Bài 6 trang 14 SGK Hình học 10 Nâng cao. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) thì \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \). Hướng dẫn trả lời Áp dụng hệ thức ba điểm, ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \,\,\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \,\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \) Bài 7 trang 14 SGK Hình học 10 Nâng cao. Tứ giác \(ABCD\) là hình gì nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) và \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)? Hướng dẫn trả lời Từ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) suy ra \(ABCD\) là hình bình hành. \(AB, BC\) là hai cạnh liên tiếp của hình bình hành \(ABCD\) nên \(AB = BC\) thì \(ABCD\) là hình thoi. Bài 8 trang 14 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho bốn điểm bất kì \(M, N, P, Q\). Chứng minh các đẳng thức sau a) \(\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MQ} \); b) \(\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} \); c) \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} \). Hướng dẫn trả lời a) \(\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = (\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} ) + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} \) b) \(\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = (\overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {QP} ) + (\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {QN} ) = \,\overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {QN} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} \) ( vì \(\overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {QN} = \overrightarrow 0 \) ) c) \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} = (\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {QN} ) + (\overrightarrow {PN} + \overrightarrow {NQ} ) = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {QN} + \overrightarrow {NQ} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} \) ( vì \(\overrightarrow {QN} + \overrightarrow {NQ} = \overrightarrow 0 \)) Bài 9 trang 14 SGK Hình học 10 Nâng cao. Các hệ thức sau đây đúng hay sai (với mọi \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) )? a) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\); b) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\). Hướng dẫn trả lời a) Sai, vì lấy \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) không cùng phương thì \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\) b) Đúng. Bài 10 trang 14 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hình bình hành \(ABCD\) với tâm \(O\). Hãy điền vào chỗ trống (…) để được đẳng thức đúng a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = ...................\) b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = ...................\) c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OA} = ...................\) d) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = ...................\) e ) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = ...................\) Hướng dẫn trả lời a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành). b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \,\) c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {OB} \) (quy tắc ba điểm). d) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \) (vì O là trung điểm của AC). e) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} ) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \) (vì O là trung điểm của AC). Bài 12 trang 14 (SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). a) Hãy xác định các điểm \(M, N, P\) sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \,;\,\,\,\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \,;\,\,\,\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \) b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \). Hướng dẫn trả lời a) Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(AOBM\) là hình bình hành. Ta có \(AB, OM\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) thì \(OI = IM\). \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(OC = 2 OI = OM\). Do đó \(O\) là trung điểm của \(MC\), tức là \(MC\) là đường kính của đường tròn. Vậy điểm \(M\) là điểm sao cho \(CM\) là đường kính của đường tròn tâm \(O\). Tương tự, ta cũng có \(N, P\) thuộc đường tròn \((O)\) sao cho \(AN, BP\) là đường kính của đường tròn \((O)\). b) \(O\) là trung điểm của \(MC\) nên \(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \), mà \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \) Bài 13 trang 15 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) cùng có điểm đặt tại \(O\) (h.17). Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng trong các trường hợp sau a) \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) đều có cường độ là \(100N\), góc hợp bởi \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \({120^0}\) (h.17a); b) Cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} \) là \(40N\), của \(\overrightarrow {{F_2}} \) là \(30N\) và góc giữa \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \( \overrightarrow {{F_2}} \) bằng (h.17b). Hướng dẫn trả lời a) Ta lấy \(\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OB} \). Theo quy tắc hình bình hành, ta vẽ hình bình hành \(OACB\). Hình bình hành \(OACB\) có \(OA = OB\) nên \(OACB\) là hình thoi. Ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \), \(OC\) là phân giác góc \(\widehat {AOB}\) nên \(\widehat {AOC} = {60^0}\). Mà \(OACB\) là hình thoi nên tam giác \(AOC\) đều. Suy ra \(OA = OC\). Vậy cường độ lực tổng hợp của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) là \(100N\). b) Đặt \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} \). \(C\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(OABC\). Do góc giữa \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \({90^0}\) suy ra tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật. \( \Rightarrow OC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{{40}^2} + {{30}^2}} = 50N\) Ta có: \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) Vậy cường độ tổng hợp lực của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) là \(50N.\)
