Bài 29 trang 30 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai ? a) Hai vec tơ \(\overrightarrow a (26;9)\) và \(\overrightarrow b (9;26)\) bằng nhau. b) Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau. c) Hai vec tơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau. d) Vec tơ \(\overrightarrow a \) cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow i \) nếu \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng 0. e) Vec tơ \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng 0 thì nó cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow j \). Hướng dẫn trả lời a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Đúng Bài 30 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao. Tìm tọa độ của các vectơ sau trong mặt phẳng tọa độ \(\eqalign{ & \overrightarrow a = - \overrightarrow i \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow b = 5\overrightarrow j \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow c = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \,; \cr & \overrightarrow d = {1 \over 2}(\overrightarrow j - \overrightarrow i \,\,\,)\,;\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow e = 0,15\overrightarrow i \,\, + 1,3\overrightarrow {j\,} \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow f = \pi \overrightarrow i \,\, - (\cos {24^0})\overrightarrow {j\,} \,.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr} \) Hướng dẫn trả lời \(\overrightarrow a = (x,\,y)\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \) Áp dụng điều trên, ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow a = ( - 1\,;\,0);\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow b = (0\,;\,5);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow c = (3\,;\, - 4); \cr & \overrightarrow d = ( - {1 \over 2}\,;\,{1 \over 2});\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow e = (0,15\,;\,1,3);\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow f = (\pi \,;\, - \cos {24^0}). \cr} \) Bài 31 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho \(\overrightarrow a = (2;1),\,\overrightarrow b = (3;4),\,\overrightarrow c = (7;2).\) a) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \). b) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow x \) sao cho \(\overrightarrow x + \overrightarrow a = \overrightarrow b - \overrightarrow {c.} \) c) Tìm các số \(k,l\) để \(\overrightarrow c = k\overrightarrow a + l\overrightarrow b .\) Hướng dẫn trả lời a) \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c = (4\, - 9 + 7\,;\,2 - 12 + 2) = (2\,;\, - 8)\). b) Ta có \(\overrightarrow x + \overrightarrow a = \overrightarrow b - \overrightarrow c \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow x = \overrightarrow b - \overrightarrow c - \overrightarrow a = (3 - 7 - 2\,;\,4 - 2 - 1) = ( - 6\,;\,1).\) c) Ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow c = k\overrightarrow a + l\overrightarrow b = (2k\, + 3l\,;\,k + 4l) = (7\,;\,2) \Rightarrow \,\left\{ \matrix{ 2k + 3l = 7 \hfill \cr k + 4l = 2 \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k = 4,4 \hfill \cr l = - 0,6 \hfill \cr} \right. \cr & \cr} \) Bài 32 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho \(\overrightarrow u = {1 \over 2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \,\,,\,\overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j .\) Tìm các giá trị của \(k\) để hai vec tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương. Hướng dẫn trả lời Cho \(\overrightarrow u = \left( {{1 \over 2}\,;\, - 5} \right)\,,\,\overrightarrow v = \left( {k\,;\, - 4} \right)\) Để hai vec tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương thì có số \(l\) sao cho \(\overrightarrow v = l\overrightarrow u \) \( \Leftrightarrow \left( {k\,;\, - 4} \right) = \left( {{l \over 2}\,;\, - 5l} \right) \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ k = {l \over 2} \hfill \cr - 4 = - 5l \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k = {2 \over 5} \hfill \cr l = {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\) Vậy với \(k = {2 \over 5}\) thì \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương. Bài 33 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? a) Tọa độ của điểm \(A\) bằng tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow {OA} \), với \(O\) là gốc tọa độ. b) Hoành độ của một điểm bằng \(0\) thì điểm đó nằm trên trục hoành. c) Điểm \(A\) nằm trên trục tung thì \(A\) có hoành đô bằng \(0\). d) \(P\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi hoành độ điểm \(P\) bằng trung bình cộng các hoành độ của hai điểm \(A\) và \(B\). e) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \({x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}\) và \({y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}\). Hướng dẫn trả lời a) Đúng. b) Sai vì hoành độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trên trục tung. c) Đúng. d) Sai vì \(P\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi hoành độ điểm \(P\) bằng trung bình cộng các hoành độ của hai điểm \(A\) và \(B\); tung độ điểm \(P\) bằng trung bình cộng các tung độ của hai điểm \(A\) và \(B\). e) Đúng vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \,\,I\) vừa là trung điểm của \(AC\), vừa là trung điểm của \(BD\) \( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ 2{x_I} = {x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D} \hfill \cr 2{y_I} = {y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D} \hfill \cr} \right.\) Bài 34 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm \(A( - 3;4)\,,\,B(1;1)\,,\,C(9; - 5).\) a) Chứng minh ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(BD\). c) Tìm tọa độ điểm \(E\) trên trục \(Ox\) sao cho \(A, B, E\) thẳng hàng. Hướng dẫn trả lời a) Ta có \(\,\,\,\left. \matrix{ \overrightarrow {AB} = (1 + 3\,;\,1 - 4) = (4\,;\, - 3) \hfill \cr \overrightarrow {AC} = (9 + 3\,;\, - 5 - 4) = (12\,;\, - 9) \hfill \cr} \right\}\, \Rightarrow \,\overrightarrow {AC} \, = 3\overrightarrow {AB} \) Vậy ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng. b) Gọi \(D\,({x_D}\,;\,{y_D})\). Do \(A\) là trung điểm của \(BD\) nên ta có \(\left\{ \matrix{ {x_A} = {{{x_B} + {x_D}} \over 2} \hfill \cr {y_A} = {{{y_B} + {y_D}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3 = {{1 + {x_D}} \over 2} \hfill \cr 4 = {{1 + {y_D}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = - 7 \hfill \cr {y_D} = 7 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(D( - 7\,;\,7)\). c) Gọi \(E\,({x_E}\,;\,0)\) trên trục \(Ox\) sao cho \(A, B, E\) thẳng hàng. Do đó có số \(k\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB} \) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\, - 3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {{x_E} + 3\,;\, - 4} \right) \cr & \Rightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {x_E} + 3 = 4k \hfill \cr - 4 = - 3k \hfill \cr} \right.\,\, \Rightarrow \,\left\{ \matrix{ k = {4 \over 3} \hfill \cr {x_E} = {7 \over 3} \hfill \cr} \right.\,\,\, \Rightarrow \,E\,\left( {{7 \over 3}\,;\,0} \right)\, \cr} \) Bài 35 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm \(M(x\,;y).\) Tìm tọa độ của các điểm a) \({M_1}\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Ox\). b) \({M_2}\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Oy\). c) \({M_3}\) đối xứng với \(M\) qua gốc tọa độ \(O\). Hướng dẫn trả lời a) \({M_1}(x\,;\, - y);\) b) \({M_2}( - x\,;\,y);\) c) \({M_3}( - x\,;\, - y).\) Bài 36 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm \(A( - 4\,;1)\,,\,B(2\,;4)\,,\,C(2\,; - 2).\) a) Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác \(ABC\). b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). c) Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành. Hướng dẫn trả lời a) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x_G} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_C}) = {1 \over 3}( - 4 + 2 + 2) = 0 \hfill \cr {y_G} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_C}) = {1 \over 3}(1 + 4 - 2) = 1 \hfill \cr} \right.\,\, \cr & \Rightarrow \,\,G\,(0\,;\,1). \cr} \) b) Gọi \(D\,({x_{D\,}}\,;\,{y_D})\) sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Ta có \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x_C} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_D}) \hfill \cr {y_C} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_D}) \hfill \cr} \right.\,\, \Rightarrow \left\{ \matrix{ 2 = {1 \over 3}( - 4 + 2 + {x_D}) \hfill \cr - 2 = {1 \over 3}(1 + 4 + {y_D}) \hfill \cr} \right. \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\left\{ \matrix{ {x_D} = 8 \hfill \cr {y_D} = - 11 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \,\,D\,(8\,;\, - 11) \cr} \) c) Gọi \(E({x_E}\,;\,{y_E})\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành. Ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(6\,;\,3) = (2 - {x_E}\,;\, - 2 - {y_E}) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {x_E} = - 4 \hfill \cr {y_E} = - 5 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \,\,E\,( - 4\,;\, - 5). \cr} \)
