Hình học 10 cơ bản - Chương 1 - Bài 4. Hệ trục tọa độ

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 26 sgk hình học lớp 10. Trên trục \((0;\overrightarrow e )\) cho các điểm \(A, B, M,N\) có tọa độ lần lượt là \(-1, 2, 3, -2\) .

    a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;

    b) Tính độ dài đại số của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {MN} \). Từ đó suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {MN} \) ngược hướng

    Giải

    a)

    [​IMG]

    b) \(\overline {AB} = 3;\overline {MN} = - 5\). Từ đây ta có \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow e ;\overrightarrow {MN} = - 5\overrightarrow e \) và suy ra \(\overrightarrow {AB} = - {3 \over 5}\overrightarrow {MN} \)

    Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {MN} \) là hai vectơ ngược hướng.



    Bài 2 trang 26 sgk hình học lớp 10. Trong mặt phẳng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) \(\overrightarrow{a}= ( -3; 0)\) và \(\overrightarrow{i} = (1; 0)\) là hai vectơ ngược hướng;

    b) \(\overrightarrow{a} = ( 3; 4)\) và \(\overrightarrow{i} = (-3; -4)\) là hai vectơ đối nhau;

    c) \(\overrightarrow{a} = ( 5; 3)\) và \(\overrightarrow{i} = (3; 5)\) là hai vectơ đối nhau;

    d) Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau

    Giải

    a) Đúng b) Đúng

    c) Hai vectơ \(\overrightarrow{a} = ( 5; 3)\) và \(\overrightarrow{i} = (3; 5)\) không cùng phương nên không thể đối nhau, do vậy câu c) sai

    d) Đúng



    Bài 3 trang 26 sgk hình học lớp 10. Tìm tọa độ của các vec tơ sau:

    a) \(\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i}\);

    b) \(\overrightarrow{b}= -3 \overrightarrow{j}\)

    c) \(\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j}\)

    d) \(\overrightarrow{d} = 0,2\overrightarrow{i}+ \sqrt3\overrightarrow{j}\)

    Giải

    a) Ta có \(\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i}= 2\overrightarrow{i}+ 0\overrightarrow{j}\) suy ra \(\overrightarrow{a}= (2;0)\)

    b) \(\overrightarrow{b}= (0; -3)\)

    c) \(\overrightarrow{c}= (3; -4)\)

    d) \(\overrightarrow{d} = (0,2; - \sqrt 3)\)



    Bài 4 trang 26 sgk hình học lớp 10. Trong mặt phẳng \(Oxy\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) Tọa độ của điểm \(A\) là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{OA}\);

    b) Điểm \(A\) nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng \(0\);

    c) Điểm \(A\) nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng \(0\);

    d) Hoành độ và tung độ của điểm \(A\) bằng nhau khi và chỉ khi \(A\) nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất.

    Giải

    Các câu \(a, b, c\) đúng; \(d\) sai



    Bài 5 trang 27 sgk hình học lớp 10. Trong các mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \((x_0; y_0)\)

    a) Tìm tọa độ điểm \(A\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Ox\);

    b) Tìm tọa độ điểm \(B\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Oy\);

    c) Tìm tọa độ điểm \(C\) đối xứng với \(M\) qua gốc \(O\).

    Giải

    [​IMG]

    a) Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.

    \({M}({x_0};{y_0}) \Rightarrow {A}({x_0}; - {y_0})\)

    b) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có tung độ bằng nhau còn hoành độ thì đối nhau.

    \({M}({x_0};{y_0}) \Rightarrow {B}( - {x_0};{y_0})\)

    c) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc \(O\) thì các tọa độ tương ứng đối nhau.

    \(M({x_0};{y_0}) \Rightarrow C( - {x_0}; - {y_0})\)




    Bài 6 trang 27 sgk hình học lớp 10. Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(-1; -2), B(3;2), C(4;-1)\). Tìm tọa độ điểm \(D.\)

    Giải

    [​IMG]

    Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên

    \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\)

    Gọi \((x; y)\) là tọa độ của \(D\) thì

    \(\overrightarrow{CD} = (x-4; y+1)\)

    \(\overrightarrow{BA}= (-4;-4)\)

    \(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{BA}\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x-4 = -4\\ y+1 = -4 \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-5 \end{matrix}\right.\)

    Vậy điểm \(D(0;-5)\) là điểm cần tìm.



    Bài 7 trang 27 sgk hình học lớp 10. Các điểm \(A'(-4; 1), B'(2;4), C'(2, -2)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA\) và \(AB\) của tam giác \(ABC\). Tính tọa độ đỉnh của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.

    Giải

    Giả sử \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})\)

    \(A'\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên \(-4 = \frac{1}{2} (x_B+ x_C)\)

    \(\Rightarrow {x_B} + {x_C} = - 8\) (1)

    Tương tự ta có \({x_A} + {x_C} = 4\) (2)

    \({x_B} + {x_A} = 4\) (3)

    Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:

    \(\left\{ \matrix{
    {x_A} = 8 \hfill \cr
    {x_B} = - 4 \hfill \cr
    x{}_C = - 4 \hfill \cr} \right.\)

    Tương tự ta tính được:

    \(\left\{ \matrix{
    {y_A} = 1 \hfill \cr
    {y_B} = - 5 \hfill \cr
    y{}_C = 7 \hfill \cr} \right.\)

    Gọi \(G({x_G};y{}_G)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

    Khi đó ta có:

    $$\left\{ \matrix{
    {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
    {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.$$

    Vậy \(G(0;1)\) (*)

    Gọi \(G'({x_{G'}};y{}_{G'})\) là trong tâm của tam giác \(A'B'C'\)

    Khi đó ta có:

    $$\left\{ \matrix{
    {x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr
    {y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.$$

    Vậy \(G'(0;1)\) (2*)

    Từ (*) và (2*) ta thấy \(G \equiv G'\)

    Vậy trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.




    Bài 8 trang 27 sgk hình học lớp 10. Cho \(\overrightarrow{a}= (2; -2)\), \(\overrightarrow{b} = (1; 4)\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{c} = (5; 0)\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\)

    Giải

    Giả sử ta phân tích được \(\overrightarrow{c}\) theo \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) tức là có hai số \(m, n\) để

    \(\overrightarrow{c}= m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}\) cho ta \(\overrightarrow{c}= (2m+n; -2m+4n)\)

    Vì \(\overrightarrow{c} =(0;5)\) nên ta có hệ: \(\left\{\begin{matrix} 2m+n=5\\ -2m+4n=0 \end{matrix}\right.\)
    Giải hệ phương trình ta được \(m = 2, n = 1\)

    Vậy \(\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)