Câu 1 trang 120 SGK Hình học 11. Nhắc lại định nghĩa vecto trong không gian. Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\). Hãy kể tên những vecto bằng vecto \(\overrightarrow {AA'} \) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ. Trả lời: Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có định hướng, tức là một đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối. Vì các cạnh bên của hình lăng trụ là các đoạn thẳng song song và bằng nhau nên các vecto bằng vecto \(\overrightarrow {AA'} \) và có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ là: \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) Câu 2 trang 120 SGK Hình học 11. Trong không gian cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ;\overrightarrow c \) đều khác vecto \(\overrightarrow 0 \) . Khi nào ba vecto đó đồng phẳng? Trả lời: Ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ;\overrightarrow c \) đều khác vecto \(\overrightarrow 0 \) đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số \(m, n\) duy nhất sao cho: \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \) Câu 3 trang 120 SGK Hình học 11. Trong không gian, hai đường thẳng không cắt nhau có thể vuông góc với nhau không? Giả sử hai đường thẳng \(a\) và \(b\) lần lượt có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) . Khi nào ta có thể kết luận \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau? Trả lời: Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau không nhất thiết phải cắt nhau. Vì vậy hai đường thẳng không cắt nhau vẫn có thể vuông góc với nhau. Đường thẳng \(a\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \) Đường thẳng \(b\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow v \) \(a\) vuông góc với \(b\) khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng không. \(a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\) Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11. Muốn chứng minh đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \((α)\) thì người ta cần chứng minh \(a\) vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng \(α\) hay không? Trả lời: Muốn chứng minh đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \((α)\) thì người ta chỉ cần chứng minh \(a\) vuông góc với hai đường thẳng giao nhau của mặt phẳng \((α)\), lúc đó thì \(a ⊥( α)\) \(\left\{ \matrix{ a \bot b,b \subset (\alpha ) \hfill \cr a \bot c,c \subset (\alpha ) \hfill \cr b \cap c \hfill \cr} \right. \Rightarrow a \bot (\alpha )\) Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11. Hãy nhắc lại nội dung của định lí ba đường vuông góc Trả lời: Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \((α)\) và \(b\) là đường thẳng không thuộc \((α)\) đồng thời không vuông góc với \((α)\). Gọi \(b’ \) là hình chiếu của \(b\) trên \((α)\). Khi đó \(a\) vuông góc với \(b\) khi và chỉ khi \(a\) vuông góc với \(b’\). Câu 6 trang 120 SGK Hình học 11. Nhắc lại định nghĩa: a) góc giữa đường thẳng và mặt phẳng b) góc giữa hai mặt phẳng Trả lời: a) góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa: Cho đường thẳng \(d\) cắt mặt phẳng \((α)\) tại điểm \(O\) và không vuông góc với \((α)\). Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\) là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu vuông góc \(d’\) của \(d\) trên mp \((α)\). b) Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa: giả sử hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) cắt nhau theo giao tuyến \(c\). Từ điểm \(I\) bất kì trên \(c\), trong mặt phẳng \((α)\) ta dựng đường thẳng \(a\) vuông góc với \(c\) và trong mặt phẳng \((β)\) ta dựng đường thẳng \(b\) vuông góc với \(c\). Ta gọi góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) là góc giữa hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\). Chú ý: góc giữa hai mặt phẳng luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng \(90^0\). Câu 7 trang 120 SGK Hình học 11. Muốn chứng minh mặt phẳng \((α)\) vuông góc với mặt phẳng \((β)\) người ta thường làm như thế nào? Trả lời: Muốn chứng minh mặt phẳng \((α)\) vuông góc với mặt phẳng \((β)\), ta có thể: _ Chứng minh \((α)\) chứa một đường thẳng vuông góc với \((β)\) hoặc \((β)\) chứa một đường thẳng vuông góc với \((α)\) \(\left\{ \matrix{ d \subset (\alpha ) \hfill \cr d \bot (\beta ) \hfill \cr} \right. \Rightarrow (\alpha ) \bot (\beta )\) _ Hoặc chứng minh góc giữa \((α)\) và \((β)\) bằng \(90^0\). Câu 8 trang 120 SGK Hình học 11. Hãy nêu cách tính khoảng cách: a) Từ một điểm đến một đường thẳng b) Từ đường thẳng \(a\) đến mặt phẳng \((α)\) song song với \(a\) c) giữa hai mặt phẳng song song. Trả lời: a) Để tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(Δ\) không đi qua \(O\), ta xác định mặt phẳng \((O,Δ)\) và trong mặt phẳng này kẻ \(OH ⊥ Δ\). Độ dài \(OH\) chính là khoảng cách từ \(O\) đến \(Δ\). b) Để tính khoảng cách giữa đường thẳng \(a\) và mp \((P)\) song song với \(a\), ta lấy một điểm \(M\) bất kì thuộc đường thẳng \(a\). Khoảng cách \(MH\) từ điểm \(M\) đến mp \((P)\) chính là khoảng cách giữa đường thẳng \(a\) với mp \((P)\) song song với \(a\). c) Để tìm khoảng cách giữa hai mp \((P)\) và \((P’)\) song song với nhau, ta lấy một điểm \(M\) thuộc \((P)\) và tìm khoảng cách \(MH\) từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((P’)\) Câu 9 trang 120 SGK Hình học 11. Cho \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau. Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách nào? Trả lời: _ Dựng mặt phẳng \((P)\) qua \(a\) và song song với \(b\) _ Tìm khoảng cách từ một điểm \(M\) thuộc \(b\) đến mặt phẳng \((P)\). Câu 10 trang 120 SGK Hình học 11. Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác \(ABC\) là đường vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Trả lời: Lấy một điểm \(M\) bất kì trong không gian sao cho \(MA = MB = MC\). Từ \(M\) kẻ \(MO\) vuông góc với \((ABC)\). Các tam giác vuông \(MOA\), \(MOB\), \(MOC\) bằng nhau, suy ra \(OA = OB = OC\). Do đó \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Vậy các điểm \(M\) cách đều ba đỉnh của tam giác \(ABC\) nằm trên đường thẳng \(d\) đi qua tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Ngược lại, lấy một điểm \(M’ ∈ d\), nối \(M’A, M’B, M’C\), Do \(M’O\) chung và \(OA = OB = OC\) nên các tam giác vuông \(M’OA, M’OB, M’OC\) bằng nhau, suy ra \(M’A = M’B = M’C\), Tức là điểm \(M’\) cách đều ba đỉnh \(A, B, C\) của tam giác \(ABC\). Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác \(ABC\) là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Câu 1 trang 121 SGK Hình học 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song c) Mặt phẳng \((α)\) vuông góc với đường thẳng \(b\) mà \(b\) vuông góc với đường thẳng \(a\), thì \(a\) song song với \((α)\) d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song. e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song. Trả lời: Câu a đúng \(\left\{ \matrix{ a \bot (P) \hfill \cr b \bot (P) \hfill \cr} \right. \Rightarrow a//b\) Câu b đúng \(\left\{ \matrix{ (P) \bot a \hfill \cr (Q) \bot a \hfill \cr} \right. \Rightarrow (P)//(Q)\) Câu c) sai: Vì \(a\) có thể thuộc mp \((α)\) Câu d) sai: Hai mp \((α)\) và \((β)\) cùng vuông góc với mp \((P)\) thì \((α)\) và \((β)\) vẫn có thể cắt nhau và trong trường hợp này thì giao tuyến của \((α)\) và \((β)\) vuông góc với mp \((P)\). Câu e) sai: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì có thể không cùng thuộc một mặt phẳng, khi đó chúng cắt nhau. Câu 2 trang 121 SGK Hình học 11. Trong các khẳng định sau đây, điều nào đúng? a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại. b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước. c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước. d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Trả lời: Câu a) đúng: Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c) Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau) Câu b) sai: Qua một điểm, ta có thể vẽ được vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Câu c) sai: Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng, ta phải nói: “Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho". Câu d) sai: Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường thẳng ấy. Câu 3 trang 121 SGK Hình học 11. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh \(SA\) bằng \(a\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). a) Chứng minh rằng bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Mặt phẳng \((α)\) đi qua \(A\) và vuông góc với cạnh \(SC\) lần lượt cắt \(SB, SC\) và \(SD\) tại \(B’, C’\) và \(D’\). Chứng minh \(B’D’\) song song với \(BD\) và \(AB’\) vuông góc với \(SB\). Trả lời: a) \(SA ⊥(ABCD)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(mp(ABCD)\) \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC ⊥AB\). Ta có: \(\left. \matrix{ SA \bot (ABCD) \hfill \cr BC \bot AB \hfill \cr} \right\}\) \(⇒ SB⊥BC\) (theo định lí ba đường vuông góc) \(⇒ Δ SBC\) là tam giác vuông tại \( B\) Chứng minh tương tự \(ΔSDA\) vuông tại \(D\) \(SA ⊥(ABCD) ⇒ SA ⊥ AB ⇒ Δ SAB\) vuông tại \(A\) \(SA\bot AD\)\( ⇒ Δ SAD\) vuông tại \(A\) b) \(\left. \matrix{ SA \bot DB \hfill \cr AC \bot BD \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot (SAC)\) (1) Ta lại có: \(\eqalign{ & \left. \matrix{ BC \bot SB \hfill \cr BC \bot AB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot (SAB);AB' \subset (SAB)(2) \cr & \Rightarrow AB' \bot BC \cr & \left. \matrix{ AB' \subset (\alpha ) \hfill \cr SC \bot (\alpha ) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB' \bot SC(3) \cr} \) Chứng minh tương tự ta có: \(AD’⊥SC\) Hai tam giác vuông \(SAB\) và \(SAD\) bằng nhau mà \(AB’\) và \(AD’\) là các đường cao tương ứng nên \(AD’= AB’\) (4) Ta cũng có: \(SB’=SD’\); \(ΔBSC = Δ DSC\) \(⇒ \widehat{ BSC} = \widehat{ CSD}\) Do đó \(ΔB'SC' = Δ D'SC'\) Từ đây suy ra: \(C’D’ = C’B’\) (5) Từ (4) và (5) suy ra \(A\) và \(C’\) nằm trên đường trung trực của \(D’B’\) do đó \(D’B’⊥ AC’\) (6) Mặt khác: \(SC⊥(α)\); \(D’B’⊂ (α)\) \( ⇒ SC⊥D’B’\) (7) Từ (6) và (7) suy ra: \(D’B’⊥(SAC)\) (8) Từ (1) và (8) ta thấy rằng \(DB\) và \(D’B’\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\) nên \(D’B’//DB\) Ta có: \(\left. \matrix{ AB' \bot BC \hfill \cr AB' \bot SC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SB\) Câu 4 trang 121 SGK Hình học 11. Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và có góc \(\widehat{ BAD} = 60^0\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = {{3a} \over 4}\) . Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn \(BC\) và \(F\) là trung điểm của đoạn \(BE\). a) Chứng minh mặt phẳng \( (SOF)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\) b) Tính các khoảng cách từ \(O\) và \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) Trả lời: a) Theo giả thiết \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên theo tính chất của hình thoi \(\widehat{ BCD} = 60^0\) hay tam giác \(BDC\) đều. Xét tam giác \(BOE\) có \(BO=BE={a\over 2}\) và \(\widehat{ OBE} = 60^0\) nên tam giác \(BOE\) đều Do đó \(OF\) là đường cao và ta được \(OF ⊥BC\). \(\left. \matrix{ SO \bot (ABCD) \hfill \cr {\rm{OF}} \bot {\rm{BC}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SF \bot BC\) (Định lí 3 đường vuông góc) \(\left. \matrix{ SF \bot BC \hfill \cr {\rm{OF}} \bot {\rm{BC}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot (SOF)\) Mà \(BC ⊂ (SBC)\) Suy ra \((SOF) ⊥ (SBC)\) b) Vì \((SOF) ⊥ (SBC)\) và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \(SF\) nên nếu từ điểm \(O\) ta kẻ \(OH⊥SF\) thì \(OH⊥(SBC)\) và \(OH\) chính là khoảng cách từ \(O\) đến \((SBC)\) Ta có: \(\eqalign{ & SO = {{3a} \over 4}{\rm{;OF = }}{{a\sqrt 3 } \over 4} \Rightarrow SF = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr & OH.SF = SO.{\rm{OF}} \Rightarrow {\rm{OH = }}{{3a} \over 8} \cr} \) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên \((SBC)\), ta có \(AK//OH\) Trong \(ΔAKC\) thì \(OH\) là đường trung bình, do đó: \(AK = 2OH \Rightarrow AK = {{3a} \over 4}\) Câu 5 trang 121 SGK Hình học 11. Tứ diện \(ABCD\) có hai mặt \(ABC\) và \(ADC\) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a, AC = b\). Tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) có \(CD = a\). a) Chứng minh các tam giác \(BAD\) và \(BDC\) đều là tam giác vuông b) Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh \(IK\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\). Trả lời: ' a) \((ABC) ⊥ (ADC)\) mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \(AC\). Ta lại có \(BA ⊂ (ABC)\) và \(BA⊥ AC\) nên \(BA⊥(ADC)\) \(BA⊥(ADC) ⇒ BA⊥AD ⇒ ΔBAD\) vuông tại \(A\) \(\left. \matrix{ BA \bot (ADC) \hfill \cr AD \bot DC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BD \bot DC\) (Định lí 3 đường vuông góc) \(⇒ ΔBDC\) vuông tại \(D\) b) Gọi \(J\) là trung điểm của \(AC\) Ta có \(KJ//BA\) Mà \(BA⊥(ADC) ⇒ KJ ⊥(ADC)\) \( ⇒ KJ ⊥ AD\) (1) Ta cũng có \(IJ//DC ⇒ IJ ⊥ AD\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(AD⊥(KIJ)\) \(⇒ AD ⊥ IK\) Ta lại có: \(ΔBAI = ΔCDI ⇒ IB = IC\) \(⇒ ΔBIC\) cân đỉnh \(I ⇒ IK ⊥ BC\) (4) Từ (3) và (4) suy ra \(IK\) là đoạn vuông góc chung của \(AD\) và \(BC\). Câu 6 trang 122 SGK Hình học 11. Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh \(a\). a) Chứng minh \(BC’\) vuông góc với mặt phẳng \((A’B’C’D)\) b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của \(AB’\) và \(BC’\) Trả lời: a) Ta có tứ giác \(BCC'B’\) là hình vuông nên \(BC’ ⊥ B’C\) (1) Mặt khác \(A’B’ ⊥ (BCC’B’)\) \(⇒ A’B’ ⊥ BC’\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(BC’⊥ (A’B’C’D')\) b) Do \(AD’//BC’\) nên mặt phẳng \((AB’D’)\) là mặt phẳng chứa \(AB’\) và song song với \(BC’\). Ta tìm hình chiếu của \(BC’\) trên \(mp (AB’D’)\) Gọi \(E, F\) là tâm của các mặt bên \(ADD'A’\) và \(BCC'B’\) Từ \(F\) kẻ \(FI ⊥ B’E\). Ta có \(BC’ //AD'\) mà \(BC’ ⊥ (A’B’CD)\) \(⇒ AD’ ⊥ (A’B’CD)\) và \(IF ⊂(A’B’CD)\) \(AD’ ⊥ IF\) (3) \(EB’⊥IF\) (4) Từ (3) và (4) suy ra : \(IF ⊥ (AB’D’)\) Vậy \(I\) là hình chiếu của \(F\) trên \(mp (AB’D’)\). Qua \(I\) ta dựng đường thẳng song song với \(BC’\) thì đường thẳng này chính là hình chiếu của \(BC’\) trên mp \((AB’D’)\) Đường thẳng qua \(I\) song song với \(BC’\) cắt \(AB’\) tại \(K\). Qua \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(IF\), đường này cắt \(BC’\) tại \(H\). \(KH\) chính là đường vuông góc chung của \(AB’\) và \(BC’\). Thật vậy: \({\rm{IF}} \bot (AB'D')\) \(\Rightarrow IF ⊥ AB'\) và \(KH // IF\) suy ra \(KH ⊥ AB'\) \(\left. \matrix{ BC' \bot (A'B'CD) \hfill \cr {\rm{IF}} \subset {\rm{(A'B'CD)}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{ {\rm{IF}} \bot {\rm{BC'}} \hfill \cr {\rm{KH//IF}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow KH \bot BC'\) Tam giác \(EFB’\) vuông góc tại \(F\), \(FI\) là đường cao thuộc cạnh huyền nên \({1 \over {I{F^2}}} = {1 \over {FB{'^2}}} + {1 \over {F{E^2}}}\) với \(\left\{ \matrix{ FB' = {{a\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr {\rm{EF = a}} \hfill \cr} \right.\) Ta tính ra: \({\rm{IF}} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow KH = {\rm{IF = }}{{a\sqrt 3 } \over 3}\) Câu 7 trang 122 SGK Hình học 11. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^0\) và \(SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\) a) Tính khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) và độ dài cạnh \(SC\) b) Chứng minh mặt phẳng \((SAC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) c) Chứng minh \(SB\) vuông góc với \(BC\) d) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\). Tính \(\tan\varphi\) Trả lời: a) Kẻ \(SH⊥(ABCD)\) Do \(SA = SB = SD\) suy ra \(HA = HB = HC\) \(⇒ H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\). Do \(AB = AD = a\) và \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên tam giác \(ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\), Ta có: \(\eqalign{ & AO = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr & AH = {2 \over 3}AO \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr} \) Trong tam giác vuông \(SAH\), ta có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\) Tính ra: \(SH = {{a\sqrt {15} } \over 6}\) Ta cũng có: \(HC = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\) Trong tam giác vuông \(SHC\): \(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\) Do đó ta tính được: \(SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\) b) \(\left. \matrix{ SH \bot (ABCD) \hfill \cr SH \subset (SAC) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (SAC) \bot (ABCD)\) c) Ta có: \(\eqalign{ & S{C^2} = {{7{a^2}} \over 4}(1) \cr & B{C^2} = {a^2}(2) \cr & S{B^2} = {{3{a^2}} \over 4}(3) \cr} \) Từ (1), (2) và (3) ta có: \(S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\) Theo định lí Pytago đảo, tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\). d) Ta có: \(\eqalign{ & \left. \matrix{ DB \bot AC \hfill \cr SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot (SAC) \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr {\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \) Suy ra: \(\widehat{ SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\) Ta có: \(\eqalign{ & \widehat{ SOH} = \varphi \cr & \tan \varphi = {{SH} \over {OH}} \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt 5 \cr} \)
Câu 1 trang 122 SGK Hình học 11. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? (A) Từ \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \) ta suy ra \(\overrightarrow {BA} = - 3\overrightarrow {CA} \) (B) Từ \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \) ta suy ra \(\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {AC} \) (C) Vì \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \) nên bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) cùng thuộc một mặt phẳng (D) Nếu \(\overrightarrow {AB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \) thì \(B\) là trung điểm của đoạn \(AC\) Trả lời: a) Vì \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} \hfill \cr \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {CA} \hfill \cr} \right.\) nên từ: \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \) ta suy ra \(\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {CA} \) Vậy a) là sai b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = - 4\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {CB} = - 4\overrightarrow {AC} \) Vậy b) sai c) \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \): Đẳng thức nàu chứng tỏ ba vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) đồng phẳng, tức là 4 điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trong một mặt phẳng. Vậy c) đúng d) \(\overrightarrow {AB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BA} = {1 \over 2}BC\) Điều này chứng tỏ hai vecto \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} \) cùng phương, do đó điểm B nằm ngoài đoạn thẳng \(AC\), \(B\) không là trung điểm của \(AC\) Vậy d) sai Kết quả: trong bốn mệnh đề trên, chỉ có c) đúng. Câu 2 trang 122 SGK Hình học 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A. Vì \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow 0 \) nên \(N\) là trung điểm của đoạn \(MP\) B. Vì \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\) nên từ một điểm \(O\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {OI} = {1 \over 2}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {ON} )\) C. Từ hệ thức \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} - 8\overrightarrow {AD} \) ta suy ra ba vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) đồng phẳng D. Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = 0\) nên bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một mặt phẳng. Trả lời: (A) Mệnh đề A đúng vì \(N\) là trung điểm của đoạn \(MP\) là: \(\overrightarrow {NM} = - \overrightarrow {NP} \Rightarrow \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = 0\) (B) Mệnh đề B đúng \(\eqalign{ & \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AI} \cr & \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BI} \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + (\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} ) \cr} \) \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì: \(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \) (C) Mệnh đề C đúng (xem định lí 1 – bài 1- chương 3) (D) Mệnh đề D là sai Vậy chọn D Câu 3 trang 123 SGK Hình học 11. Trong các mệnh đề sau, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\) có cạnh bằng \(a\) và \(O\) là trung điểm của \(AG\), ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} \) bằng : A. \(a^2\) B. \( a^2\sqrt 2\) C. \(a^2\sqrt3\) D. \({{{a^2}\sqrt 2 } \over 2}\) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {EF} .\overrightarrow {EG} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {EG} |.cos{45^0} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = a.a\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = {a^2} \cr} \) Vậy A đúng. Câu 4 trang 123 SGK Hình học 11. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(b\) và đường thẳng \(b\) vuông góc với đường thẳng \(c\) thì \(a\) vuông góc với \(c\) B. Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(b\) và đường thẳng \(b\) song song với đường thẳng \(c\) thì \(a\) vuông góc với \(c\). C. Cho ba đường thẳng \(a, b\) và \(c\) vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng \(d\) vuông góc với \(a\) thì \(d\) song song với \(b\) hoặc \(c\). D. Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) song song với nhau. Nếu đường thẳng \(c\) vuông góc với \(a\) thì \(c\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((a, b)\) Trả lời: (A) sai (B) đúng vì \(c\) và \(b\) song song với nhau nên góc giữa \(a\) và \(c\) bằng góc giữa \(a\) và \(b\). Mà \(a ⊥ b ⇒ a ⊥ c\). (C) sai (D) sai. Câu 5 trang 123 SGK Hình học 11. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng. (A) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. (B) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. (C) Hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến \(d\). Với mỗi điểm \(A\) thuộc \((α)\) và mỗi điểm \(B\) thuộc \((β)\) thì ta có đường thẳng \(AB\) vuông góc với đường thẳng \(d\). (D)Nếu hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) đều vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến \(d\) của \((α)\) và \((β)\) nếu sẽ vuông góc với \(d\) Trả lời: (A) Sai, vì mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vẫn có thể cắt nhau. (B) Hai mặt phẳng này vuông góc với nhau thì chỉ có những đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì mới vuông góc với mặt phẳng kia. Vậy (B) sai (C) sai (D) Đúng. Chọn D Câu 6 trang 123 SGK Hình học 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: (A) Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian có các vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) . Điều kiện cần và đủ để \(a\) và \(b\) chéo nhau là \(a\) và \(b\) không có điểm chung và hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) không cùng phương. (B) Gọi \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đường thẳng vuông góc chung của \(a\) và \(b\) nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia. (C) Không thể có một hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) này có hai mặt bên \((SAB)\) và \((SCD)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. (D) Gọi \(\left\{ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right\}\) là cặp vecto chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \((α)\) và là vecto chỉ phương của đường thẳng \(Δ\). Điều kiện cần và đủ để \(Δ ⊥ (α)\) là: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {n.} \overrightarrow u = 0 \hfill \cr \overrightarrow {n.} \overrightarrow v = 0 \hfill \cr} \right.\) Trả lời: (A) Từ giả thiết \(a\) và \(b\) không có điểm chung và các vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) của chúng không cùng phương, ta suy ra hai đường thẳng \(a, b\) không đồng phẳng vì chúng không trùng nhau, không cắt nhau, không song song với nhau. Vậy \(a\) và \(b\) chéo nhau. Ngược lại nếu \(a\) và \(b\) chéo nhau thì rõ ràng \(a\) và \(b\) không có điểm chung và \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) không cùng phương. Mệnh đề (A) đúng. (B) \(a\) và \(b\) có đường vuông góc chung là \(c\), \(a ⊥ b\). Ta có: \(\left. \matrix{ a \bot b \hfill \cr a \bot c \hfill \cr} \right\} \Rightarrow a \bot (b,c)\) Tương tự ta có: \(b ⊥ (a, c)\) Mệnh đề (B) đúng. (C) Xét trường hợp \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại một điểm \(H\). Ta lấy \(S\) trên đường thẳng vuông góc với \(mp(ABCD)\). Kẻ từ \(H\) thì rõ ràng \((SAB) ⊥(ABCD)\) và \((SCD) ⊥(ABCD)\) Vậy (C) sai. (D) Đúng. Chọn C. Câu 7 trang 123 SGK Hình học 11. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng. B. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng. C. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng phẳng D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì đồng quy. Trả lời: (A) Sai (B) Sai vì nếu đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã cho thì xảy ra trường hợp cả ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng. (C) Sai (như trường hợp B) (D) Đúng. Câu 8 trang 123 SGK Hình học 11. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? (A) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. (B) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. (C) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. (D) Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. Trả lời: (A) Đúng (B) Sai – Vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vẫn có thể cắt nhau. (C) Sai (D) Sai Câu 9 trang 123 SGK Hình học 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? (A) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. (B) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau (C) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. (D) Một mặt phẳng \((α)\) và một đường thẳng \(a\) không thuộc \((α)\) cùng vuông góc với đường thẳng \(b\) thì \((α)\) song song với \(a\). Trả lời: (D) đúng Câu 10 trang 123 SGK Hình học 11. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: (A) Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại, (B) Qua một điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. (C) Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. (D) Cho ba đường thẳng \(a, b\) và \(c\) chéo nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng này sẽ nằm trong ba mặt phẳng song song với nhau từng đôi một. Trả lời: (A) Đúng (B) Sai. Vì qua một điểm cho trước ta có thể dựng vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. (C) Sai. Qua một điểm cho trước có thể kẻ vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(a\) cho trước. Các đường thẳng này nằm trong mặt phẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng \(a\). (D) Sai. Câu 11 trang 123 SGK Hình học 11. Khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh \(a\) là bằng: (A) \({{3a} \over 2}\) (B) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\) (C) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) (D) \(a\sqrt2\) Trả lời: Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AB\) \(J\) là trung điểm của cạnh \(CD\) \(IJ\) là đoạn vuông góc của cạnh \(AB\) và \(CD\). Độ dài của \(IJ\) là khoảng cách giữa hai cạnh đối \(AB\), (CD\) của tứ diện. Tứ diện cạnh a nên: \(\eqalign{ & BJ = {{a\sqrt 3 } \over 2},BI = {a \over 2} \cr & \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = B{J^2} - B{I^2} \cr & \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{2{a^2}} \over 4} \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
