Bài 1 trang 83 sgk hình học 10. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - 2x-2y - 2{\rm{ }} = 0\) b) \(16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) c) \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^{2}} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\) Giải a) Ta có : \(-2a = -2 \Rightarrow a = 1\) \(-2b = -2 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow I(1; 1)\) \({R^2} = {a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {1^2} - ( - 2) = 4 \Rightarrow R = \sqrt 4 = 2\) b) \(16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x - {1 \over 2}y - {{11} \over {16}} = 0\) \(\eqalign{ & - 2a = 1 \Rightarrow a = - {1 \over 2} \cr & - 2b = - {1 \over 2} \Rightarrow b = {1 \over 4} \cr & \Rightarrow I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right) \cr} \) \({R^2} = {a^2} + {b^2} - c = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} - \left( { - {{11} \over {16}}} \right) = 1 \Rightarrow R = \sqrt 1 = 1\) c) \(\eqalign{ & - 2a = - 4 \Rightarrow a = 2 \cr & - 2b = 6 \Rightarrow b = - 3 \cr & \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right) \cr} \) \({R^2} = {a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right) = 16 \Rightarrow R = \sqrt {16} = 4\) Bài 2 trang 83 sgk hình học 10. Lập phương trình đườơng tròn \((C)\) trong các trường hợp sau: a) \((C)\) có tâm \(I(-2; 3)\) và đi qua \(M(2; -3)\); b) \((C)\) có tâm \(I(-1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d : x – 2y + 7 = 0\) c) \((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(7; 5)\) Giải a) Ta tìm bán kính \({R^2} = {\rm{ }}I{M^2} \Rightarrow {R^{2}} = {\rm{ }}IM{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}( - 3{\rm{ }} - {3^2}){\rm{ }} = {\rm{ }}52\) Phương trình đường tròn \((C)\): \({\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52\) b) Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(d\) nên khoảng cách từ tâm \(I\) tới đường thẳng \(d\) phải bằng bán kính đường tròn: \(d(I; d) = R\) Ta có : \( R = d(I, d) = \frac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{5}}\) Phương trình đường tròn cần tìm là: \({\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = {4 \over 5}\) c) Tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\), có tọa độ : \(x = \frac{1 +7}{2} = 4\); \(y = \frac{1 +5}{2} = 3\) suy ra \(I(4; 3)\) \(AB = 2\sqrt {13}\) suy ra \( R = \sqrt {13}\) Phương trình đường tròn cần tìm là: \({\left( {x{\rm{ }} - 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13\) Bài 2 trang 83 sgk hình học 10. Lập phương trình đườơng tròn \((C)\) trong các trường hợp sau: a) \((C)\) có tâm \(I(-2; 3)\) và đi qua \(M(2; -3)\); b) \((C)\) có tâm \(I(-1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d : x – 2y + 7 = 0\) c) \((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(7; 5)\) Giải a) Ta tìm bán kính \({R^2} = {\rm{ }}I{M^2} \Rightarrow {R^{2}} = {\rm{ }}IM{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}( - 3{\rm{ }} - {3^2}){\rm{ }} = {\rm{ }}52\) Phương trình đường tròn \((C)\): \({\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52\) b) Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(d\) nên khoảng cách từ tâm \(I\) tới đường thẳng \(d\) phải bằng bán kính đường tròn: \(d(I; d) = R\) Ta có : \( R = d(I, d) = \frac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{5}}\) Phương trình đường tròn cần tìm là: \({\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = {4 \over 5}\) c) Tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\), có tọa độ : \(x = \frac{1 +7}{2} = 4\); \(y = \frac{1 +5}{2} = 3\) suy ra \(I(4; 3)\) \(AB = 2\sqrt {13}\) suy ra \( R = \sqrt {13}\) Phương trình đường tròn cần tìm là: \({\left( {x{\rm{ }} - 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13\) Bài 3 trang 83 sgk hình học 10. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: a) \(A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3)\) b) \(M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)\) Giải Sử dụng phương trình đường tròn có dạng: \(x^2+y^2-2 ax – 2by +c = 0\) a) Đường tròn đi qua điểm \(A(1; 2)\) nên ta có: \(1^2+ 2^2– 2a -4b + c = 0 \Leftrightarrow 2a + 4b – c = 5\) Đường tròn đi qua điểm \(B(5; 2)\) nên ta có: \(5^2+ 2^2– 10a -4b + c = 0 \Leftrightarrow 10a + 4b – c = 29\) Đường tròn đi qua điểm \(C(1; -3)\) nên ta có: \(1^2+ (-3)^2 – 2a + 6b + c = 0 \Leftrightarrow 2a - 6b – c = 10\) Để tìm \(a, b, c\) ta giải hệ: \(\left\{\begin{matrix} 2a + 4b- c = 5 (1) & & \\ 10a +4b - c= 29 (2) & & \\ 2a- 6b -c =10 (3) & & \end{matrix}\right.\) Giải hệ ta được: \(\left\{ \matrix{ a = 3 \hfill \cr b = - 0,5 \hfill \cr c = - 1 \hfill \cr} \right.\) Phương trình đường tròn cần tìm là: \({{x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \) b) Đường tròn đi qua điểm \(M(-2; 4)\) nên ta có: \((-2)^2+ 4^2+4a -8b + c = 0 \Leftrightarrow 4a - 8b + c = -20\) Đường tròn đi qua điểm \(N(5; 5)\) nên ta có: \(5^2+ 5^2– 10a -10b + c = 0 \Leftrightarrow 10a +10b – c = 50\) Đường tròn đi qua điểm \(P(6; -2)\) nên ta có: \(6^2+ (-2)^2 – 12a + 4b + c = 0 \Leftrightarrow 12a - 4b – c = 40\) Ta có hệ phương trình: $$\left\{ \matrix{ 4a - 8b + c = - 20 \hfill \cr 10a + 10b - c = 50 \hfill \cr 12a - 4b - c = 40 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 2 \hfill \cr b = 1 \hfill \cr c = - 20 \hfill \cr} \right.$$ Phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)\) là: \(x^2+ y^2- 4x – 2y - 20 = 0\) Bài 4 trang 83 sgk hình học 10. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) và đi qua điểm \(M(2 ; 1)\) Giải Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm \(I\) của nó phải cách đều hai trục tọa độ. Đường tròn này lại đi qua điểm \(M(2 ; 1)\), mà điểm \(M\) này lại là góc phần tư thứ nhất nên tọa độ của tâm \(I\) phải là số dương. \(x_I=y_I>0\) gọi \(x_I=y_I= a\). Như vậy phương trình đường tròn cần tìm là : \({\left( {2{\rm{ }} - {\rm{ }}a} \right)^2} + {\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)^2} = {a^2}{\rm{ }}\) \({a^2} - 6a + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = 1 \hfill \cr a = 5 \hfill \cr} \right.\) Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện +) Với \(a = 1\) \( \Rightarrow {\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}1({C_1})\) +) Với \(a = 5\) \(\Rightarrow {\left( {x - 5{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y - 5} \right)^2}{\rm{ }} = {\rm{ 25}}({C_2})\) Bài 5 trang 83 sgk hình học 10. Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng \(d : 4x – 2y – 8 = 0\) Giải Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên các tọa độ \(x_I,y_I\) của tâm \(I\) có thể là \(x_I=y_I\) hoặc \(x_I=-y_I\) Đặt \(x_I=a\) thì ta có hai trường hợp \(I(a ; a)\) hoặc \(I(a ; -a)\). Ta có hai khả năng: Vì \(I\) nằm trên đường thẳng \(4x – 2y – 8 = 0\) nên tọa độ \(I(a ; a)\) là ngiệm đúng của phương trình đường thẳng \(4x – 2y – 8 = 0\), ta có: \(4a – 2a – 8 = 0 \Rightarrow a = 4\) Đường tròn cần tìm có tâm \(I(4; 4)\) và bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({(x - 4)^2} + {(y - 4)^2} = {4^2} \Leftrightarrow {(x - 4)^2} + {(y - 4)^2} = 16\) + Trường hợp \(I(a; -a)\): \(4a + 2a - 8 = 0 \Rightarrow a = \frac{4}{3}\) Ta được đường tròn có phương trình là: \((x -\frac{4}{3})^{2}+ (y +\frac{4}{3})^{2}= (\frac{4}{3})^{2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - {4 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y + {4 \over 3}} \right)^2} = {{16} \over 9}\) Bài 6 trang 84 sgk hình học 10. Cho đường tròn \((C)\) có phương trình: \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C)\) b) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0)\) c) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) Giải a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.2 + {2^2} + {y^2} + 2.y.4 + {4^2} = 25 \) \(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}\) Tâm \(I(2 ; -4)\), bán kính \(R = 5\) b) Thay tọa độ \(A(-1 ; 0)\) vào vế trái, ta có : \((-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25\) Vậy \(A(-1 ;0)\) là điểm thuộc đường tròn. \(\overrightarrow {IA} ( - 3;4)\) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại \(A\) là: \(-3(x +1) +4(y -0) =0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 3 = 0\) c) Đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n(3;-4)\) Theo giả thiết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) nên tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'}(4;3)\) Phương trình tiếp tuyến có dạng là: \(4x+3y+c=0\) Khoảng cách từ tâm \(I\) đến tiếp tuyến bằng bán kính \(R=5\) do đó ta có: \({{|4.2 + 3.( - 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Leftrightarrow |c - 4| = 25\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ c - 4 = 25 \hfill \cr c - 4 = - 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c = 29 \hfill \cr c = - 21 \hfill \cr} \right.\) Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(4x+3y+29=0\) và \(4x+3y-21=0\).
