Bài 1 sgk trang 40 hình học 10. Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\) ta có: a) \(\sin A = \sin (B + C)\); b) \(\cos A = -\cos (B + C)\) Giải Trong một tam giác thì tổng các góc là \(180^0\) : \(\widehat{A}\) + \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C} = 180^0\) \(\Rightarrow\widehat{A} = 180^0\) - (\(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) ) \(\widehat{A}\) và (\(\widehat{B}\) +\(\widehat{C}\) ) là \(2\) góc bù nhau, do đó: a) \(\sin A = \sin[180^0 - (\widehat{B} +\widehat{C} )] = \sin (B + C)\) b) \(\cos A = \cos[180^0- (\widehat{B} +\widehat{C} )] = -\cos (B + C)\) Bài 2 sgk trang 40 hình học 10. Cho \(AOB\) là tam giác cân tại \(O\) có \(OA = a\) và có các đường cao \(OH\) và \(AK\). Giả sử \(\widehat {AOH} = \alpha \). Tính \(AK\) và \(OK\) theo \(a\) và \(α\). Giải Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) nên ta có \(\widehat {AOB} = 2\alpha \) Tam giác \(OKA\) vuông tại \(K\) nên ta có: \(AK = OA.\sin \widehat {AOK} \Rightarrow AK = a.\sin 2\alpha \) \(OK = OA.cos\widehat {AOK} \Rightarrow OK = a.cos2\alpha \) Bài 3 sgk trang 40 hình học 10. Chứng minh rằng : a) \(\sin {105^0} = \sin {75^0}\); b) \(\cos {170^0} = - \cos {10^0}\) c) \(\cos {122^0} = - \cos {58^0}\) Giải a) \(\sin {105^0} = \sin ({180^0} - {105^0})\) \(\Rightarrow \sin {105^0} = \sin {75^0}\) b) \(\cos {170^0} = - \cos ({180^0} - {170^0}) \) \(\Rightarrow \cos {170^0} = - \cos {10^0}\) c) \(\eqalign{ & \cos {122^0} = - \cos ({180^0} - {122^0}) \cr & \Rightarrow \cos {122^0} = - \cos {58^0} \cr} \) Bài 4 sgk trang 40 hình học 10. Chứng minh rằng với mọi góc \(α (0^0≤ α ≤ 180^0)\) ta đều có \(si{n^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) Giải Từ \(M\) kẻ \(MP ⊥ Ox\), \(MQ ⊥ Oy\) Xét tam giác vuông \(AMP\) có: \(sin\alpha = {{MP} \over {OM}};\cos \alpha = {{OP} \over {OM}} \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {{M{P^2} + O{P^2}} \over {O{M^2}}} = {{O{M^2}} \over {O{M^2}}} = 1\) Bài 5 sgk trang 40 hình học 10. Cho góc \(x\), với \(\cos x = \frac{1}{3}\) Tính giá trị của biểu thức: \( P = 3\sin^2x +\cos^2x\). Giải: Ta có \(\eqalign{ & {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \cr & \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x \cr} \) Do đó \(P = 3{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 3(1 - {\cos ^2}x) + {\cos ^2}x \) \(= 3 - 2{\cos ^2}x = 3 - 2.{\left( {{1 \over 3}} \right)^2} = {{25} \over 9}\) Bài 6 sgk trang 40 hình học 10. Cho hình vuông \(ABCD\), Tính: \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right),sin\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right),\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\) Giải Ta có : $$\eqalign{ & \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \cos {135^0} = {{\sqrt 2 } \over 2}, \cr & sin\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \sin {90^0} = 1, \cr & \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \cos {0^0} = 1 .\cr} $$
