Bài 1 trang 119 sgk Hình học 11. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a) Đường thẳng \(∆\) là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng \(a\) và \(b\) nếu \(∆\) vuông góc với \(a\) và \(∆\) vuông góc với \(b\); b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng \(a, b\) chéo nhau. Khi đó đường vuông góc chung \(∆\) của \(a\) và \(b\) luôn luôn vuông góc với \((P)\); c) Gọi \(∆\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) thì \(∆\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((a, ∆)\) và \((b, ∆)\); d) Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Đường thẳng nào đi qua một điểm \(M\) trên \(a\) đồng thời cắt \(b\) tại \(N\) và vuông góc với \(b\) thì đó là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\); e) Đường vuông góc chung \(∆\) của hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia. Giải a) Sai; b)Đúng; c) Đúng; d) Sai; e) Sai. Bài 2 trang 119 sgk hình học 11. Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\). a) Chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy. b) Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\). c) Xác định đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\). Giải a) Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\). \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\) (1) \(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\( \Rightarrow BC ⊥ SE\). \(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\). b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\) \(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\) nên \(BD\bot SC\) (*) \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(BF\bot AC\) (3) \(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BF\) (4) Từ (3) và (4) suy ra \(BF\bot (SAC)\Rightarrow BF\bot SC\) (2*) Từ (*) và (2*) suy ra \(SC\bot (BDF) \equiv (BHK)\). c) \(AE\bot BC\) và \(SA\bot AE\Rightarrow AE\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\). Bài 3 trang 119 sgk Hình học 11. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm \(B, C, D, A', B', D'\) đến đường chéo \(AC'\) đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó. Giải (H.3.64) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(B\) trên \(AC'\). Xét tam giác \(ABC'\) vuông tại \(B\), ta có: \(\frac{1}{BK^{2}}=\frac{1}{BA^{2}}+\frac{1}{BC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(a\sqrt{2})^{2}}=\frac{3}{2a^{2}}\) \(\Rightarrow BK=\frac{a\sqrt{6}}{3}.\) Ta có: \(\Delta ABC' = \Delta C'CA = \Delta ADC' = \Delta AA'C' = \Delta C'B'A = \Delta C'D'A(c.g.c)\) Do đó khoảng cách từ \(B, C, D, A', B', D'\) tới \(AC'\) đều bằng \( \frac{a\sqrt{6}}{3}\) vì chúng đều là chiều cao của các tam giác vuông bằng nhau. Bài 4 trang 119 sgk Hình học 11. Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a, BC= b, CC' = c\). a) Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \((ACC'A')\). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(AC'\). Giải (H.3.65) a) Trong \((ABCD)\) kẻ \(BH\) vuông góc với \(AC\) (1) \(CC'\bot (ABCD)\Rightarrow CC'\bot BH\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(BH\bot (ACC'A')\). \(BH\) là đường cao trong tam giác vuông \(ABC\) nên ta có: \({1 \over {B{H^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {B{C^2}}}\) \(\Rightarrow BH=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.\) b) \(AC'\subset (ACC'A')\), mà \(BB' // (ACC'A')\) \(\Rightarrow d(BB', AC') = d(B,(ACC'A'))=BH=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.\) (Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) bằng khoảng cách giữa \(a\) và \(mp (P)\) chứa \(b\) đồng thời song song với \(a\)). Bài 5 trang 119 sgk Hình học 11. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). a) Chứng minh rằng \(B'D\) vuông góc với mặt phẳng \((BA'C')\). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((BA'C')\) và \((ACD')\). c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\). Giải (H.3.66) a) Có \(B'A' = B'B = B'C' \Rightarrow B'\) thuộc trục của tam giác \(A'BC'\). (1) \(DA' = DB = DC'\) (đường chéo các hình vuông bằng nhau) \(\Rightarrow D\) cũng thuộc trục của tam giác \(A'BC' \) (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B'D\) vuông góc với \((BA'C')\). b) Chứng minh tương tự ta được \(B'D\bot (ACD')\) Hai mặt phẳng \((BA'C')\) và \((ACD')\) cùng vuông góc với \(B'D\) (tại \(G\) và \(H\)) nên chúng song song với nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \(GH\). Ta có: \(O'G//D'H\), \(O'\) là trung điểm của \(B'D'\) nên theo định lí Ta lét thì \(G\) là trung điểm của \(B'H\) hay \(GB'=GH\) (3) \(OH//GB\), \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên theo định lí Ta lét thì \(H\) là trung điểm của \(DG\) hay \(HG=HD\) (4) Từ (3) và (4) suy ra: \(GH=\frac{B'D}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) c) \(BC' ⊂ (BA'C')\); \(CD' ⊂ (ACD')\), mà hai mặt phẳng này song song Do đó, \(d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \frac{a\sqrt{3}}{3}.\) (Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó). Bài 6 trang 119 sgk Hình học 11. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện \(ABCD\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\) thì \(AC = BD\) và \(AD = BC\). Giải (H.3.67) Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(d // CD\), lấy trên \(d\) điểm \(E, F\) sao cho \(IE = IF = \frac{CD}{2}\) (\(I\) là trung điểm của \(EF\)). \(IJ\) vuông góc với \(CD\) \(\Rightarrow IJ\) vuông góc với \(EF\), mà \(IJ\) cũng vuông góc với \(AB\Rightarrow IJ \bot (AEBF)\). Ta có \(CDFE\) là hình bình hành có \(IJ\) là đường trung bình Do đó \(CE\) và \(DF\) cùng song song với \(IJ\) Suy ra \(CE\) và \(DF\) cùng vuông góc với mp \((AEBF)\) \(\Rightarrow DF ⊥ AF, CE ⊥ IE\). \(\Delta AIF = \Delta BIE(c.g.c)\) suy ra: \(AF=BE\) Xét \(∆DFA\) và \(∆CEB\) có: +) \(\widehat E = \widehat F( = {90^0})\) +) \(AF=BE\) +) \(DF=CE\) \(\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c)\) \(\Rightarrow AD = BC\). Chứng minh tương tự ta được \(BD = AC\). Bài 7 trang 120 sgk Hình học 11. Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(3a\), cạnh bên bằng \(2a\). Tính khoảng cách từ \(S\) tới mặt đáy \((ABC)\). Giải (H.3.68) Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). \(d(S,(ABC))=SH\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\). Tam giác \(ABC\) đều nên \(AN={{3a\sqrt 3 } \over 2}\) \(AH={2 \over 3}AN = a\sqrt 3 \) Áp dung định lí Pytago vào tam giác vuông \(SAH\) ta có: \(S{A^2} = S{H^2} + A{H^2}\) \(SH = \sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4a^{2}-(a\sqrt{3})^{2}}=a.\) Vậy khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABC)\) bằng \(a\). Bài 8 trang 120 sgk Hình học 11. Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện. Giải (H.3.69) Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\), \(\Delta BAC = \Delta BDC(c.c.c)\) \( \Rightarrow AN = DN\) (hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Tam giác \(AND\) cân tại \(N\), nên \(MN\) vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó \(MN\bot AD\) (1) Chứng minh tương tự ta được: \(MN\bot BC\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(MN\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(AD\) Tam giác \(ABC\) đều nên \(AN={{a\sqrt 3 } \over 2}\) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AMN\) ta có: \(A{N^2} = M{N^2} + A{M^2}\) \(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)
