Bài 21 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho phương trình \({x^2} + {y^2} + px + (p - 1)y = 0\) (1) Hỏi trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng? a) (1) là phương trình của một đường tròn. b) (1) là phương trình của một đường tròn đi qua gốc tọa độ. c) (1) là phương trình của một đường tròn có tâm \(J\left( { - {p \over 2}; - {{p - 1} \over 2}} \right)\) và bán kính \(R = {1 \over 2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \) . Giải Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) , với điều kiện: \({a^2} + {b^2} > c\) . Ta có: \(\eqalign{ & 2a = p;\,\,2b = p - 1;\,\,c = 0 \cr & \Rightarrow a = {p \over 2};\,\,b = {{p - 1} \over 2} \cr & {a^2} + {b^2} = {1 \over 4}\left( {2{p^2} - 2p + 1} \right) > 0. \cr} \) Các mệnh đề đúng là: a), b), d). Mệnh đề sai: c). Bài 22 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao. Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau a) (C) có tâm I(1, 3) và đi qua điểm A(3, 1) b) (C) có tâm I(-2, 0) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :2x + y - 1 = 0.\) Giải a) Bán kính đường tròn (C) là: \(IA = \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} = 2\sqrt 2 \) Phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 8\) b) Bán kính của đường tròn (C) là: \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = {{|2.( - 2) + 0 - 1|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = {5 \over {\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \) Phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 5.\) Bài 23 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao. Tìm tâm và bán kính của đường tròn cho bởi mỗi phương trình sau a) \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0;\) b) \({x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 2 = 0;\) c) \(2{x^2} + 2{y^2} - 5x - 4y + 1 + {m^2} = 0.\) Giải a) Ta có: \(a = -1;\,b = -1;\,c = - 2\) \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2} = 2\) Tâm đường tròn là: I(1, 1) bán kính R=2. b) Ta có: \(a = - 2;\,b = - 3;\,c = 2\) \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {{2^2} + {3^2} - 2} = \sqrt {11} \) Đường tròn đã cho có tâm I(2, 3) , bán kính \(R = \sqrt {11} \) c) \(\eqalign{ & 2{x^2} + 2{y^2} - 5x - 4y + 1 + {m^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - {5 \over 2}x - 2y + {{1 + {m^2}} \over 2} = 0 \cr} \) Ta có: \(a = - {5 \over 4};\,b = - 1;\,c = {{1 + {m^2}} \over 2}\) Điều kiện: \({a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {{25} \over {16}} + 1 - {{1 + {m^2}} \over 2} > 0\) \({a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {{25} \over {16}} + 1 - {{1 + {m^2}} \over 2} > 0 \) \(\Leftrightarrow {{33 - 8{m^2}} \over {16}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} < {{33} \over 8} \Leftrightarrow |m| < \sqrt {{{33} \over 8}} \) Với điều kiện \(|m| < \sqrt {{{33} \over 8}} \) thì (C) là đường tròn có tâm \(I\left( {{5 \over 4};1} \right)\) và bán kính \(R = {1 \over 4}\sqrt {33 - 8{m^2}} \) Bài 24 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(M(1; - 2),N(1;2),P(5;2).\) Giải Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\) Do M, N, P thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình với ba ẩn số a, b, c. \(\left\{ \matrix{ 5 + 2a - 4b + c = 0 \hfill \cr 5 + 2a + 4b + c = 0 \hfill \cr 29 + 10a + 4b + c = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - 3 \hfill \cr b = 0 \hfill \cr c = 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + {y^2} - 6x + 1 = 0\) hay \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 8\) Bài 25 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao. a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm b) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1, 1); (1, 4) và tiếp xúc với trục Ox. Giải a) Vì M(2; 1) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên đường tròn cần tìm (C) cũng ở trong góc phần tư thứ nhất. (C) tiếp xúc với Ox và Oy nên (C) có tâm I (a; a) và bán kính R= a ( a > 0 ). Do đó (C) có phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} = {a^2}\) Vì \(M(2;1)\in(C)\) nên \(\eqalign{ & {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - a} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0\,\,(C) \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = 1 \hfill \cr a = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \(a =1\) ta có (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\) +) Với \(a=5\) ta có \((C):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25.\) b) Phương trình đường thẳng Ox: \(y = 0\). Giả sử: \(I (a; b)\) là tâm của đường tròn cần tìm. Ta có: \(R = d\left( {I;{\rm{Ox}}} \right) = |b|\) Phương trình đường tròn có dạng \((C):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {b^2}\) Vì \(\left( {1;1} \right) \in (C)\) và \(\left( {1;4} \right) \in (C)\) nên ta có hệ: \(\left\{ \matrix{ {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(\,1\,) \hfill \cr {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\) Từ hệ trên ta suy ra: \({\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {4 - b} \right)^2}\)\(\Leftrightarrow b = {5 \over 2}.\) Thay \(b = {5 \over 2}\) vào (1) ta được: \(a = 3, a = -1\) Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - {5 \over 3}} \right)^2} = {{25} \over 4};\) \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - {5 \over 2}} \right)^2} = {{25} \over 4}.\) Bài 26 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao. Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 2 + t \hfill \cr} \right.\) và đường tròn (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\) Giải Thay \(x = 1 + 2t;\,y = - 2 + t\) vào phương trình đường tròn ta được: \(\eqalign{ & {\left( {2t} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow 5{t^2} - 8t = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 0 \hfill \cr t = {8 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \(t = 0\) ta có \(x = 1, y = -2\) và có giao điểm \(A(1, -2)\) +) Với \(t = {8 \over 5}\) ta có \(x = {{21} \over 5};\,y = - {2 \over 5}\) và có giao điểm \(B\left( {{{21} \over 5};{{ - 2} \over 5}} \right).\) Bài 27 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\) trong mỗi trường hợp sau a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x - y + 17 = 0;\) b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y - 5 = 0;\) c) Tiếp tuyến đi qua điểm (2, -2) Giải Đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 4\) có tâm O ( 0;0 ) bán kính R = 2. a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x - y + 17 = 0;\) có dạng \(\Delta :3x - y + c = 0.\) Ta có: \(d\left( {O,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt {10} .\) Vậy các tiếp tuyến cần tìm là: \(3x - y - 2\sqrt {10} = 0;\,\,\,3x - y + 2\sqrt {10} = 0.\) b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y - 5 = 0;\) có dạng: \(d:\,2x - y + c = 0.\) Ta có: \(d\left( {O,d} \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt 5 .\) Vậy các tiếp tuyến cần tìm là: \(2x - y - 2\sqrt 5 = 0\,;\,\,\,\,\,2x - y + 2\sqrt 5 = 0.\) Bài 28 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao. Xét vị trí tương đối của đường thẳng \(\Delta \) và đường tròn (C) sau đây \(\eqalign{ & \Delta :3x + y + m = 0, \cr & (C):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 1 = 0. \cr} \) Giải (C) có tâm \(I(2, -1)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - 1} = 2.\) Khoảng cách từ I đến \(\Delta \) là: \(d\left( {I,\Delta } \right) = {{|3.2 - 1 + m|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }}\) +) Nếu \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow |m + 5| > 2\sqrt {10}\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ m < - 5 -2 \sqrt {10} \hfill \cr m > - 5 + 2\sqrt {10} \hfill \cr} \right.\) thì \(\Delta \) và (C) cắt nhau. +) Nếu \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow |5 + m| = 2\sqrt {10} \Leftrightarrow m = - 5 \pm 2\sqrt {10} \) thì \(\Delta \) và (C) tiếp xúc. +) Nếu \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} < 2 \Leftrightarrow |5 + m| < 2\sqrt {10} \) \(\Leftrightarrow - 5 - 2\sqrt {10} < m < - 5 + 2\sqrt {10} \) thì \(\Delta \) và (C) không cắt nhau. Bài 29 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao. Tìm tọa độ các giao điểm của hai đường tròn sau đây \(\eqalign{ & (C):{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 1 = 0, \cr & (C'):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0. \cr} \) Giải \(\eqalign{ & (C):{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 1 = 0\,\,\,\,(\,1\,) \cr & (C'):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0\,\,\,(2) \cr} \) Lấy (1) trừ (2) ta được \(4x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = - {3 \over 2}.\) Thay \(x = - {3 \over 2}\) vào (1) ta được: \({9 \over 4} + {y^2} - 3 + 2y - 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} + 2y - {7 \over 4} = 0\) \(\Leftrightarrow y = - 1 \pm {{\sqrt {11} } \over 2}\) Tọa độ hai giao điểm của (C) và (C’) là: \(\left( { - {3 \over 2}; - 1 - {{\sqrt {11} } \over 2}} \right);\,\,\,\left( { - {3 \over 2}; - 1 + {{\sqrt {11} } \over 2}} \right)\)
