Bài 1 trang 80 sgk hình học 10. Lập phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau: a) đi qua điểm \(M(2; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (3;4)\) b) \(d\) đi qua điểm \(M(-2; 3)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\vec{n}= (5; 1)\) Giải Phương trình tham số : \(d:\left\{\begin{matrix} x= 2+3t& \\ y= 1+4t& \end{matrix}\right.\) b) Vì \(\vec{n} = (5; 1)\) nên ta chọn vectơ \(\vec{a} ⊥ \vec{n}\) có tọa độ \(\vec{a} = (1; -5)\) Từ đây ta có phương trình tham số của \(d\): \(d:\left\{\begin{matrix} x= -2+t& \\ y= 3-5t& \end{matrix}\right.\) Bài 2 trang 80 sgk hình học 10. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(∆\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(∆\) đi qua điểm \(M (-5; -8)\) và có hệ số góc \(k = -3\) b) \(∆\) đi qua hai điểm \(A(2; 1)\) và \(B(-4; 5)\) Giải a) Phương trình của \(∆\) là : \(y + 8 = -3(x + 5) \Rightarrow 3x + y + 23 = 0\) b) Đường thẳng \(∆\) đi qua \(A(2; 1)\) và \(B(-4; 5)\) nhận vectơ \(\vec{AB} = (-6; 4)\) là một vectơ chỉ phương Phương trình tham số của \(∆\) : \(∆ : \left\{\begin{matrix} x= 2-6t& \\ y= 1+4t& \end{matrix}\right.\) Khử t giữa hai phương trình ta được phương trình tổng quát: \(∆ : 2x + 3y - 7 = 0\) Bài 3 trang 80 sgk hình học 10. Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1; 4), B(3; -1)\) và \(C(6; 2)\) a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\), và \(CA\) b) Lập phương trinh tham số của đường thẳng \(AH\) và phương trình tổng quát của trung tuyến \(AM\) Giải a) Ta có \(\vec{AB} = (2; -5)\). Gọi \(M(x; y)\) là \(1\) điểm nằm trên đường thẳng \(AB\) thì \(AM = (x - 1; y - 4)\). Ba điểm \(A, B, M\) thẳng hàng nên hai vec tơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AM}\) cùng phương, cho ta: \(\frac{x - 1}{2}\) = \(\frac{y - 4}{-5}\Leftrightarrow 5x + 2y -13 = 0\) Đó chính là phương trình đường thẳng \(AB\). Tương tự ta có: phương trình đường thẳng \(BC: x - y -4 = 0\) phương trình đường thẳng \(CA: 2x + 5y -22 = 0\) b) Đường cao \(AH\) là đường thẳng đi qua \(A(1; 4)\) và vuông góc với \(BC\). \(\vec{BC} = (3; 3)\) \(\Rightarrow \vec{AH} ⊥ \vec{BC}\) nên \(\vec{AH}\) nhận vectơ \(\vec{n} = (3; 3)\) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát: \(AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0\) \(\Leftrightarrow 3x + 3y - 15 = 0\) \(\Leftrightarrow x + y - 5 = 0\) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) ta có \(M (\frac{9}{2}; \frac{1}{2})\) Trung tuyến \(AM\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A, M\). \(AM:{{x - 1} \over {{9 \over 2} - 1}} = {{y - 4} \over {{1 \over 2}-4}} \Leftrightarrow x + y - 5 = 0\) Bài 4 trang 80 sgk hình học 10. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(M(4; 0)\) và \(N(0; -1)\) Giải Phương trình đường thẳng \(MN\): \(\frac{x}{4} + \frac{y}{-1} = 1 \Leftrightarrow x - 4y - 4 = 0\) Bài 5 trang 80 sgk hình học 10. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây: a) \(d_1: 4x - 10y + 1 = 0 \); \(d_2 : x + y + 2 = 0\) b) \(d_1 :12x - 6y + 10 = 0 \); \(d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.\) c) \(d_1:8x + 10y - 12 = 0 \); \( d_2 : \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.\) Giải a) Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 4x-10y + 1= 0& \\ x + y + 2 = 0& \end{matrix}\right.\) \(D = 4.1 -(- 10).1 = 14 ≠ 0\) Vậy \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau b) \(d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.\) viết dưới dạng tổng quát là: \(d_2: 2x - y - 7 = 0\) \(D = 12 . (-1) -(-6).2 = -12 + 12 = 0\) \( D_x = (-6) . (-7) - (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0\) Vậy \(d_1// d_2\) c) \(d_1:8x + 10y - 12 = 0 \) \( d_2 : \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.\) có dạng tổng quát là: \(d_2: 4x + 5y - 6 = 0\) \(D = 8 . 5 - 4 . 10 = 0\) \(D_x= 10. (-6) - (-12) . 5 = 0\) \( D_y= (-12) . 4 - (-6) . 8 = 0\) Vậy \(d_1\) trùng \(d_2\) Bài 6 trang 80 sgk hình học 10. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm của chúng (nếu có) a) 2x – 5y + 3 = 0 và 5x + 2y – 3 =0 b) x – 3y + 4 = 0 và 0,5x – 1,5y + 4 =0 c) 10x + 2y – 3 = 0 và 5x + y – 1,5 = 0 Lời giải: a) Ta có: $\frac{2}{5} \ne \frac{-5}{2} \Rightarrow$ đường thẳng $3x - 5y + 3 = 0$ cắt đường thẳng $5x + 2y - 3 = 0$. Toạ độ giao điểm $I$ là hệ nghiệm của hệ: $\begin{cases} & 2x - 5y + 3 = 0\\ & 5x + 2y - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & x = \frac{9}{29}\\ & y = \frac{21}{29} \end{cases} \Rightarrow I(\frac{9}{29};\frac{21}{29})$. b) Ta có: $\frac{1}{0.5} = \frac{-3}{1.5} \ne \frac{4}{4} \Rightarrow $ hai đường thẳng song song với nhau. c) Ta có: $\frac{10}{5} = \frac{2}{1} = \frac{-3}{1.5}\Rightarrow $ hai đường thẳng trùng nhau. Bài 7 trang 81 sgk hình học 10. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt có phương trình: \(d_1: 4x - 2y + 6 = 0\) và \(d_2: x - 3y + 1 = 0\) Giải Áp dụng công thức \(\cos \varphi = \frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\) ta có \(\cos \varphi = \frac{|4.1+(-2 ).(-3)|}{\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}}\) \(\Rightarrow \cos \varphi = \frac{10 }{\sqrt{20}\sqrt{10}}\) = \(\frac{10 }{10\sqrt{2}}\) = \(\frac{1 }{\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow \varphi = 45^0\) Bài 8 trang 81 sgk hình học 10. Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: a) \(A(3; 5)\) \(∆ : 4x + 3y + 1 = 0\); b) \(B(1; -2)\) \( d: 3x - 4y - 26 = 0\); c) \(C(1; 2)\) \( m: 3x + 4y - 11 = 0\); Giải Áp dụng công thức: \( d(M_0,∆) = \frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) a) \( d(M_0,∆) =\frac{|4.3+3.5+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}= \frac{28}{5}\) b) \( d(B,d) =\frac{|3.1-4.(-2)-26|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}} = \frac{-15}{5} = \frac{15}{5} = 3\) c) Ta có: \(3.1+4.2-11=0\) do đó điểm \(C\) nằm trên đường thẳng \(m\) \( d(C,m) =0\) Bài 9 trang 81 sgk hình học 10. Tìm bán kính của đường tròn tâm \(C(-2; -2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(∆ : 5x + 12y - 10 = 0 \). Giải Bán kính \(R\) của đường tròn tâm \(C(-2; -2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(∆ : 5x + 12y - 10 = 0\) bằng khoảng cách từ \(C\) đến \(∆\) \(R = d(C,∆ )= \frac{|5.(-2) +12.(-2)-10|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\) \(\Rightarrow R = \frac{|-44|}{\sqrt{169}}= \frac{44}{13}\)
