Bài 15 trang 89 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. b) Nếu hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta' \) lần lượt có phương trình \(px + y + m = 0\) và \(x + py + n = 0\) thì: \(cos(\Delta ,\Delta ') = {{2|p|} \over {{p^2} + 1}}.\) c) Trong tam giác ABC ta có \(\cos A = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right).\) d) Nếu \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì \(cos\varphi = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}}.\) e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng Giải Các mệnh đề đúng là: b), c), e). Các mệnh đề sai là: a), d). Bài 16 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm \(A(4; - 1),B( - 3;2),C(1;6)\) . Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC . Giải Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} \left( { - 7;3} \right);\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 3;7} \right) \cr & \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{\left( { - 7} \right).\left( { - 3} \right) + 3.7} \over {\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {7^2}} }}\cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{42} \over {58}} = {{21} \over {29}}. \cr & \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {43^0}36'. \cr} \) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \({43^0}36'\) (Vì góc BAC nhọn). Bài 17 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao. Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng \(ax + by + c = 0\) một khoảng bằng h cho trước. Giải Gọi \(\Delta :ax + by + c = 0\) Đường thẳng \(\Delta '\) song song với đường thẳng \(\Delta \) đã cho có dạng: \(\Delta ':ax + by + c' = 0.\) Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \Delta \) ta có: \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = - c\) Khoảng cách từ M đến \(\Delta '\) bằng h nên ta có: \(\eqalign{ & h = {{|a{x_0} + b{y_0} + c'|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = {{|c' - c|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr&\Rightarrow c' - c = \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & \Rightarrow c' = c \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \) Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán \(ax + by + c + h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0;\) \(ax + by + c - h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0.\) Bài 18 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm \(A(3;0),B( - 5;4)\) và \(P(10;2)\) . Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B. Giải Đường thẳng \(\Delta \) đi qua P có dạng: \(\eqalign{ & a\left( {x - 10} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right) \cr & \Delta :ax + by - 10a - 2b = 0\,\,\,\,\left( * \right) \cr} \) Ta có: \(d\left( {A,\Delta } \right) = d\left( {B,\Delta } \right)\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{|3a + 0.b - 10a - 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} =\cr&\;\;\;\;\; {{| - 5a + 4b - 10a - 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr & \Leftrightarrow |7a + 2b| = |15a - 2b| \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 7a + 2b = 15a - 2b \hfill \cr 7a + 2b = - 15a + 2b \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 8a - 4b = 0 \hfill \cr 22a = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ b = 2a \hfill \cr a = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với b = 2a, chọn a = 1, b = 2 ta có: \(\Delta :x + 2y - 14 = 0\) +) Với a = 0 , chọn b = 1 ta có: \(\Delta :y - 2 = 0.\) Bài 19 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm M(2, 3) . Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho là tam giác vuông cân tại đỉnh M. Giải Giả sử \(A\left( {a;0} \right);B\left( {0;b} \right)\) Ta có: \(\overrightarrow {MA} \left( {a - 2; - 3} \right);\overrightarrow {MB} \left( { - 2;b - 3} \right).\) \(\Delta ABM\) vuông cân tại M \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0 \hfill \cr MA = MB \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2\left( {a - 2} \right) - 3\left( {b - 3} \right) = 0 \hfill \cr {\left( {a - 2} \right)^2} + 9 = 4 + {\left( {b - 3} \right)^2} \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2a + 3b = 13\,\,\,\left( 1 \right)\, \hfill \cr {\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {b - 3} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) Từ (1) suy ra \(b = {{13 - 2a} \over 3}\) thay vào (2) ta được: \(\eqalign{ & {\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {{{13 - 2a} \over 3} - 3} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + 5 = {{{{\left( {4 - 2a} \right)}^2}} \over 9} \cr & \Leftrightarrow 9{a^2} - 36a + 81 = 16 - 16a + 4{a^2} \cr & \Leftrightarrow 5{a^2} - 20a + 65 = 0 \cr} \) Phương trình vô nghiệm. Vậy không tồn tại tam giác ABM vuông cân tại M. Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hai đường thẳng \(\eqalign{ & {\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0 \cr & {\Delta _2}:3x - y + 2 = 0 \cr} \) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm P(3, 1) và cắt lần lượt ở A,B sao cho \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tạo với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) một tam giác cân có cạnh đáy là AB. Giải \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2} \right).\) \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; - 1} \right).\) Giả sử \(\Delta \) qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right);\,\Delta \) cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) ở A và B sao cho tạo với một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _1}\)và góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _2}\) bằng nhau. Do đó: \(\eqalign{ & {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr & \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a - b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a - b| \cr & \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a - b} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0 \cr} \) Chọn \(b = 1\) ta có: \({a^2} - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \) Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán \(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0;\) \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0.\)
