đường thẳng đã cho đồng quy. Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x – y = – 1}\\ {x + y = – 2} \end{array}} \right..$ Giải hệ này bằng phương pháp thế, ta được nghiệm $x = -1$, $y = -1.$ Vậy giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là $I( – 1; – 1).$ Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm $I$ nằm trên đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$, tức là toạ độ của $I$ thoả mãn phương trình: $y = – 2x – m.$ Ta có $ – 1 = – 2.( – 1) – m$, suy ra $m = 3.$ Vậy với $m = 3$ thì ba đường thẳng đã cho đồng quy. III. Bài tập 1. Giải các hệ phương trình: a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {8y – x = 4}\\ {2x – 21y = 2} \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {7x + 6y = 6}\\ {3x + 4y = 9} \end{array}} \right..$ c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{y}{4} – \frac{x}{5} = 6}\\ {\frac{x}{{15}} + \frac{y}{{12}} = 0} \end{array}} \right..$ d) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{6x}}{5} + \frac{y}{{15}} = 2,3}\\ {\frac{x}{{10}} – \frac{{2y}}{3} = 1,2} \end{array}} \right..$ 2. Giải các hệ phương trình: a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2u + 5v = 0}\\ { – 8u + 15v = 7} \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4u + 3v = 14}\\ {5u – 3v = 25} \end{array}} \right..$ c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4z + t = 2}\\ { – 8z – 2t = 1} \end{array}} \right..$ d) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{z}{3} – \frac{t}{2} = – 4}\\ {2z – 3t = – 24} \end{array}} \right..$ 3. Giải các hệ phương trình: a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\sqrt 2 + y = 3 + \sqrt 2 }\\ { – x + (\sqrt 2 – 1)y = 1 – \sqrt 2 } \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\sqrt 2 – y\sqrt 3 = 5}\\ {x + y = 2\sqrt 2 } \end{array}} \right..$ 4. Xác định $a$ và $b$ để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ trong mỗi trường hợp sau: a) $A(5;0)$ và $B(-2;21).$ b) $A(\sqrt 3 ;2)$ và $B( – 1;2).$ Vẽ các đồ thị nhận được. 5. Xác định $m$ để hai đường thẳng $y = 4x + 8$ và $y = \frac{1}{2}x – m$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. 6. Tìm trên đường thẳng $y = 5x – 4$ các điểm cách trục tung một khoảng bằng $2$ đơn vị. 7. Cho hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(m – 1)x – y = 2}\\ {mx + y = m} \end{array}} \right..$ a) Giải hệ phương trình khi $m = \sqrt 2 .$ b) Xác định giá trị của $m$ để hệ có nghiệm $(x;y)$ duy nhất thoả mãn điều kiện $x + y > 0.$ 8. Bằng cách biểu diễn $x$ và $y$ theo $z$, hãy tìm $x$, $y$, $z$ từ hệ phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + 4y = 10}\\ {y – z = 11}\\ {z + \frac{x}{2} = – 6} \end{array}} \right..$ Dạng 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ I. Phương pháp giải Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta cần tiến hành các bước sau đây: 1. Nhân cả hai vế của các phương trình trong hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ đã cho về hệ mới, trong đó các hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau (hoặc đối nhau). 2. Trừ (hoặc cộng) từng vế của các phương trình trong hệ mới để khử bớt một ẩn. 3. Giải phương trình một ẩn thu được. 4. Thay giá trị tìm được của ẩn này vào một trong hai phương trình của hệ để tìm ẩn kia. Lưu ý: 1. Khi trong hệ có chứa những biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ về một hệ mới đơn giản hơn. 2. Một hệ phương trình có thể được giải bằng một trong hai phương pháp: thế hoặc cộng đại số. Tuỳ theo đặc điểm của mỗi phương trình mà ta chọn phương pháp thích hợp. II. Ví dụ Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình: a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + 3y = – 5}\\ {x – 3y = 26} \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5x + 11y = 8}\\ {10x – 7y = 74} \end{array}} \right..$ a) Các hệ số của ẩn $y$ trong hai phương trình là đối nhau, vì vậy, ta cộng từng vế của hai phương trình để khử ẩn $y$, thu được: $3x = 21$ $ \Leftrightarrow x = 7.$ Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta có: $7 – 3y = 26$ $ \Leftrightarrow 3y = – 19$ $ \Leftrightarrow y = – \frac{{19}}{3}.$ Vậy hệ có nghiệm $(x;y) = \left( {7; – \frac{{19}}{3}} \right).$ b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2$, giữ nguyên phương trình thứ hai, ta nhận được hệ mới: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {10x + 22y = 16}\\ {10x – 7y = 74} \end{array}} \right..$ Trừ từng vế của phương trình thứ nhất (mới) cho phương trình thứ hai, thu được: $29y = – 58$ $ \Leftrightarrow y = – 2.$ Thay vào phương trình thứ hai, ta có: $10x – 7.( – 2) = 74$ $ \Leftrightarrow 10x = 60$ $ \Leftrightarrow x = 6.$ Vậy hệ có nghiệm $(x;y) = (6;-2).$ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x – 5y = 93}\\ {5x – 4y = 103} \end{array}} \right..$ Ta hãy chọn các nhân tử thích hợp để khi nhân cả hai vế của từng phương trình với chúng, các hệ số của một ẩn, chẳng hạn $y$, là đối nhau. Để ý rằng $BCNN(5;4) = 20$, nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $-4$, phương trình thứ hai với $5$, ta nhận được hệ mới: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 12x + 20y = – 372}\\ {25x – 20y = 515} \end{array}} \right..$ Cộng từng vế hai phương trình, ta được: $13x = 143$ $ \Rightarrow x = 11.$ Thay giá trị vừa tìm được của $x$ vào phương trình $5x – 4y = 103$, tìm được $y = -12.$ Vậy nghiệm của hệ là $(x;y) = (11;-12).$ Ví dụ 3: Xác định $m$, $n$ để hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {mx – y = n}\\ {mx + ny = 2} \end{array}} \right..$ a) Có nghiệm $(x;y) = ( – \sqrt 2 ;\sqrt 3 ).$ b) Vô nghiệm. a) Hệ có nghiệm $(x;y) = ( – \sqrt 2 ;\sqrt 3 )$ tức là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m.( – \sqrt 2 ) – \sqrt 3 = n}\\ {m.( – \sqrt 2 ) + n\sqrt 3 = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – \sqrt 2 m – n = \sqrt 3 }\\ { – \sqrt 2 m + \sqrt 3 n = 2} \end{array}} \right..$ Đây là hệ hai phương trình bậc nhất đối với hai ẩn $m$, $n.$ Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được: $m = \frac{{ – 5\sqrt 2 }}{{2(\sqrt 3 + 1)}}$, $n = \frac{{2 – \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 1}}.$ b) Từ phương trình thứ nhất rút ra $y = mx – n$ thay vào phương trình thứ hai ta được: $mx + n(mx – n) = 2$ $ \Leftrightarrow m(n + 1)x = {n^2} + 2.$ Để ý rằng ${n^2} + 2 > 0$ $\forall n$ nên phương trình sau cùng vô nghiệm khi và chỉ khi $m(n + 1) = 0$, tức là $m = 0$ hoặc $n = -1.$ Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi $m = 0$ hoặc $n = -1.$ Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{7}{{2x + y}} + \frac{4}{{2x – y}} = 74}\\ {\frac{3}{{2x + y}} + \frac{2}{{2x – y}} = 32} \end{array}} \right..$ Đặt $\frac{1}{{2x + y}} = u$, $\frac{1}{{2x – y}} = v$ ta có hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {7u + 4v = 74}\\ {3u + 2v = 32} \end{array}} \right..$ Giải hệ phương trình này (bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số) ta tìm được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 10}\\ {v = 1} \end{array}} \right..$ Từ đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + y = \frac{1}{{10}}}\\ {2x – y = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{11}}{{40}}}\\ {y = – \frac{9}{{20}}} \end{array}} \right..$ Vậy hệ có nghiệm $(x;y) = \left( {\frac{{11}}{{40}}; – \frac{9}{{20}}} \right).$ Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + |y| = 3}\\ {x – y = 6} \end{array}} \right..$ + Xét trường hợp $y \ge 0$, hệ trở thành: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + y = 3}\\ {x – y = 6} \end{array}} \right..$ Bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số, tìm được $x = 3$, $y = -3.$ Giá trị $y = -3$ không thoả mãn điều kiện ở trên nên cặp số $(3;-3)$ không phải là nghiệm của hệ đã cho. + Xét trường hợp $y < 0$, hệ trở thành: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x – y = 3}\\ {x – y = 6} \end{array}} \right..$ Trừ từng vế của hệ, tìm được $x = -3$, từ đó $y = -9$ (thoả mãn điều kiện đặt ra). Vậy hệ đã cho có một nghiệm $( – 3; – 9).$ III. Bài tập 1. Giải các hệ phương trình: a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5x – 3y = 8}\\ {15x – 9y = 20} \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x + 5y = 2}\\ {6x + 10y = 4} \end{array}} \right..$ c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3(2x + y) – 26 = 3x – 2y}\\ {15 – (x – 3y) = 2x + 5} \end{array}} \right..$ d) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x – y – 24 = 2(5x – 2y)}\\ {3y – 2 = 4 – (x – y)} \end{array}} \right..$ 2. Tìm hàm số $y = kx + b$, biết rằng đồ thị của nó đi qua các điểm: a) $M(5;5)$ và $N( – 10; – 19).$ b) $P(4;1)$ và $Q(3; – 5).$ c) $A(8; – 1)$ và $B(\sqrt 2 ; – 1).$ d) $I(2;4)$ và $J(2; – 7).$ 3. Giải các hệ phương trình: a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{v}{3} – \frac{u}{8} = 3}\\ {7u + 9v = – 2} \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{5u}}{6} – v = – \frac{5}{6}}\\ {\frac{{2u}}{3} + 3v = – \frac{2}{3}} \end{array}} \right..$ c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\sqrt 3 + 3y = 1}\\ {2x – y\sqrt 3 = \sqrt 3 } \end{array}} \right..$ d) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(1 + \sqrt 2 )x + (\sqrt 2 – \sqrt 3 )y = 5}\\ {(1 – \sqrt 2 )x + (\sqrt 3 – \sqrt 2 )y = – 11} \end{array}} \right..$ 4. Bằng phương pháp đặt ẩn phụ, hãy giải các hệ phương trình sau: a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{x} – \frac{6}{y} = 17}\\ {\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = 13} \end{array}} \right..$ b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{x}{{x – 1}} + \frac{{2y}}{{y + 2}} = 3}\\ {\frac{{2x}}{{x – 1}} – \frac{y}{{y + 2}} = – 4} \end{array}} \right..$ 5. Các đường thẳng $2x + 3y = 20$, $3x – 5y = 11$ và $x + y = 9$ có đồng quy tại một điểm hay không? 6. Xác định $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm, tìm nghiệm đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x – y = – 16}\\ { – 2x + ay = a – 1}\\ {2x + y = 1} \end{array}} \right..$ 7. Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – 2y + 2 = 0}\\ {|x – 2| – y – 1 = 0} \end{array}} \right..$ 8. Xác định $a$, $b$ để hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x – ay = b}\\ {ax + by = 1} \end{array}} \right..$ a) Có nghiệm là $(\sqrt 2 ; – \sqrt 2 ).$ b) Có vô số nghiệm. Dạng 4. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. Phương pháp giải Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta có thể tiến hành theo các bước sau: Bước 1. Lập hệ phương trình: + Chọn ẩn (thường là các đại lượng cần tìm) và đặt điều kiện thích hợp cho chúng. + Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải hệ phương trình vừa lập. Bước 3. Kiểm tra xem các nghiệm của hệ có thoả mãn điều kiện đặt ra rồi trả lời. II. Ví dụ Ví dụ 1: Một khách du lịch đi trên ô tô $4$ giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hoả trong $7$ giờ được quãng đường dài $640$ km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ô tô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô $5$ km? Gọi vận tốc của ô tô là $x$ (km/h), vận tốc của tàu hỏa là $y$ (km/h) ($x > 0$, $y > 0$). Quãng đường khách du lịch đi bằng ô tô là $4x$ (km), đi bằng tàu hỏa là $7y$ (km). Theo giả thiết ta có $4x + 7y = 640.$ Kết hợp điều kiện vận tốc của tàu hỏa hơn vận tốc ô tô $5$ km/h, ta được hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y – x = 5}\\ {4x + 7y = 640} \end{array}} \right..$ Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế tìm được: $x = 55$, $y = 60.$ Cả hai giá trị này đều thoả mãn điều kiện đặt ra. Trả lời: Vận tốc của tàu hỏa là $60$ km/h. Vận tốc của ô tô là $55$ km/h. Ví dụ 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau $1$ giờ $20$ phút bể sẽ đầy. Nếu mở vòi thứ nhất trong $10$ phút và vòi thứ hai trong $12$ phút thì được $\frac{2}{{15}}$ bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu mới đầy bể? Gọi $x$ là thời gian vòi $I$ chảy một mình đầy bể, $y$ là thời gian vòi $II$ chảy một mình đầy bể (đơn vị: giờ, $x > 0$ và $y > 0$). Trong một giờ, vòi $I$ chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi $II$ chảy được $\frac{1}{y}$ bể. Trong $1$ giờ $20$ phút, tức $\frac{4}{3}$ giờ, cả hai vòi chảy được $\frac{4}{3}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)$ bể (đầy bể). Trong $10$ phút ($\frac{1}{6}$ giờ), vòi $I$ chảy được $\frac{1}{{6x}}$ bể, trong $12$ phút ($\frac{1}{5}$ giờ), vòi $II$ chảy được $\frac{1}{{5y}}$ bể. Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{4}{3}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1}\\ {\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}} \end{array}} \right..$ Bằng cách đặt $\frac{1}{x} = u$ và $\frac{1}{y} = v$ ta đưa về hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = \frac{3}{4}}\\ {\frac{u}{6} + \frac{v}{5} = \frac{2}{{15}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \frac{1}{2}}\\ {v = \frac{1}{4}} \end{array}} \right..$ Từ đó tìm được $x = 2$, $y = 4$ (thoả mãn điều kiện đặt ra). Trả lời: Vòi thứ nhất chảy một mình trong $2$ giờ đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong $4$ giờ đầy bể. Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hiệu giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là $7$, nếu lấy số đã cho chia cho số viết theo thứ tự ngược lại ta được thương là $3$ và số dư là $5.$ Gọi số phải tìm là $\overline {xy} = 10x + y$ ($x$, $y$ nguyên dương), ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y = 7}\\ {10x + y = 3(10y + x) + 5} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y = 7}\\ {7x – 29y = 5} \end{array}} \right..$ Giải hệ phương trình tìm được $x = 9$, $y = 2$ (thoả mãn điều kiện). Vậy số cần tìm là $92.$ Ví dụ 4: Bạn Nam có $1$ triệu đồng gồm $2$ tờ $500 000$ đồng. Nhân dịp đầu xuân mới, Nam muốn đổi lấy $30$ tờ gồm hai loại $50 000$ đồng và $20 000$ đồng. Hỏi bạn Nam có thể đạt được ý muốn hay không? Giả sử Nam đã đổi được $1$ triệu đồng lấy $30$ tờ gồm $x$ tờ loại $50 000$ đồng và $y$ tờ loại $20 000$ đồng. Ta phải có $x + y = 30.$ Mặt khác, vì tổng số tiền vẫn giữ nguyên nên ta có: $50000x + 20000y = 1000000.$ Ta có hệ phương trình (sau khi rút gọn): $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 30}\\ {5x + 2y = 100} \end{array}} \right..$ Giải hệ này tìm được $x = \frac{{40}}{3}$, $y = \frac{{50}}{3}.$ Theo ý nghĩa của bài toán $x$ và $y$ phải là các số tự nhiên. Do đó các giá trị tìm được của $x$ và $y$ không phù hợp. Vậy bạn Nam không thể đạt được ý muốn của mình. III. Bài tập 1. Biết rằng $15$ quả táo và $8$ quả thanh long nặng $7,1$ kg, $5$ quả táo nặng hơn $3$ quả thanh long $100$ g. Hỏi mỗi quả táo, quả thanh long nặng bao nhiêu? 2. Ở một công ty lắp ráp xe cơ giới, người ta lắp $430$ chiếc lốp cho $150$ xe gồm ô tô ($4$ bánh) và mô tô ($2$ bánh). Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc? 3. Khối lượng của $600$ $c{m^3}$ nhôm và $1,5$ $d{m^3}$ sắt là $13,32$ kg. Tìm khối lượng riêng của nhôm, biết rằng nó nhỏ hơn khối lượng riêng của sắt là $5,1$ $kg/d{m^3}.$ 4. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng $9$ và viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số bằng $\frac{2}{9}$ số ban đầu. 5. Một hình thang có diện tích $140$ $c{m^2}$, chiều cao bằng $8$ cm. Tính độ dài các đáy của hình thang, biết rằng chúng hơn kém nhau $15$ cm. 6. Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau $38$ km. Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau $4$ giờ. Hỏi vận tốc của mỗi người, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai $2$ km? 7. Một chiếc canô đi xuôi dòng theo một khúc sông trong $3$ giờ và đi ngược dòng trong $4$ giờ, được $380$ km. Một lần khác, canô này đi xuôi dòng trong $1$ giờ và ngược dòng trong $30$ phút được $85$ km. Hãy tính vận tốc thật (lúc nước yên lặng) của canô và vận tốc của dòng nước (vận tốc thật của canô và vận tốc dòng nước ở hai lần là như nhau). 8. Hai năm trước đây, tuổi của anh gấp đôi tuổi của em, còn $8$ năm trước đây, tuổi anh gấp $5$ lần tuổi em. Hỏi hiện nay anh và em bao nhiêu tuổi? 9. Một giá sách gồm ba ngăn. Số sách ở ngăn giữa nhiều hơn số sách ở ngăn dưới $10%$ và nhiều hơn số sách ở ngăn trên $30%.$ Hỏi mỗi giá sách đựng bao nhiêu quyển, biết rằng số sách ở ngăn dưới nhiều hơn số sách ở ngăn trên $80$ quyển? 10. Một canô chạy xuôi dòng sông $108$ km rồi chạy ngược dòng $63$ km hết tất cả $7$ giờ. Một lần khác, canô này chạy xuôi dòng $81$ km rồi ngược dòng $84$ km cũng hết $7$ giờ. Hãy tính vận tốc thật của canô và vận tốc dòng nước (vận tốc thật của canô và vận tốc dòng nước ở hai lần là như nhau). 11. Con đường từ bản A đến trạm xá gồm một đoạn lên dốc dài $3$ km, đoạn nằm ngang $12$ km và đoạn xuống dốc $6$ km. Một cán bộ đi xe máy từ bản A đến trạm xá hết $1$ giờ $7$ phút. Sau đó cán bộ này từ trạm xá trở về bản hết $1$ giờ $16$ phút. Hãy tính vận tốc của xe máy lúc lên dốc và lúc xuống dốc, biết rằng trên đoạn đường nằm ngang, xe máy đi với vận tốc $18$ km/h và vận tốc khi lên dốc, khi xuống dốc trong lúc đi và lúc về là như nhau.[/B]
