Bài 1 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao. Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số) a) \((2\sin {30^0} + \cos {135^0} - 3\tan {150^0})(\cos {180^0} - \cot {60^0})\) b) \({\sin ^2}{90^0} + {\cos ^2}{120^0} + {\cos ^2}{0^0} - {\tan ^2}{60^0} + {\cot ^2}{135^0}\). Hướng dẫn trả lời a) Ta có \(\eqalign{ & \cos {135^0} = \cos ({180^0} - {45^0}) = - \cos {45^0} = - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \tan {150^0} = \tan ({180^0} - {30^0}) = - \tan {30^0} = - {{\sqrt 3 } \over 3} \cr} \) Do đó \(\eqalign{ & (2\sin {30^0} + \cos {135^0} - 3\tan {150^0})(\cos {180^0} - \cot {60^0}) \cr & = \left( {1 - {{\sqrt 2 } \over 2} + \sqrt 3 } \right)\,\left( { - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}} \right) = \left( {{{\sqrt 2 } \over 2} - \sqrt 3 - 1} \right)\left( {1 + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right) \cr}.\) b) Ta có \(\eqalign{ & \cos {120^0} = \cos ({180^0} - {60^0}) = - \cos {60^0} = - {1 \over 2} \cr & \cot {135^0} = \cot ({180^0} - {45^0}) = - \cot {45^0} = - 1 \cr} \) Do đó \(\eqalign{ & {\sin ^2}{90^0} + {\cos ^2}{120^0} + {\cos ^2}{0^0} - {\tan ^2}{60^0} + {\cot ^2}{135^0} \cr & = 1 + {1 \over 4} + 1 - 3 + 1 = {1 \over 4} \cr} \) Bài 2 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao. Đơn giản các biểu thức a) \(\sin {100^0} + \sin {80^0} + \cos {16^0} + \cos {164^0}\); b) \(2\sin ({180^0} - \alpha )\cot \alpha - \cos ({180^0} - \alpha )\tan \alpha \cot ({180^0} - \alpha )\) với \({0^0} < \alpha < {90^0}\). Hướng dẫn trả lời a) Ta có \(\eqalign{ & \sin {100^0} = \sin ({180^0} - {80^0}) = \sin {80^0}\,\,\,;\,\,\,\,\cos {164^0} = \cos ({180^0} - {16^0}) = - \cos {16^0} \cr & \Rightarrow \,\,\,\,\sin {100^0} + \sin {80^0} + \cos {16^0} + \cos {164^0} \cr & \,\,\,\,\, = \,\sin {80^0} + \sin {80^0} + \cos {16^0} - \cos {16^0} \cr & \,\,\,\,\, = 2\sin {80^0}. \cr} \) b) Ta có \(\eqalign{ & \,\,\,\,2\sin ({180^0} - \alpha )\cot \alpha - \cos ({180^0} - \alpha )\tan \alpha \cot ({180^0} - \alpha ) \cr & = 2\sin \alpha {{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} - \cos \alpha {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}{{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} \cr & = 2\cos \alpha - \cos \alpha \cr & = \cos \alpha . \cr} \) Bài 3 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao. Chứng minh các hệ thức sau a) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\); b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,(\alpha \ne {90^0})\); c) \(1 + {\cot ^2}\alpha = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,({0^0} < \alpha < {180^0})\). Hướng dẫn trả lời a) Giả sử \(M\,(x\,;\,y)\) trên đường tròn đơn vị, \(\widehat {MOx} = \alpha \). Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {x^2} + {y^2} = O{M^2} = 1.\) b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\) . c) \(1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\).
