Bài 42 trang 112 SGK Hình học 10 Nâng cao. a) \({y^2} = - 2x\) là phương trình chính tắc của parabol. b) \(y = {x^2}\) là phương trình chính tắc của parabol. c) Parabol \((P):{y^2} = 2x\) có tiêu điểm F(5, 0) và có đường chuẩn \(\Delta :x + 0,5 = 0.\) d) Parabol \({y^2} = 2px(p > 0)\) có tiêu điểm F(p, 0) và có đường chuẩn \(\Delta :x + p = 0.\) Giải Mệnh đề đúng: c) Các mệnh đề sai: a), b), d). Bài 43 trang 112 SGK Hình học 10 Nâng cao. Viết phương trình chính tắc của parabol (P) trong mỗi trường hợp sau a) (P) có tiêu điểm F(3, 0) b) (P) đi qua điểm M(1, -1) c) (P) có tham số tiêu là \(p = {1 \over 3}.\) Giải a) Ta có: \({p \over 2} = 3 \Rightarrow p = 6\) Phương trình chính tắc của (P) là: \({y^2} = 12x.\) b) Giả sử \((P):{y^2} = 2px\,(p > 0)\) \(M\left( {1; - 1} \right) \in \left( P \right)\) nên \({\left( { - 1} \right)^2} = 2p .1 \Rightarrow p = {1 \over 2}\) Vậy \(\left( P \right):{y^2} = x.\) c) Phương trình \(\left( P \right):{y^2} = {2 \over 3}x.\) Bài 44 trang 112 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho parabol \({y^2} = 2px.\) Tìm độ dài dây cung của parabol vuông góc với trục đối xứng tại tiêu điểm của parabol (dây cung của parabol là đoạn thẳng nối hai điểm của parabol). Giải Ta có: \(F\left( {{p \over 2};0} \right)\) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ \(x = {p \over 2}\) thay \(x = {p \over 2}\) vào phương trình của (P) ta được: \({y^2} = 2p.{p \over 2} = {p^2} \Rightarrow y = \pm p\) Vậy \(M\left( {{p \over 2};p} \right)\) và \(N\left( {{p \over 2}; - p} \right) \Rightarrow MN = 2p.\) Bài 45 trang 112 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho dây cung AB đi qua tiêu điểm của parabol (P). Chứng minh rằng khoảng cách từ trung điểm I của dây AB đến đường chuẩn của (P) bằng \({1 \over 2}AB\) . Từ đó có nhận xét gì về đường tròn đường kính AB? Giải Gọi \(A',B',I'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B,I lên đường chuẩn \(\Delta \) Theo định nghĩa parabol ta có: \(AA' = AF\) và \(BB' = BF\) \(\eqalign{ & \Rightarrow AB = AF+ FB = AA' + BB' = 2II' \cr & \Rightarrow II' = d\left( {I,\Delta } \right) = {{AB} \over 2}. \cr} \) Từ đó suy ra đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường chuẩn. Bài 46 trang 112 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phằng tọa độ Oxy cho điểm F(1, -2). Tìm hệ thức giữa x,y để điểm M (x, y) cách đều điểm F và trục hoành. Giải Phương trình đường thẳng Ox là: \(y=0\) Ta có: \(MF = d\left( {M,Ox} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} = |y|\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 4y + 4 = {y^2}\) \(\Leftrightarrow y = - {1 \over 4}{x^2} + {1 \over 2}x - {5 \over 4}.\)
