Tóm tắt lý thuyết 1. Trục tọa độ Khái niệm: Trục tọa độ (trục hoặc trục số) của một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ \(\vec{i}\) có độ dài bằng 1. Vectơ \(\vec{i}\) gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Vì vậy, đối với mọi điểm M nằm trên trục tọa độ, ta luôn luôn xác định được số m nào đó sao cho \(\vec{OM}=m\vec{i}\). Số m đó gọi là tọa độ điểm M với trục. Nếu có hai điểm A và B phân biệt nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ \(\vec{AB}\) được kí hiệu là \(\bar{AB}\) và còn được gọi là độ dài đại số của vectơ \(\vec{AB}\) trên trục Ox. 2. Hệ trục tọa độ Oij Trên hình đã mô tả đầy đủ về Hệ trục tọa độ. Trục ngang chứa \(\vec{i}\) gọi là trục hoành, trục dọc chứa \(\vec{j}\) gọi là trục tung và được kí hiệu là Oxy hoặc \((O;\vec{i};\vec{j})\) 3. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ Đối với hệ trục tọa độ \((O;\vec{i};\vec{j})\), nếu \(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\) thì cặp số \((x;y)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{a}\), kí hiệu là \(\vec{a}=(x;y)\) hoặc \(\vec{a}(x;y)\). x là hoành độ, y là tung độ của vectơ \(\vec{a}\) Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét: \(\vec{a}=(x;y)=\vec{b}=(x';y')\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'\\ y=y' \end{matrix}\right.\) 4. Biểu thức tọa độ của các vectơ 5. Tọa độ của điểm Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ của vectơ \(\vec{OM}\) chính là tọa độ của điểm \(M(x_M;y_M)\) Một cách tổng quát, ta có: Với hai điểm \(M(x_M;y_M)\) và \(N(x_N;y_N)\) thì ta có: \(\vec{MN}=(x_N-x_M;y_N-y_M)\) 6. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: \(x_M=\frac{x_a+x_B}{2};y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì: \(x_G=\frac{x_a+x_B+x_C}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\) Bài tập minh họa Bài 1: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau, nếu sai hãy giải thích: 1. Hai vectơ \(\vec{a}(3;1)\) và vectơ \(\vec{b}(1;3)\) là hai vectơ bằng nhau. 2. Hai vectơ bằng nhau khi chúng có hoành độ và tung độ bằng nhau. 3. Vectơ \(\vec{a}\) cùng phương với vectơ \(\vec{b}\) nếu vectơ \(\vec{a}\) có tung độ bằng 0. 4. Hai vectơ cùng phương khi hoành độ của vectơ này bằng k lần hoành độ của vectơ kia, tung độ của vectơ này bằng -k lần tung độ vectơ kia. Hướng dẫn: Câu 1 là sai vì chúng chỉ có độ lớn bằng nhau, chứ hai vectơ không bằng nhau. Câu 2 là câu đúng. Câu 3 là câu sai, vì nếu cùng phương chúng sẽ tỉ lệ hoành và tung theo hệ số k nào đó. Câu 4 là câu sai vì chúng tỉ lệ theo k hoặc -k chứ không phải hoành là k, tung là -k. Bài 2: Biểu diễn các vectơ sau lên cùng một mặt phẳng tọa độ \(\vec{a}=-2\vec{i}\), \(\vec{b}=3\vec{j}\), \(\vec{c}=2\vec{i}-\vec{j}\), \(\vec{d}=\frac{1}{2}\vec{i}+3\vec{j}\) Hướng dẫn: Bài 3: Chứng minh 3 điểm \(A(-3;4);B(1;1);C(9;-5)\) thẳng hàng. Hướng dẫn: Để chứng minh ba điểm này thẳng hàng, ta viết các vectơ \(\vec{AB};\vec{AC}\) rồi xác định hệ số k sao cho hoành và tung của \(\vec{AB}\) đúng bằng k lần hoành và tung của \(\vec{AC}\). Thật vậy, \(\vec{AB}=(4;-3)\) \(\vec{AC}=(12;-9)\) Như vậy, hệ số k được xác định là \(k=3\). Vậy 3 điểm A, B, C thằng hàng. Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ. Cho 3 điểm \(A(1;2); B(4;1);C(5;-2)\). 1. Tìm tọa độ trung điểm M của AC. 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 3. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Hướng dẫn: 1. Do M là trung điểm của AC nên \(x_M=\frac{x_A+x_C}{2},y_M=\frac{y_A+y_C}{2}\) \(\Leftrightarrow x_M=\frac{1+5}{2},y_M=\frac{2+(-2)}{2}\)\(\Leftrightarrow x_M=3,y_M=0\Leftrightarrow M(3;0)\) 2. G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3},y_M=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\) \(\Leftrightarrow x_G=\frac{1+4+5}{3},y_G=\frac{2+1+(-2)}{3}\)\(\Leftrightarrow x_G=\frac{10}{3},y_G=\frac{1}{3}\Leftrightarrow G \left ( \frac{10}{3};\frac{1}{3} \right )\) 3. ABCD là hình bình hành, suy ra \(\vec{AB}=\vec{DC}\) Mà \(\vec{AB}=(4-1;1-2)\Leftrightarrow \vec{AB}=(3;-1)\) Suy ra \(\left\{\begin{matrix} x_D=5-3\\ y_D=-2-(-1) \end{matrix}\right.\) Vậy \(D(2;-1)\)
