Bài 14 trang 17 SGK Hình học 10 Nâng cao. a) Vectơ đối của vectơ \( - \overrightarrow a \) là vectơ nào? b) Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow 0 \) là vectơ nào? c) Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) là vectơ nào? Hướng dẫn trả lời a) Vectơ đối của vectơ \( - \overrightarrow a \) là vectơ \( - ( - \overrightarrow a ) = \overrightarrow a \). b) Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow 0 \) là vectơ \(\overrightarrow 0 \). c) Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) là vectơ \( - \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = - \overrightarrow a - \overrightarrow b \) Bài 15 trang 17 SGK Hình học 10 Nâng cao. Chứng minh các mệnh đề sau đây a) Nếu \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a = \overrightarrow c - \overrightarrow b ,\overrightarrow b = \overrightarrow c - \overrightarrow a \); b) \(\overrightarrow a - (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow c \); c) \(\overrightarrow a - (\overrightarrow b - \overrightarrow c ) = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \). Hướng dẫn trả lời a) Cộng hai vế cho vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow b \) ta có \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \left( { - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c + \left( { - \overrightarrow b } \right)\,\, \Rightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow c - \overrightarrow b \) Cộng hai vế cho vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \) ta có \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow c + \left( { - \overrightarrow a } \right)\,\, \Rightarrow \overrightarrow b = \overrightarrow c - \overrightarrow a \) b) Ta có \(\overrightarrow a - (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) + (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a \) Áp dụng câu a) ta có \(\overrightarrow a - (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow c \) c) Áp dụng câu a) ta có \(\overrightarrow a - (\overrightarrow b - \overrightarrow c ) = \overrightarrow a - \left[ {\overrightarrow b + \left( { - \overrightarrow c } \right)} \right] = \overrightarrow a - \overrightarrow b - \left( { - \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \) Bài 16 trang 17 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hình bình hành \(ABCD\) với tâm \(O\). Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ? a) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB} \); b) \(\overrightarrow {CO} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \); c) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \); d) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \); e) \(\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CO} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BO} \). Hướng dẫn trả lời a) Sai vì \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \ne \overrightarrow {AB} .\) b) Đúng vì \(\overrightarrow {CO} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} .\) c) Sai vì \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \ne \overrightarrow {AC} \). d) Sai vì \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \ne \overrightarrow {BD} \). e) Đúng vì \(\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CO} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {OD} \). Bài 17 trang 17 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hai điểm \(A, B\) phân biệt. a) Tìm tập hợp các điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} \); b) Tìm tập hợp các điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB} \). Hướng dẫn trả lời a) \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} \) thì \(A = B\) ( vô lý do \(A, B\)) phân biệt). Vậy tập hợp điểm \(O\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} \) là tập rỗng. b) Ta có \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB} \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \,\, = \overrightarrow 0 \, \Leftrightarrow \,\,O\) là trung điểm đoạn \(AB\). Vậy tập hợp điểm \(O\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB} \) chỉ có duy nhất một điểm là trung điểm của đoạn \(AB\). Bài 18 trang 17 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \). Hướng dẫn trả lời Ta có \(\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {BA} \) mà \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \) suy ra \(\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 .\) Bài 19 trang 18 SGK Hình học 10 Nâng cao. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau. Hướng dẫn trả lời Giả sử \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) và \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\). Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} ,\,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \) suy ra \(\eqalign{ & 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow 0 \cr} \) Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 \) , tức là \(M \equiv N\). Vậy trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau. Ngược lại, ta giả sử trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau, suy ra \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \). Bài 20 trang 18 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho sáu điểm \(A, B, C, D, E, F\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \). Hướng dẫn trả lời Theo quy tắc ba điểm, ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} } \right) + \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \cr} \) Tương tự, ta cũng có \(\eqalign{ & \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \left( {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DE} } \right) + \left( {\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left( {\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left( {\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \cr} \) Vậy ta có \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \)
