Câu 1 trang 93 SGK Hình học 10. Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Biết các đỉnh \(A(5; 1), C(0; 6)\) và phương trình \(CD: x + 2y – 12 = 0\). Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại. Trả lời: Cạnh \(AB\) là đường thẳng đi qua \(A( 5; 1)\) và song song với \(CD\). Vì \(CD\) có phương trình \(x + 2y – 12 = 0\) nên phương trình của \(AB\) có dạng: \(x + 2y + m = 0\) \(AB\) đi qua \(A(5; 1)\) nên ta có: \(5 + 2.1 + m = 0 ⇒ m = -7\) Vậy phương trình của \(AB\) là: \(x + 2y – 7 = 0\) \(AD\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(CD\). Phương trình của \(CD\) là: \(x + 2y – 12 = 0\) nên phương trình của \(AD\) có dạng: \(2x – y + n = 0\) \(AD\) đi qua \(A(5, 1)\) cho ta: \(2.5 - 1 + n = 0 ⇒ n = -9\) Phương trình của \(AD\): \(2x - y - 9 = 0\) \(CB\) là đường thẳng qua \(C\) và song song với \(AD\) nên phương trình của \(CB\) có dạng: \(2x – y + p = 0\) \(CB\) đi qua \(C (0; 6)\) nên: \( 2.0 – 6 + p = 0 ⇒ p = 6\) Phương trình của \(CB\) là: \(2x – y = 6 = 0\) Vậy \(AB: x + y – 7 = 0\) \(BC : 2x - y + 6 = 0\) \(AD : 2x – y – 9 = 0\) Câu 2 trang 93 SGK Hình học 10. Cho \(A(1; 2) B(-3; 1)\) và \(C(4; -2)\). Tìm tập hợp điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\) Trả lời: Gọi \((x; y)\) là tọa độ của điểm \(M\). \(\eqalign{ & \overrightarrow {MA} = (x - 1;y - 2) \cr & \overrightarrow {MB} = (x + 3;y - 1) \cr & \overrightarrow {MC} = (x - 4;y + 2) \cr} \) Theo giả thiết, ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} - 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x + {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y + 1} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}12x{\rm{ }}-{\rm{ }}10y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \cr & \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}6} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}66 \cr} \) Vậy quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\) là đường tròn tâm \(I (-6; 5)\) và bán kính \(R = \sqrt{66}\). Câu 3 trang 93 SGK Hình học 10. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng: \({\Delta _1} : 5x + 3y – 3 = 0\) \({\Delta _2}: 5x + 3y + 7 = 0\) Trả lời: Gọi \(M(x; y)\) là một điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có: \(\eqalign{ & d(M,{\Delta _1}) = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} \cr & d(M,{\Delta _2}) = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr} \) Điểm \(M\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) nên: \(\eqalign{ & {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr & \Leftrightarrow |5x + 3y - 3| = |5x + 3y + 7| \cr} \) Ta xét hai trường hợp: (*) \(5x + 3y – 3 = - (5x + 3y + 7) ⇔ 5x + 3y + 2 = 0\) (**) \(5x + 3y – 3 = 5x + 3y + 7\) (vô nghiệm) Vậy tập hợp các điểm \(M\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là đường thẳng \(Δ: 5x + 3y + 2 = 0\) Dễ thấy \(Δ\) song song với \({\Delta _1},{\Delta _2}\) và hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) nằm về hai phía đối với \(Δ\). Câu 4 trang 93 SGK Hình học 10. Cho đường thẳng \(Δ: x – y + 2\) và hai điểm \(O(0; 0); A(2; 0)\) a) Tìm điểm đối xứng của \(O\) qua \(Δ\) b) Tìm điểm \(M\) trên \(Δ\) sao cho độ dài đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất. Trả lời: a) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(Δ, H\) là giao điểm của đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(Δ\). \(\overline {OH} = (x;y)\) \( Δ: x – y + 2 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u (1;1)\) \(\overrightarrow {OH} \bot \Delta \Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\) Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ x + y = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H( - 1;1)\) Gọi \(O’\) là đỉnh đối xứng của \(O\) qua \(Δ\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OO’\) \(\eqalign{ & {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr & {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \) Vậy \(O’(-2;2)\). b) Nối \(O’A\) cắt \(Δ\) tại \(M\) Ta có: \(OM = O’M\) \(⇒ OM + MA = O’M + MA = O’A\) Giả sử trên \(Δ\) có một điểm \(M’ ≠ M\), ta có ngay: \(OM’ +M’A > O’A\) Vậy điểm \(M\), giao điểm của \(O’A\) với \(Δ\), chính là điểm thuộc \(Δ\) mà độ dài của đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất. \(A(2; 0); O(-2; 2)\) nên \(O’A\) có hệ phương trình: \(x + 2y – 2 = 0\) Tọa độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M( - {2 \over 3},{4 \over 3})\) Câu 5 trang 93 SGK Hình học 10. Cho ba điểm \(A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)\) a) Tìm tọa độ điểm \(G\) , trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\). b) Tìm \(T\) là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh \(T, G, H\) thẳng hàng. c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \Rightarrow {x_G} = {{4 + 2 - 3} \over 3} = 1 \cr & {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \Rightarrow {y_G} = {{3 + 7 - 8} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \) Vậy \(G\left(1,{2 \over 3}\right)\) Gọi \((x; y)\) là tọa độ của \(H\) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AH} = (x - 4,y - 3);\overrightarrow {BC} = ( - 5, - 15) \cr & \overrightarrow {BH} = (x - 2,y - 7);\overrightarrow {AC} = ( - 7, - 11) \cr & \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr & \Leftrightarrow - 5(x - 4) - 15(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + y - 13 = 0 \cr & \overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \cr & \Leftrightarrow - 7(x - 2) - 11(y - 7) = 0 \Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0 \cr} \) Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ x + y - 13 = 0 \hfill \cr 7x + 11y - 91 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H(13;0)\) b) Tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) thỏa mãn điều kiện \(TA = TB = TC ⇒ TA^2= TB^2= TC^2\), cho ta: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} + {\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0\) \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y +8} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0\) Do đó tọa độ tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr 7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T( - 5;1)\) Ta có: \(\overrightarrow {TH} = ( - 18;1);\overrightarrow {TG} = (6;{-1 \over 3})\) Ta có: \(\overrightarrow {TH} = {3}\overrightarrow {TG} \) Vậy ba điểm \(H, G, T\) thẳng hàng. c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có tâm \(T(-5; 1)\), bán kính \(R = AT = \sqrt{85}\) \({R^2} = A{T^2} = {\left( { - 5-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {1-3} \right)^2} = 85\) Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là: \((x + 5)^2+ (y – 1)^2= 85\) Câu 6 trang 93 SGK Hình học 10. Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng \(3x – 4y + 12 = 0\) và \(12x+5y-7 = 0\) Trả lời: Gọi \(M(x; y)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng trên. Khi đó, khoảng cách từ \(M\) đến \(d_1 : 3x - 4y + 12 = 0\) là: \(d(M,{d_1}) = {{|3x - 4y + 12|} \over {\sqrt {9 + 16} }} = {{|3x - 4y + 12|} \over 5}\) Khoảng cách từ \(M\) đến \(d_2: 12x + 15y – 7 = 0\) là: \(d(M,{d_2}) = {{|12x + 5y - 7|} \over {\sqrt {144 + 25} }} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}}\) Ta có: \(M\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) nên cách đều hai đường thẳng đó.Suy ra: \(\eqalign{ & d(M,{d_1}) = d(M,{d_2}) \Leftrightarrow {{|3x - 4y + 12|} \over 5} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {{3x - 4y + 12} \over 5} = {{12x + 5y - 7} \over {12}} \hfill \cr {{3x - 4y + 12} \over 5} = - {{12x + 5y - 7} \over {13}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 21x + 77y - 191 = 0 \hfill \cr 99x - 27y + 121 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy ta có phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\) là: \(\Delta _1: 21x + 77y – 191 = 0\) \(\Delta _2: 99x – 27y + 121 = 0\) Câu 7 trang 93 SGK Hình học 10. Cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1, 2)\) và bán kính bằng \(3\). Chứng minh rằng tập hợp các điểm \(M\) từ đó ta sẽ được hai tiếp tuyến với \((C)\) tạo với nhau một góc \(60^0\) là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó. Trả lời: Theo tính chất của tiếp tuyến ta có: \(\widehat {AMI} = {30^0}\) \(IM = {{IA} \over {\sin \widehat {AMI}}} = {3 \over {\sin {{30}^0}}} = {3 \over {{1 \over 2}}} = 6\) Gọi tọa độ của \(M\) là \((x ;y)\) Ta có: \(O{M^2} = {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 36\) Vậy quỹ tích \(M\) là đường tròn tâm \(I (1; 2)\), bán kính \(R = 6\) Phương trình đường tròn là: \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 36\) Câu 8 trang 93 SGK Hình học 10. Tìm góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trong các trường hợp sau: a) \(\Delta_1\): \(2x + y – 4 = 0\) ; \(\Delta_2\): \(5x – 2y + 3 = 0\) b) \(\Delta_1\): \(y = -2x + 4\) ; \({\Delta _2}:y = {1 \over 2}x + {3 \over 2}\) Trả lời: a) Vecto pháp tuyến \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = (2;1)\) Vecto pháp tuyến \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = (5; - 2)\) \(\eqalign{ & \cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = {{|\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} |} \over {|\overrightarrow {{n_1}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = {{|2.5 + 1.( - 2)|} \over {\sqrt 5 .\sqrt 9 }} = {8 \over {\sqrt {145} }} \cr & \Rightarrow ({\Delta _1},{\Delta _2}) \approx {48^0}21'59'' \cr} \) b) \(y = -2x + 4 ⇔ 2x + y – 4 = 0\) \(y = {1 \over 2}x + {3 \over 2} \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\) Vì \(2.1 + 1.(-2) = 0 ⇔\Delta_1⊥{\Delta _2}\) Chú ý: _ Hệ số góc của \(\Delta_1\) là \(k = -2\) _ Hệ số góc của \({\Delta _2}\) là \(k' = {1 \over 2}\) Vì \(k.k' = 2.{1 \over 2} = - 1 \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}\) Câu 9 trang 93 SGK Hình học 10. Cho elip \((E) = {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) . Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó. Trả lời: Phương trình chính tắc của Elip \((E) = {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) có dạng là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) Ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {a^2} = 16 \hfill \cr {b^2} = 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 4 \hfill \cr b = 3 \hfill \cr} \right. \cr & c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 7 \cr} \) _ Tọa độ các đỉnh \(A_1(-4;0), A_2(4; 0), B_1(0; -3)\) và \(B_2(0; 3)\) _ Tọa độ các tiêu điểm \(F_1(-\sqrt7; 0)\) và \(F_2(\sqrt7; 0)\) Câu 10 trang 94 SGK Hình học 10. Ta biết rằng Mặt trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(769 266 km\) và \(768 106 km\). Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của Elip. Trả lời: Khoảng cách ngắn nhất từ Mặt Trăng \(M\) đến Trái Đất \(F_2\) là \(F_1A\) Khoảng cách dài nhất từ Mặt Trăng \(M\) đến Trái Đất \(F_2\) là \(F_2A\) Ta thấy: \(F_1A = OA – OF_1= a - c\) \(F_2A = OA + OF_2= a + c\) Ta biết: \(2a = 760 266 ⇒ a = 384633\) \(2b = 768 106 ⇒ b = 384 053\) Từ \(c^2= a^2– b^2\), ta tính ra: \(c ≈ 21116 (km)\) Suy ra: \(F_2A ≈ 363 517 (km)\), \(F_1A ≈ 405 749 (km)\)
Bài 1. Cho tam giác \(ABC\) có tọa độ các đỉnh \(A(1; 2), B(3; 1)\) và \(C(5; 4)\). Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao của tam giác vẽ từ \(A\)? A. \(2x + 3y – 8 = 0\) B. \(3x – 2y – 5 = 0\)5 C. \(5x – 6y + 7 = 0\) D. \(3x – 2y + 5 = 0\) Trả lời: Gọi \(H (x; y)\) là trực tâm của tam giác. \(\eqalign{ & \overrightarrow {AH} = (x - 1;y - 2);\overrightarrow {BC} = (2;3) \cr & \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow 2(x - 1) + 3(y - 2) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0 \cr} \) Vậy A đúng Câu 2 trang 94 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) với \(A(-1; 1), B(4; 7)\) và \(C(3; 2)\). Phương trình tham số của trung tuyến CM là: A. \(\left\{ \matrix{ x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 + 4t \hfill \cr} \right.\) B. \(\left\{ \matrix{ x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 + 4t \hfill \cr} \right.\) C. \(\left\{ \matrix{ x = 3 - t \hfill \cr y = 4 + 2t \hfill \cr} \right.\) D. \(\left\{ \matrix{ x = 3 + 3t \hfill \cr y = - 2 + 4t \hfill \cr} \right.\) Trả lời: Trung điểm \(M\) của \(AB\) có tọa độ: \(\left({3 \over 2}4\right)\) \(\overrightarrow {CM} = \left( - {3 \over 2};6\right) = - {3 \over 2}(1;- 4)\) Đường thẳng \(CM\) đi qua \(C\) và nhận vecto \(\overrightarrow a = (1; - 4)\) làm một vecto chỉ phương nên có phương trình tham số: \(\left\{ \matrix{ x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 - 4t \hfill \cr} \right.\) Vậy chọn B. Bài 3. Cho phương trình tham số của đường thẳng \(d\): \(\left\{ \matrix{ x = 5 + t \hfill \cr y = - 9 - 2t \hfill \cr} \right.\) Trong các phương trình sau, phương trình nào là tổng quát của (d)? A. \(2x + y – 1 = 0\) B. \(2x + 3y + 1 = 0\) C. \(x + 2y + 2 = 0\) D. \(x + 2y – 2 = 0\) Trả lời: Ta có phương trình tham số của đường thẳng: \(\left\{ \matrix{ x = 5 + t \hfill \cr y = - 9 - 2t \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ t = x - 5 \hfill \cr y = - 9 - 2t \hfill \cr} \right.\) Thay vào: \(y = -9 – 2( x – 5) ⇔ 2x + y – 1 = 0\) Phương trình tổng quát: \(2x + y – 1 = 0\) Chọn A Bài 4. Đường thẳng đi qua điểm \(M(1; 0)\) và song song với đường thẳng \(d: 4x + 2y + 1 = 0\) có phương trình tổng quát là: A. \(4x + 2y + 3 = 0\) B. \(2x + y + 4 = 0\) C. \(2x + y – 2 = 0\) D. \(x – 2y + 3 = 0\) Trả lời: Phương trình của đường thẳng đi qua \(M (1; 0)\) và song song với đường thẳng \(d: 4x + 2y + 1 = 0\) là: \(4(x – 1) + 2 (y – 0) = 0 ⇔ 2x + y – 2 = 0\) Vậy chọn C. Câu 5 trang 94 SGK Hình học 10. Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát: \(3x + 5y + 2006 = 0\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. \(d\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (3;5)\) B. \(d\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (5; - 3)\) C. \(d\) có hệ số góc \(k = {5 \over 3}\) D. \(d\) song song với đường thẳng \(3x + 5y = 0\) Trả lời: Phương trình của đường thẳng \(d: 3x + 5y + 2006 = 0\) có: + vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = (3;5)\) + Vecto chỉ phương \(\overrightarrow d = ( - 5;3)//\overrightarrow a = (5;-3)\) + Hệ số góc \(k = - {3 \over 5}\) Do đó mệnh đề sai là C. Câu 6 trang 95 SGK Hình học 10. Bán kính của đường tròn tâm \(I(0; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(Δ: 3x – 4y – 23 = 0\) là: A. \(15\) B. \(5\) C. \({3 \over 5}\) D. \(3\) Trả lời: Bán kính của đường tròn tâm \(I(0; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(Δ: 3x – 4y – 23 = 0\) là: \(R = d(I,\Delta ) = {{|3.0 - 4.( - 2) - 23|} \over {\sqrt {9 + 16} }} = 3\) Vậy chọn D. Câu 7 trang 95 SGK Hình học 10. Cho hai đường thẳng: \(d_1: 2x + y + 4 – m = 0\) \(d_2: (m + 3)x + y – 2m – 1 = 0\) Đường thẳng \(d_1//d_2\) khi: A. \(m = 1\) B. \(m = -1\) C. \(m = 2\) D. \(m = 3\) Trả lời: Ta có: \(d_1: 2x + y + 4 – m = 0\) \(d_2: (m + 3)x + y – 2m – 1 = 0\) Xét hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 2x + y + 4 - m = 0 \hfill \cr (m + 3)x + y - 2m - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = - 2x - 4 + m \hfill \cr (m + 1)x - m - 5 = 0 \hfill \cr} \right.\) Để \(d_1//d_2\) thì hệ phương trình trên vô nghiệm. Suy ra: \((m + 1)x – m – 5 = 0\) vô nghiệm \(⇒ m + 1= 0 ⇔ m = -1\) Vậy chọn B. Câu 8 trang 95 SGK Hình học 10. Cho \(d_1: x + 2y + 4 = 0\) và \(d_2: 2x – y + 6 = 0\). Số đo của góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là: A. \(30^0\) B. \(60^0\) C. \(45^0\) D. \(90^0\) Trả lời: Vecto pháp tuyến của \(d_1\) là và của \(d_2\) là: Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = 1.2 + 2.( - 1) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow u \Rightarrow ({d_1},{d_2}) = {90^0}\) Vậy chọn D. Câu 9 trang 95 SGK Hình học 10. Cho hai đường thẳng \(\Delta_1: x + y + 5 = 0\) và \(\Delta_2: y = -10\) Góc giữa \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) là: A. \(45^0\) B. \(30^0\) C. \(88^057’52’’\) D. \(1^013’8’’\) Trả lời: Vecto pháp tuyến của \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;1)\) và của \(\Delta_2\) là \(\overrightarrow j = (0;1)\) \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = {{|\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow j |} \over {|\overrightarrow {{n_1}} |.|\overrightarrow j |}} = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow ({\Delta _1},{\Delta _2}) = {45^0}\) Vậy chọn A. Câu 10 trang 95 SGK Hình học 10. Khoảng cách từ điểm \(M(0; 3)\) đến đường thẳng \(Δ: x\cos α + y \sin α + 3(2 - \sin α) = 0\) là: A. \(\sqrt6\) B. \(6\) C. \(3\sin α\) D. \({3 \over {\sin \alpha + \cos \alpha }}\) Trả lời: Khoảng cách từ điểm \(M(0; 3)\) đến đường thẳng \(Δ: x\cos α + y \sin α + 3(2 - \sin α) = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = {{|0.cos\alpha + 3.sin\alpha + 3(2 - \sin \alpha )|} \over {\sqrt {\sin {\alpha ^2} + \cos {\alpha ^2}} }} = 6\) Vậy chọn B. Câu 11 trang 95 SGK Hình học 10. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? A. \(x^2+ 2y^2– 4x – 8y + 1 = 0\) B. \(4x^2+ y^2– 10x – 6y -2 = 0\) C. \(x^2+ y^2– 2x – 8y + 20 = 0\) D. \(x^2+ y^2– 4x + 6y - 12 = 0\) Trả lời: Để phương trình có dạng : \(x^2+ y^2– 2ax – 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn thì điều kiện : \( a^2+b^2-c > 0\) _ Phương trình \(x^2+ y^2– 2x – 8y + 20 = 0\) không phải là phương trình của một đường tròn vì: \( a^2+b^2-c = 1 + 16 – 20 = -3 < 0\) _ Phương trình \(4x^2+ y^2– 10x – 6y -2 = 0\) và \(x^2+ 2y^2– 4x – 8y + 1 = 0\) không thuộc dạng : \(x^2+ y^2– 2ax – 2by + c = 0\) nên không phải là phương trình của đường tròn. _ Phương trình \(x^2+ y^2– 4x + 6y - 12 = 0\) là phương trình đường tròn \( a^2+b^2-c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0\). Vậy chọn D. Câu 12 trang 95 SGK Hình học 10. Cho đường tròn (C): \(x^2+ y^2+ 2x + 4y – 20 = 0\) Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. (C) có tâm \(I(1; 2)\) B. (C) có bán kính \(R = 5\) C. (C) đi qua điểm \(M(2; 2)\) D. (C) không đi qua \(A(1; 1)\) Trả lời: Ta có đường tròng \((C) )\): \(x^2+ y^2+ 2x + 4y – 20 = 0\) Có tâm \(I(-1; -2)\) và bán kính \(R = 5\) _ Thay \(M(2; 2)\) vào phương trình ta có: \(4 + 4 + 4 + 8 – 20 = 0\) nên \(M ∈ (C)\) _ Thay \(A(1; 1)\) vào phương trình , ta có: \(1 + 1 + 2 + 4 – 20 ≠ 0\) nên \(A ∉ (C)\) _ Mệnh đề sai: \((C)\) có tâm \(I (1; 2)\) Vậy chọn A. Câu 13 trang 95 SGK Hình học 10. Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(3; 4)\) với đường tròn \((C): x^2+y^2– 2x – 4y – 3 = 0\) A.\( x + y – 7 = 0\) B.\( x + y + 7 = 0\) C.\( x – y – 7 = 0\) D. \(x + y – 3 = 0\) Trả lời: Đường tròn \((C): x^2+y^2– 2x – 4y – 3 = 0\) có tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = \sqrt8\). Tiếp tuyến với \(C\) tại \(M(3; 4)\) là đường thẳng đi qua M và nhận \(\overrightarrow {IM} = (2,2)\) làm vecto pháp tuyến. Phương trình tiếp tuyến là: \((x – 3)2 + (y – 4)2 = 0 ⇔ x + y – 7 = 0\) Vậy chọn A. Câu 14 trang 96 SGK Hình học 10. Cho đường tròn (C) : \(x^2+ y^2– 4x – 2y = 0\) và đường thẳng \(Δ: x + 2y + 1 = 0\) Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: A. \(Δ\) đi qua tâm \((C)\) B. \(Δ\) cắt \((C)\) tại hai điểm C. \(Δ\) tiếp xúc \((C)\) D. \(Δ\) không có điểm chung với \((C)\) Trả lời: Đường tròn \((C):x^2+ y^2– 4x – 2y = 0\) có tâm \(I(2; 1)\) và bán kính \(R = \sqrt5\) Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(Δ: x + 2y + 1 = 0\) là: \(d(I, Δ) = \sqrt5\) . Do đó \(Δ\) tiếp xúc với \((C)\) Vậy C đúng. Câu 15 trang 96 SGK Hình học 10. Đường tròn \((C): x^2+ y^2– x + y – 1 = 0\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là: A. \(I(1 1); R = 1\) B. \(I({1 \over 2}; - {1 \over 2});R = {{\sqrt 6 } \over 2}\) C. \(I( - {1 \over 2};{1 \over 2});R = {{\sqrt 6 } \over 2}\) D. \(I(1; 1); R = \sqrt6\) Trả lời: Đường tròn \((C): x^2+ y^2– x + y – 1 = 0\) có \(I({1 \over 2};- {1 \over 2});R = {{\sqrt 6 } \over 2}\) Vậy chọn B. Câu 16 trang 96 SGK Hình học 10. Với giá trị nào của m thì phương trình sau đây là phương trình của đường tròn: \(x^2+ y^2– 2(m+2)x + 4my + 19m – 6 = 0\) A. \(1 < m < 2\) B. \(-2 ≤ m ≤ 1\) C. \(m < 1\) hoặc \(m > 2\) D. \(m < -2\) hoặc \(m > 1\) Trả lời: Ta có: \(a = (m + 2) ; b = -2m ; c = 19m – 6\) \(a^2 +b^2 -c= 5m^2– 15m + 10\) \(a^2 +b^2 -c ⇔ 5m^2– 15m + 10 > 0\) \( ⇔ m < 1\) hoặc \(m > 2\) Vậy chọn C. Câu 17 trang 96 SGK Hình học 10. Đường thẳng \(Δ: 4x + 3y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn \((C): x^2+ y^2=1\) khi: A. \(m = 3\) B. \(m = 5\) C. \(m = 1\) D. \(m = 0\) Trả lời: Để đường thẳng \(Δ: 4x + 3y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn \((C): x^2+ y^2=1\) thì: \(\eqalign{ & d(O,\Delta ) = R \Leftrightarrow {{|4.0 + 3.0 + m|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 1 \cr & \Leftrightarrow m = \pm 5 \Rightarrow m = 5 \cr} \) Vậy chọn B. Câu 18 trang 96 SGK Hình học 10. Cho hai điểm \(A(1; 1)\) và \(B(7; 5)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là: A. \(x^2+ y^2 + 8x + 6y + 12 = 0\) B. \(x^2+ y^2- 8x - 6y + 12 = 0\) C. \(x^2+ y^2- 8x - 6y - 12 = 0\) D. \(x^2+ y^2+ 8x + 6y - 12 = 0\) Trả lời: Gọi \(M(x; y)\) là điểm thuộc đường tròn. \(\overrightarrow {AM} = (x - 1;y - 1);\overrightarrow {BM} = (x - 7;y - 5)\) Đường tròn đường kính \(AB\) thì góc \(AMB = 90^0\).Do đó \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BM} \) \(⇔ (x – 1)( x – 7) + (y – 1)(y – 5) = 0\) \(⇔ x^2+ y^2- 8x - 6y + 12 = 0 \) Vậy chọn B. Câu 19 trang 96 SGK Hình học 10. Đường tròn đi qua ba điểm \(A(0; 2); B(-2; 0)\) và \(C(2; 0)\) có phương trình là: A. \(x^2+ y^2 =8\) B. \(x^2+ y^2+ 2x + 4 = 0\) C. \(x^2+ y^2- 2x = 8 = 0\) D. \(x^2+ y^2- 4 = 0\) Trả lời: Phương trình đường tròn \((C) : x^2+ y^2– 2ax – 2by + c = 0\) với \(a^2+b^2-c> 0\) đi qua ba điểm \(A(0; 2)\); \(B(-2; 0)\) và \(C(2; 0)\) nên ta có hệ: \(\left\{ \matrix{ 4 - 4b + c = 0 \hfill \cr a + 4a + c = 0 \hfill \cr 4 - 4a + c = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 0 \hfill \cr b = 0 \hfill \cr c = - 4 \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \(x^2+ y^2- 4 = 0\) Do đó chọn D. Câu 20 trang 96 SGK Hình học 10. Cho điểm \(M(0; 4)\) và đường tròn \((C)\) có phương trình: \(x^2+ y^2- 8x – 6y + 21 = 0\) Trong các phát biểu sau, tìm phát biểu đúng: A. \(M\) nằm ngoài \((C)\) B. \(M\) nằm trên \((C)\) C. \(M\) nằm trong \((C)\) D. \(M\) trùng với tâm của \((C)\) Trả lời: Đường tròn: \(x^2+ y^2- 8x – 6y + 21 = 0\) có tâm \(I (4; 3)\) và bán kính \(R = 2\) Ta có: \(MI = \sqrt {17} \approx 4,12 > R\) nên \(M\) nằm ngoài \((C)\) Vậy chọn A. Câu 21 trang 96 SGK Hình học 10. Cho elip \((E)\): \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và cho các mệnh đề: (I) \((E)\) có tiêu điểm \(F_1( -4; 0)\) và \(F_2( 4; 0)\) (II) \((E)\) có tỉ số \({c \over a} = {4 \over 5}\) (III) \((E)\) có đỉnh \(A_1(-5; 0)\) (IV) \((E)\) có độ dài trục nhỏ bằng \(3\). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A. (I) và (II) B. (II) và (III) C. (I) và (III) D. (IV) và (I) Trả lời: \((E)\): \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) có \(a^2= 25, b^2= 9, c^2= a^2– b^2= 16\) \(⇒ a = 5; b = 3\) và \(c = 4\) Tiêu điểm \(F_1( -4; 0)\) và \(F_2( 4; 0)\) Đỉnh \(A_1(-5; 0), A_2(5; 0), B_1(0; -3), B_2(0; 3)\) Độ dài trục nhỏ \(2b = 6\) \((E)\) có tỉ số \({c \over a} = {4 \over 5}\) . Từ đó suy ra, mệnh đề sai là (IV) và (I) Vậy chọn D. Câu 22 trang 97 SGK Hình học 10. Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \((-3; 0), (3; 0)\) và hai tiêu điểm là \((-1; 0), (1; 0)\) là: A. \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1\) B. \({{{x^2}} \over 8} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) C. \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 8} = 1\) D. \({{{x^2}} \over 1} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) Trả lời: Phương trình chính tắc của (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) với a2 = b2 + c2 Ta có: \(a = 3\) và \(c = 1\), suy ra: \(b^2= a^2– c^2= 8\) Phương trình chính tắc của \((E)\): \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 8} = 1\) Vậy chọn C. Câu 23 trang 97 SGK Hình học 10. Cho elip \((E): x^2+ 4y^2= 1\) và cho các mệnh đề: (I): \((E)\) có trục lớn bằng \(1\) (II) \((E)\) có trục nhỏ bằng \(4\) (III) \((E)\) có tiêu điểm \({F_1}(0,{{\sqrt 3 } \over 2})\) (IV) \((E)\) có tiêu cự bằng \(\sqrt3\). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: A. (I) B. (II) và (IV) C. (I) và (III) D. (IV) Trả lời: Elip: \(\eqalign{ & {x^2} + 4{y^2} = 1 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 1} + {{{y^2}} \over {{1 \over 4}}} = 1 \cr & {a^2} = 1;{b^2} = {1 \over 4},{c^2} = {a^2} - {b^2} = {3 \over 4} \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = {1 \over 2} \hfill \cr c = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) _ Độ dài trục lớn \(2a = 2\), độ dài trục nhỏ \(2b = 1\) _ Tiêu cự \(2c = \sqrt3\) và tiêu điểm \(\left\{ \matrix{ {F_1}( - {{\sqrt 3 } \over 2},0) \hfill \cr {F_2}({{\sqrt 3 } \over 2},0) \hfill \cr} \right.\) _ Mệnh đề đúng: (E) có tiêu cự là \(\sqrt3\). Vậy chọn D. Câu 24 trang 97 SGK Hình học 10. Dây cung của elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 (0 < b < a)\) vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là: A. \({{2{c^2}} \over a}\) B. \({{2{b^2}} \over a}\) C. \({{2{a^2}} \over c}\) D. \({{{a^2}} \over c}\) Trả lời: Đường thẳng \(Δ\) đi qua tiêu điểm \(F(c; 0)\) của elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1(0 < b < a)\) và vuông góc với trục lớn của phương trình :\( x – c = 0\). \(Δ\) cắt \((E)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ x - c = 0 \hfill \cr {{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = c \hfill \cr y = \pm {{{b^2}} \over a} \hfill \cr} \right.\) Độ dài dây cung của \((E)\) là độ dài đoạn thẳng \(MN = {{2{b^2}} \over a}\) Chọn B Câu 25 trang 97 SGK Hình học 10. Một elip có trục lớn là \(26\), tỉ số \({c \over a} = {{12} \over {13}}\) . Trục nhỏ của elip bằng bao nhiêu? A. \(5\) B. \(10\) C. \(12\) D. \(14\) Trả lời: Ta có: \(2b = 10\). Suy ra \(b = 5\) Vậy chọn A. Câu 26 trang 97 SGK Hình học 10. Cho elip \((E): 4x^2+ 9y^2= 36\). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A. \((E)\) có trục lớn bằng \(6\) B. \((E)\) có trục nhỏ bằng \(4\) C. \((E)\) có tiêu cự bằng \(\sqrt5\) D. \((E)\) có tỉ số \({c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}\) Trả lời: \(\eqalign{ & 4{x^2} + {\rm{ }}9{y^2} = {\rm{ }}36 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \cr & \left\{ \matrix{ {a^2} = 9 \hfill \cr {b^2} = 4 \hfill \cr {c^2} = {a^2} - {b^2} = 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 3 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr c = \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \cr} \) _ Độ dài trục lớn \(2a – 6\), độ dài trục nhỏ \(2b = 4\) _ Tiêu cự \(2c = 2\sqrt5\) và tỉ số \({c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}\) _ Mệnh đề sai: \((E)\) có tiêu cự bằng \(\sqrt5\) Vậy C sai Câu 27 trang 98 SGK Hình học 10. Cho đường tròn \((C)\) tâm \(F_1\) bán kính \(2a\) và một điểm \(F_2\) ở bên trong của \((C)\). Tập hợp điểm \(M\) của các đường tròn \((C’)\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(F_2\) và tiếp xúc với \((C)\) (xem hình) là đường nào sau đây? A. Đường thẳng B. Đường tròn C. Elip D. Parabol Trả lời: Gọi bán kính của đường tròn \((C’)\) là \(r\) Ta có: \((C’)\) tiếp xúc trong với đường tròn \((C)\) nên \(F_1M = 2a – r\) \(F_2 ∈ (C’)\) nên \(F_2M = r\) Ta có: \(F_1M + F_2M = 2a – r + r = 2a\) Suy ra: Tập hợp tâm \(M\) của đường tròn \((C’)\) là một elip Vậy chọn C. Câu 28 trang 98 SGK Hình học 10. Khi \(t\) thay đổi, điểm \(M(5cost; 4sint)\) di động trên đường tròn nào sau đây: A. Elip B. Đường thẳng C. Parabol D. Đường tròn Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & x = 5\cos t \Rightarrow {x \over 5} = \cos t \Rightarrow {{{x^2}} \over {26}} = {\cos ^2}t \cr & y = 4\sin t \Rightarrow {y \over 4} = \sin t \Rightarrow {{{y^2}} \over {16}} = {\sin ^2}t \cr & \Rightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = {\cos ^2}t + {\sin ^2}t \Rightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1 \cr} \) Vậy điểm \(M\) di động trên Elip \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1\) Vậy chọn A. Câu 29 trang 98 SGK Hình học 10. Cho elip \((E)\): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1(0 < b < a)\). Gọi \(F_1,F_2\) là hai tiêu điểm và cho điểm \(M(0; -b)\) Giá trị nào sau đây bằng giá trị của biểu thức : \(MF_1– MF_2– OM^2\) A. \(c^2\) B. \(2a^2\) C. \(2b^2\) D. \(a^2– b^2\) Trả lời: Elip \((E): {{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1(0 < b < a)\) , có hai tiêu điểm là \(F_1(-c; 0)\) và \(F_2(c; 0)\) Với \(a^2= b^2+ c^2\) Ta có \(MF_1 = a, MF_2= b\) và \(OM^2= b^2\) \(MF_1MF_2 – OM^2= a^2– b^2\) Vậy chọn D. Câu 30 trang 98 SGK Hình học 10. Cho elip \((E) {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) : và đường thẳng \(Δ: y + 3 = 0\) Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của \((E)\) đến đường thẳng \(Δ\) bằng các giá trị nào sau đây: A. \(16\) B. \(9\) C. \(81\) D. \(7\) Trả lời: Elip \((E) :{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) : có hai tiêu điểm \(F_1(-\sqrt7; 0)\) và \(F_2(\sqrt7; 0)\) Khoảng cách từ \(F_1,F_2\) đến đường thẳng \(Δ: y + 3 = 0\) là: \(d(F_1, Δ)\) và \(d(F_2, Δ)\) Suy ra: \(d(F_1, Δ).d(F_2, Δ)= 9\) Vậy chọn B.
