Bài 15 trang 64 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác \(ABC\) có \(a = 12, b = 13, c = 15\). Tính \(\cos A\) và góc \(A\). Hướng dẫn trả lời Áp dụng công thức tính ta có \(\eqalign{ & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{{13}^2} + {{15}^2} - {{12}^2}} \over {2.13.15}} = {{25} \over {39}} \cr & \Rightarrow \,\,\widehat A \approx {50^0} \cr} \) Bài 16 trang 64 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,\,AC = 8,\,\widehat A = {60^0}\). Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài cạnh \(BC\) ? a) \(\sqrt {129} \); b) \(7\); c) \(49\); d) \(\sqrt {69} \). Hướng dẫn trả lời Ta có \(B{C^2} = {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos {60^0} = 49\) \( \Rightarrow \,\,BC = 7\). Chọn b). Bài 17 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao. Hình 59 vẽ một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Bốn bạn An, Cường , Trí, Đức dự đoán khoảng cách từ B đến C như sau An : \(5 km\) Cường : \(6 km\) Trí : \(7 km\) Đức : \(5,5 km\). Biết rằng khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) là \(3 km\), khoảng cách từ \(A\) đến \(C\) là \(4 km\), góc \(BAC\) là \({120^0}\). Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất ? Hướng dẫn trả lời Áp dụng định lí cosin ta có \(\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC} = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.\cos {120^0} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\ = 9 + 16 + 12 = 37 \cr & \Rightarrow BC = \sqrt {37} \approx 6,1 \cr} \) Vậy bạn Cường dự đoán sát với thực tế nhất. Bài 18 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh các khẳng định sau a) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\); a) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\); a) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\) a) \(A\) nhọn \( \Leftrightarrow \,\,\cos A > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} > {a^2}\). b) \(A\) tù \( \Leftrightarrow \,\,\cos A < 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} < {a^2}\) . c) \(A\) vuông \( \Leftrightarrow \,\,\cos A = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} = {a^2}\) . Bài 19 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0},\,\widehat B = {45^0},\,b = 4\). Tính hai cạnh \(a\) và \(c\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(\widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {60^0} - {45^0} = {75^0}\) Áp dụng định lí sin ta có \(\eqalign{ & {a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {4 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}} \cr & {a \over {\sin {{60}^0}}} = {4 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,a = 4.{{\sqrt 3 } \over 2}.\sqrt 2 = 2\sqrt 6 \cr & {c \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}} = {4 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,c \approx \,5,5 \cr} \) Bài 20 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0},\,a = 6\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hướng dẫn trả lời Ta có \({a \over {\sin A}} = 2R\,\, \Rightarrow \,\,R = {a \over {2\sin A}} = {6 \over {2.\sin {{60}^0}}} = {6 \over {\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \, \approx 3,5\) Bài 21 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao. Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \(ABC\) thỏa mãn hệ thức \(\sin A = 2\sin B.\cos C\) thì \(ABC\) là tam giác cân. Hướng dẫn trả lời Áp dụng định lí sin và cosin ta có \(\sin A = {a \over {2R}},\,\,\sin B = {b \over {2R}},\,\,\cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}\) Do đó \(\sin A = 2\sin B\cos C\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{a \over {2R}} = 2.{b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}\,\,\,\) \( \Leftrightarrow \,\,{a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,b^2 = c^2\, \Leftrightarrow \,\,b=c\) Vậy \(ABC\) là tam giác cân. Bài 22 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao. Hình 60 vẽ một chiếc tàu thủy đang neo đậu ở vị trí \(C\) trên biển và hai người ở các vị trí quan sát \(A\) và \(B\) cách nhau \(500m\). Họ đo được góc \(CAB\) bằng \({87^0}\) và góc \(CBA\) bằng \({62^0}\). Tính các khoảng cách \(AC\) và \(BC\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(\widehat {ACB} = {180^0} - {87^0} - {62^0} = {31^0}\) Áp dụng định lí sin ta có \({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{500} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{{\rm{1}}^0}}} \approx 971\) \( \Rightarrow \,\,BC = a = 971.\sin {87^0} \approx 969\) m và \(\,AC = b = 971.\sin {62^0} \approx 857\) m. Bài 23 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao. Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác không vuông \(ABC\). Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(ABC,\,HBC,\,HCA,\,HAB\) bằng nhau. Hướng dẫn trả lời Trường hợp 1: Tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Gọi \(R,\,{R_1}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC, HBC\). Áp dụng định lí sin ta có \({{BC} \over {\sin A}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}\) Mà \(\widehat {BHC} + \widehat A = \widehat {{B'}H{C'}} + \widehat A = {180^0}\) (Vì \(\widehat {BHC}\) và \(\widehat {{B'}H{C'}}\) đối đỉnh) \( \Rightarrow \,\,\sin A = \sin \widehat {BHC}\) Do đó \(2R = 2{R_1}\,\, \Rightarrow \,\,R = {R_1}.\) Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HBC\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCA, HAB\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Trường hợp 2: Tam giác \(ABC\) có góc tù. Ta có \({{BC} \over {\sin \widehat{BAC}}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}\) Mà \(\widehat {B'AC'} + \widehat {CHB} = {180^0}\,\, \Rightarrow \,\,\sin \widehat{BAC} =\sin \widehat{B'AC'}= \sin \widehat {CHB}\) (Vì \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{B'AC'}\) đối đỉnh) \( \Rightarrow \,\,R = {R_1}\) Tương tự ta chứng minh được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCA, HAB\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Bài 24 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác \(ABC\) có \(a = 7,\,b = 8,\,c = 6\). Tính \({m_a}\). Hướng dẫn trả lời Áp dụng công thức tính \({m_a}\) ta có \({m_a}^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{8^2} + {6^2}} \over 2} - {{{7^2}} \over 4} = {{151} \over 4}\,\,\,\, \Rightarrow \,{m_a} \approx 6,1\) Bài 25 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác \(ABC\) có \(a = 5,\,b = 4,\,c = 3\). Lấy điểm \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(C\). Tính độ dài \(AD\). Hướng dẫn trả lời Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AC\) trong tam giác \(ABD\) ta có \(A{C^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\, \Rightarrow \,\,{4^2} = {{{3^2} + A{D^2}} \over 2} - {{{{10}^2}} \over 4}\,\,\, \Rightarrow \,A{D^2} = 73\,\,\, \Rightarrow \,AD = \sqrt {73} \approx 8,5.\) Bài 26 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 4,\,BC = 5,\,BD = 7\). Tính \(AC\). Hướng dẫn trả lời Gọi \(O\) là tâm hình bình hành. Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) của tam giác \(ABD\), ta có \(\eqalign{ & A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\, = {{{4^2} + {5^2}} \over 2} - {{{7^2}} \over 4} = {{33} \over 4}\,\,\,\cr& \Rightarrow \,AO = \sqrt {{{33} \over 4}} = {{\sqrt {33} } \over 2} \cr & \Rightarrow \,AC = 2AO = \sqrt {33} \approx 5,8 \cr} \) Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo. Hướng dẫn trả lời Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(ABD\), ta có \(\eqalign{ & A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr & \Rightarrow \,\,\,4A{O^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) - B{D^2}\,\, \cr & \Rightarrow \,\,\,A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) = A{B^2} + A{D^2} + D{C^2} + B{C^2} \cr} \) Bài 28 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) khi và chỉ khi \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \,\,\,5\left( {{{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}} \right) = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4} + {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr & \Leftrightarrow \,\,\,5\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right) = 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} \cr & \Leftrightarrow \,\,\,{b^2} + {c^2} = {a^2} \cr} \) \( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Bài 29 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác \(ABC\) có \(b = 6,12\,;\,c = 5,35\,;\,\widehat A = {84^0}\). Tính diện tích tam giác đó. Hướng dẫn trả lời Ta có \({S_{ABC}} = {1 \over 2}.b.c.\sin A = {1 \over 2}.(6,12)\,.(5,35)\,.\sin {84^0} \approx 16,3\). Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng \(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\). Hướng dẫn trả lời Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có \(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\,\,\,(1)\) Tương tự, \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên \(\eqalign{ & 4B{M^2} = 2(A{B^2} + B{C^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr & 4D{M^2} = 2(D{A^2} + C{D^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \) Từ (2), (3) suy ra \(2(B{M^2} + D{M^2}) = A{B^2}\, + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2}\,\,(4)\) Thay (4) vào (1), ta có \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,4M{N^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2} - B{D^2} \cr & \Rightarrow \,\,\,A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} \cr} \) Bài 31 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Gọi \(S\) là diện tích và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C\). Hướng dẫn trả lời Áp dụng công thức tính diện tích và định lí sin trong tam giác \(ABC\) .Ta có \(\eqalign{ & S = {{abc} \over {4R}} = {{(2R\sin A).(2R\sin B).(2R\sin C)} \over {4R}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C \cr} \) Bài 32 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó. Hướng dẫn trả lời Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC, BD\) và \(\widehat {AIB} = \alpha \). Ta có \({S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \,\,,\,\,\,{S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin ({180^0} - \alpha ) = \,{1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \,\) Suy ra \({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.(BI + DI).\sin \alpha = {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha \) Tương tự ta suy ra \({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}} = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha \) Từ đó suy ra \({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = {1 \over 2}.BD.(AI + CI).\sin \alpha = {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha. \) Bài 33 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Giải tam giác \(ABC\), biết a) \(c = 14,\,\widehat A = {60^0},\,\widehat B = {40^0}\); b) \(b = 4,5,\,\widehat A = {30^0},\,\widehat C = {75^0}\); c) \(c = 35,\,\widehat A = {40^0},\,\widehat C = {120^0}\); d) \(a = 137,5;\;\widehat B = {83^0},\,\widehat C = {57^0}\). Hướng dẫn trả lời a) Ta có \(\widehat C = {180^0} - {60^0} - {40^0} = {80^0}\) Áp dụng định lí sin : \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{14} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in8}}{{\rm{0}}^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,a = {{14} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in8}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {60^0} \approx 12,3 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b = {{14} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in8}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {40^0} \approx 9,1 \cr} \) b) Ta có \(\widehat B = {180^0} - {30^0} - {75^0} = {75^0}\) Áp dụng định lí sin \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{4,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}}\,\,\, \Rightarrow \,\,a = {{4,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}}.\sin {30^0} \approx 2,3 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c = {{4,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}}.\sin {75^0} = 4,5 \cr} \) c) Ta có \(\widehat B = {180^0} - {120^0} - {40^0} = {20^0}\) Áp dụng định lí sin : \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{35} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in12}}{{\rm{0}}^0}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,a = {{35} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in12}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {40^0} \approx 26 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b = {{35} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in12}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {20^0} \approx 13,8 \cr} \) d) Ta có \(\widehat A = {180^0} - {83^0} - {57^0} = {40^0}\) Áp dụng định lí sin : \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{137,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{{\rm{0}}^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,b = {{137,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {83^0} \approx 212,3 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c = {{137,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {57^0} \approx 179,4 \cr} \) Bài 34 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Giải tam giác \(ABC\), biết a) \(a = 6,3,\,\,b = 6,3,\,\,\widehat C = {54^0}\); b) \(b = 32,\,c = 45,\,\widehat A = {87^0}\); c) \(a = 7,\,\,b = 23,\,\,\widehat C = {130^0}\). Giải a) \(ABC\) là tam giác cân tại \(C\) \( \Rightarrow \,\,\widehat A = \widehat B = {{{{180}^0} - {{54}^0}} \over 2} = {63^0}\). Áp dụng định lí sin ta có \(\,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {c \over {\sin C}} = {{6,3} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in6}}{{\rm{3}}^0}}}\,\, \Rightarrow \,\,c = {{6,3} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in6}}{{\rm{3}}^0}}}.\sin {54^0} \approx 5,7\) b) Áp dụng định lí cosin ta có \(\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \cr & \,\,\,\,\,\, = {32^2} + {45^2} - 2.32.45.\cos {87^0} \approx 2898,27 \cr & \Rightarrow a \approx 53,8 \cr} \) Áp dụng định lí sin ta có \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}}\,\, \Rightarrow \,\,\sin B = {{b\sin A} \over a} = {{32.\sin {{87}^0}} \over {53,8}} \approx 0,6 \cr & \Rightarrow \,\,\widehat B \approx {36^0}\,,\,\,\widehat C \approx {57^0} \cr} \) c) Áp dụng định lí cosin ta có \(\eqalign{ & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \cr & \,\,\,\,\,\, = {7^2} + {23^2} - 2.7.23.\cos {130^0} \approx 785 \cr & \Rightarrow c \approx 28 \cr & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{{23}^2} + {{28}^2} - {7^2}} \over {2.23.28}} \approx 0,98 \cr & \Rightarrow \,\,\widehat A = {11^0}\,,\,\,\widehat B = {39^0} \cr} \) Bài 35 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Giải tam giác \(ABC\), biết a) \(a = 14,\,\,b = 18,\,\,c = 20\); b) \(a = 6,\,\,b = 7,3,\,\,c = 4,8\); c) \(a = 4,\,\,b = 5,\,\,c = 7\) Hướng dẫn trả lời a) Áp dụng định lí cosin ta có \(\eqalign{ & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{{18}^2} + {{20}^2} - {{14}^2}} \over {2.18.20}} \approx 0,73 \cr & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{{14}^2} + {{20}^2} - {{18}^2}} \over {2.14.20}} \approx 0,49 \cr & \Rightarrow \,\,\,\widehat A \approx {43^0}\,\,,\,\,\widehat B \approx {61^0}\,,\,\,\widehat C \approx {76^0}. \cr} \) b) Áp dụng định lí cosin ta có \(\eqalign{ & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{{(7,3)}^2} + {{(4,8)}^2} - {6^2}} \over {2.(7,3).(4.8)}} \approx 0,58 \cr & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{6^2} + {{(4,8)}^2} - {{(7,3)}^2}} \over {2.6.(4,8)}} \approx 0,1 \cr & \Rightarrow \,\,\,\widehat A \approx {55^0}\,\,,\,\,\widehat B \approx {85^0}\,,\,\,\widehat C \approx {40^0}. \cr} \) c) Áp dụng định lí cosin ta có \(\eqalign{ & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{5^2} + {7^2} - {4^2}} \over {2.5.7}} \approx 0,83 \cr & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{4^2} + {7^2} - {5^2}} \over {2.4.7}} \approx 0,71 \cr & \Rightarrow \,\,\,\widehat A \approx {34^0}\,\,,\,\,\widehat B \approx {44^0}\,,\,\,\widehat C \approx {102^0}. \cr} \) Bài 36 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc \({40^0}\). Cường độ của hai lực đó là \(3N\) và \(4N\). Tính cường độ của lực tổng hợp. Hướng dẫn trả lời Theo quy tắc hình bình hành, ta vẽ hình bình hành \(AOBC\) thì \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \). Ta có \(\widehat {OBC} = {180^0} - {40^0} = {140^0}\) (Theo tính chất hình bình hành) Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(OBC\). Ta có \(\eqalign{ & O{C^2} = O{B^2} + B{C^2} - 2OB.BC.\cos \widehat {OBC} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.\cos {140^0} \approx 43,4 \cr & \Rightarrow \,\,OC \approx 6,6 \cr} \) Vậy cường độ của lực tổng hợp là \(6,6N\). Bài 37 trang 67 SGK Hình học 10 nâng cao. Từ vị trí \(A\) người ta quan sát một cây cao (h.61) Biết \(AH = 4\,m,\,HB = 20\,m,\,\widehat {BAC} = {45^0}\). Tính chiều cao của cây. Hướng dẫn trả lời Tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) nên \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {4^2} + {20^2} = 416\) \(\eqalign{ & \Rightarrow AB \approx 20,4 \cr & \tan \widehat {BAH} = {{HB} \over {HA}} = {{20} \over 4} = 5 \cr & \Rightarrow \,\,\,\,\widehat {BAH} \approx 78,{7^0} \cr & \Rightarrow \,\,\,\,\widehat {HAC} \approx 78,{7^0} + {45^0} \approx 123,{7^0} \cr}\) \(\eqalign{ & \widehat {HAB} + \widehat {HBA} = {90^0} \cr & \widehat {ABC} + \widehat {HBA} = {90^0} \cr & \Rightarrow \widehat {HAB} = \widehat {ABC} \cr & \Rightarrow \widehat {BCA} = {180^0} - \widehat {BAC} - \widehat {ABC} = {180^0} - \widehat {HAC} \cr} \) \(\Rightarrow \,\,\,\,\widehat {BCA} \approx {180^0} - 123,{7^0} = 56,{3^0}.\) Ta có \({{BC} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}} = {{AB} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in56,}}{{\rm{3}}^0}}}\) \(\Rightarrow \,\,BC = {{20,4} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in56,}}{{\rm{3}}^0}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0} \approx 17,4\) Vậy cây cao \(17,4\) m. Bài 38 trang 67 SGK Hình học 10 nâng cao. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao \(5 m\). Từ vị trí quan sát \(A\) cao \(7 m\) so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và chân \(C\) của cột ăng-ten dưới góc \({50^0}\) và \({40^0}\) so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà (h.62). Hướng dẫn trả lời Đặt \(CD = x\), ta có \(\eqalign{ & \tan {40^0} = {x \over {AD}}\,\,;\,\,\tan {50^0} = {BD\over {AD}} = {{x + 5} \over {AD}} \cr & \Rightarrow \,\,{{x + 5} \over x} = {{\tan {{50}^0}} \over {\tan {{40}^0}}} \approx 1,42 \cr & \Rightarrow \,\,0,42x = 5 \cr & \Rightarrow \,\,x = 11,9 \cr} \) Vậy chiều cao tòa nhà là \(HC = HD + DC = 7 + 11,9 = 18,9\) m.
