Bài 1 trang 50 SGK Hình học 12. Cho ba điểm \(A, B, C\) cùng thuộc một mặt cầu và cho biết \(\widehat {ACB} = 90^0\). Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? a) Đường tròn qua ba điểm \(A, B, C\) nằm trên mặt cầu. b) \(AB\) là một đường kính của mặt cầu đã cho. c) \(AB\) không phải là đường kính của mặt cầu. d) \(AB\) là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng \((ABC)\) Giải Ta có: Câu a) đúng vì mặt cầu giao với mặt phẳng \((ABC)\) theo một đường tròn. Câu d) đúng vì trong đường tròn giao tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) với mặt cầu, với giả thiết \(\widehat {ACB} = 90^0\). Suy ra \(AB\) là đường kính của đường tròn giao tuyến. Bài 2 trang 50 SGK Hình học 12. Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và cạnh \(BD\) vuông góc với cạnh \(BC\). Biết \(AB = AD = a\), tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc \(BDA\) quanh cạnh \(AB\). Giải Vì \(∆ABD\) vuông góc tại \(A\), nên khi quay \(BDA\) quanh \(AB\) ta được hình nón tròn xoay đường cao \(AB = a\) và bán kính đáy bằng \(AD = r =a\). Vậy \(V\)nón = \({1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {a^3}\) \(S\)xq = \(πrl\) ở đó đường sinh \(l = a\sqrt2\) nên \(S\)xq = \(\sqrt2πa^2\). Bài 3 trang 50 SGK Hình học 12. Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu. Giải Giả sử ta có hình chóp \(S.ABCD\), có các cạnh bên \(SA = SB = SC = SD = ...\), kẻ \(SH \bot (ABCD)\), ta chứng minh được \(△SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △...\) suy ra \(HA = HB = HC = HD = ...\) \( \Rightarrow \) Đáy \(ABCD\)...., của hình chóp nội tiếp trong một đường tròn và chân \(H\) của đường cao \(SH\) là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dễ thấy, mọi điểm nằm trên đường cao \(SH\) đều cách đều các đỉnh \(A, B, C, D\) của đáy. Trong tam giác \(SAH\) chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh \(SA\), đường này cắt \(SH\) ở điểm \(I\). Dễ thấy: \(IS = IA = IB = IC = ID = ...\) hay điểm \(I\) cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó \(I\) là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp. Bài 4 trang 50 SGK Hình học 12. Hình chóp \(S.ABC\) có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh \(SA, SB, SC\) và tiếp xúc với ba cạnh \(AB, BC, CA\) tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều. Giải Gọi \(M, N, P\) theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(SA, SB, SC\); \(D, E, F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CA\), các điểm \(D, E, F\) đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(AB, BC, CA\). Ta có: \(AD = AF \Rightarrow AB = AC\) \(BD = BE \Rightarrow BC = AB\) \( \Rightarrow AB = BC = CA\) \( \Rightarrow △ABC\) là tam giác đều... (1) Ta lại có \(AM = AD; BN = BD = AD\) và \(SM = SN = SP\) \( \Rightarrow SM + AM = SN + NB\) \( \Rightarrow SA = SB\) Chứng minh tương tự ta có: \(SA = SB = SC\). Gọi \(H\) là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh \(S\), ta có: \(△SHA = △SHB =△SHC\)\( \Rightarrow HA = HB = HC\) \( \Rightarrow H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) (2) Từ (1) và (2) suy ra hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều. Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12. Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) xuống mặt phẳng \((BCD)\). a) Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Tính độ dài đoạn \(AH\). b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao \(AH\). Giải a) Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có \(6\) cạnh đều bằng nhau. Vì \(AB = AC = AD\) và \(AH \bot (BCD)\) nên có \(HB = HC = HD\). Vậy \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(BCD\). Ta có \(BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}\); Do tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên : \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {2 \over 3}{a^2}\) . Vậy \(AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a\) b) Vì tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\) . Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \(S = 2\pi Rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}\) (đtdt). Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\) (đtdt) Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Từ tâm \(O\) của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Trên \(\Delta\) lấy điểm \(S\) sao cho \(OS ={a \over 2}\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. Giải Do \(\Delta\) là trục của hình vuông \(ABCD\), nên tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(\Delta\). Vì \(SO = {a \over 2} < OC = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) nên tâm \(I\) của mặt cầu nằm trên phần kéo dài của \(SO\). Ta có: \(SI = IC \Rightarrow {a \over 2} + OI = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} \) \( \Rightarrow {\left( {{a \over 2} + OI} \right)^2} = O{I^2} + {{{a^2}} \over 2}\) \( \Rightarrow O{I^2} + a.OI + {{{a^2}} \over 4} = O{I^2} + {{{a^2}} \over 4}\) \( \Rightarrow OI = {a \over 4} \Rightarrow R = SO + OI = {{3a} \over 4}\) Vậy tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(SO\) mà \(SI = R =\) \({{3a} \over 4}\) ; (\(R\) là bán kính hình cầu). Khi đó diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = {9 \over 4}\pi {a^2}\) (đvdt) Thể tích của khối cầu là: \(V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {9 \over {16}}{\pi ^3}\) (đvdt) Bài 7 trang 50 SGK Hình học 12. Cho hình trụ có bán kính đáy \(r\), trục \(OO' = 2r\) và mặt cầu đường kính \(OO'\). a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ đó. b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho. Giải a) \(S\)mặt cầu = \(4πr^2\) \(S\)hình trụ = \(4πr^2\) Vậy \(S\)mặt cầu=\(S\)hình trụ b) \(V\)khối cầu = \({4 \over 3}\pi {r^3}\) \(V\)khối trụ = \(2πr^3\) Vậy \({{{V_{KT}}} \over {{V_{KC}}}} = {{2\pi {r^3}} \over {{4 \over 3}\pi {r^3}}} = {3 \over 2}\). Bài 1 trang 51 SGK Hình học 12. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(S\) là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\). Diện tích \(S\) là: (A) \(πa^2\); (B) \(πa^2\sqrt 2 \) ; (C) \(πa^2\sqrt 3 \); (D) \({{\pi {{\rm{a}}^2}\sqrt 2 } \over 2}\). Giải Hình trụ là hình ngoại tiếp hình vuông cạnh \(a\) nên có đường kính \( a\sqrt2\) đường cao của hình trụ là \(a\) \(S_{xq}=\pi a\sqrt2. a=πa^2\sqrt 2 \) Chọn (B) \(πa^2\sqrt 2 \) Bài 2 trang 51 SGK Hình học 12. Gọi \(S\) là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng \(AC'\) của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(b\) khi quay xung quanh trục \(AA'\). Diện tích \(S\) là: (A) \(πb^2\); (B) \(πb^2\sqrt 2 \) ; (C) \(πb^2\sqrt 3 \) ; (D) \(πb^2\sqrt 6 \) . Giải Hình nón tạo bởi khi quay \(AC'\) xung quanh \(AA'\) có đường sinh \(l=AC'=b\sqrt3\) và bán kính đáy \(C'A'=b\sqrt2\) nên \(S=\pi b\sqrt3 . b\sqrt2=πb^2\sqrt 6 \) Chọn (D) \(πb^2\sqrt 6 \) . Bài 3 trang 51 SGK Hình học 12. Hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và có \(SA = a, AB = b, AC = c\). Mặt cầu đi qua các đỉnh \(A, B, C, S\) có bán kính \(r\) bằng: (A) \({{2(a + b + c)} \over 3}\) ; (B) 2\(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) ; (C) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) ; (D) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) . Giải Tâm \(I\) của mặt cầu đi qua \(A,B,C,S\) là giao của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và mặt phẳng trung trực của \(SA\) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên trục đường tròn \(Mx\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\). Bán kính mặt cầu \(R=IA\) \(MI={a\over 2}\), \(AM={1\over 2} BC\) \(BC=\sqrt{b^2+c^2}\) Do đó \(R={1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) Chọn (C) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) Bài 4 trang 51 SGK Hình học 12. Cho hai điểm cố định \(A, B\) và một điểm \(M\) di động trong không gian nhưng luôn thoả mãn điều kiện \(\widehat {MAB} = α\) với \(0^0<α<90^0\). Khi đó điểm \(M\) thuộc mặt nào trong các mặt sau: (A) Mặt nón; (B) Mặt trụ; (C) Mặt cầu; (D) Mặt phẳng. Giải Chọn (C) Mặt cầu. Bài 5 trang 51 SGK Hình học 12. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là: (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) vô số. Giải Chọn (D) vô số. Bài 6 trang 52 SGK Hình học 12. Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu: (A) Hình chóp tam giác (tứ diện) (B) Hình chóp ngũ giác đều; (C) Hình chóp tứ giác; (D) Hình hộp chữ nhật. Giải Chọn (C) Hình chóp tứ giác. Bài 7 trang 52 SGK Hình học 12. Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và cạnh \(BD\) vuông góc với cạnh \(BC\). Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh \(AB\), có bao nhiêu hình nón được tạo thành? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4. Giải Chọn (B) 2. Bài 8 trang 52 SGK Hình học 12. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông \(ABCD\) và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông \(A'B'C'D'\). Diện tích xung quanh của hình nón đó là: (A) \({{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 3}\) (B) \({{\pi {a^2}\sqrt 2 } \over 2}\) (C) \({{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 2}\) (D) \({{\pi {a^2}\sqrt 6 } \over 2}\) Giải Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \( ABCD\) thì \( OA={{a\sqrt 2 } \over 2}\) \(\eqalign{ & OA{'^2} = AA{'^2} + O{A^2} \cr & \Rightarrow OA' = {{a\sqrt 6 } \over 2} \cr} \) Hình nón có đường sinh \(OA'\) và và bán kính đáy là: \({{a\sqrt 2 } \over 2}\) nên có diện tích xung quanh là: \({S_{xq}} = \pi .{{a\sqrt 2 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 2}\) Chọn (C) \({{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 2}\). Bài 9 trang 52 SGK Hình học 12. Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\) quay xung quanh đường cao \(AH\) tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là: (A) \(πa^2\) ; (B) \(2πa^2\) ; (C) \({1 \over 2}πa^2\) ; (D) \({3 \over 4}πa^2\). Giải Hình nón sinh ra có bán kính đáy \(r={a\over2}\) đường sinh \(l=a\) nên có diện tích xung quanh là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi {a \over 2}.a = {{\pi {a^2}} \over 2}\) Chọn (C) \({1 \over 2}πa^2\) Bài 10 trang 52 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? (A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng. (B) Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu. (C) Có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau. (D) Luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón. Giải Chọn (B) Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu. (Vì chỉ có hình chóp có đáy nội tiếp mới có mặt cầu ngoại tiếp). Bài 11 trang 53 SGK Hình học 12. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(r\). Gọi \(O, O'\) là tâm của hai đáy với \(OO' = 2r\). Một mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại \(O\) và \(O'\). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai? (A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ. (B) Diện tích mặt cầu bằng \({2 \over 3}\) diện tích toàn phần của hình trụ. (C) Thể tích khối cầu bằng \({3 \over 4}\) thể tích khối trụ. (D) Thể tích khối cầu bằng \({2 \over 3}\) thể tích khối trụ. Giải Mặt cầu có đường kính \(2r\) nên có bán kính là \(r\) và có diện tích: \(S = 4\pi {r^2}\) và \(V = {4 \over 3}\pi {r^3}\) Mặt trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(2r\) nên có: \({S_{xq}} = 4\pi {r^2}\); \({S_{tp}} = 6\pi {r^2}\); \(V = 2\pi {r^3}\). Chọn (C) Thể tích khối cầu bằng \({3 \over 4}\) thể tích khối trụ. Bài 12 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là \(a, b, c\). Khi đó bán kính \(r\) của mặt cầu bằng: (A) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \); (B) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \); (C) \(\sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} \); (D) \({{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } \over 3}\). Giải Chọn (A) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \). Bài 13 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh \(a\). Thể tích của khối trụ đó là: (A) \({1 \over 2}a^3π\) ; (B) \({1 \over 4}a^3π\) ; (C) \({1 \over 3}a^3π\) ; (D) \(a^3π\). Giải Hình trụ có chiều cao bằng cạnh hình vuông \(h=a\) và bán kính đáy \(r={a\over2}\) Chọn (B) \({1 \over 4}a^3π\). Bài 14 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình tứ diện đều cạnh \(a\) có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là: (A) \({1 \over 2}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ; (B) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 2 \) ; (C) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ; (D) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \) . Giải Giả sử có tứ diện đều \(ABCD\) , hình nón có đỉnh trùng với \(A\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\) bán kính đường tròn đáy bằng \({2\over3}\) độ dài trung tuyến \(BCD\) \(r = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\) Đường sinh hình nón bằng cạnh \(AB=a\). Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl = {1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \) Chọn (C) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \). Bài 15 trang 54 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai? (A) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện bất kì. (B) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp đều. (C) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp. (D) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật. Giải Chọn (C) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp. Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số \({{{S_1}} \over {{S_2}}}\) bằng: (A) 1 ; (B) 2 ; (C) 1,5 ; (D) 1,2 . Giải Gọi bán kính của quả cầu là \(r\) thì \(r\) cũng là bán kính đáy của hình trụ. Chiều cao của hình trụ là \(6r\) Chiều cao của hình trụ là \(6r\) Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_2} =2\pi r.6r= 12\pi {r^2}\) Diện tích ba quả bóng bàn là: \({S_1} = 3.4\pi {r^2} = 12\pi {r^2}\) Chọn (A) 1. Bài 17 trang 54 SGK Hình học 12. Người ta xếp \(7\) viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với \(6\) viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là: (A) \(16πr^2\) ; (B) \(18πr^2\) ; (C) \(9πr^2\) ; (D) \(36πr^2\) . Giải Bán kính đáy hình trụ: \(R=3r\) Diện tích đáy hình trụ: \(S = \pi {(3r)^2} = 9\pi {r^2}\) Chọn (C) \(9πr^2\) Bài 18 trang 54 SGK Hình học 12. Cho ba điểm \(A, C, B\) nằm trên một mặt cầu, biết rằng góc \(\widehat {ACB}= 90^0\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? (A) \(AB\) là một đường kính của mặt cầu. (B) Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác \(ABC\). (C) Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\). (D) Mặt phẳng \((ABC)\) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn. Giải Chọn (B) Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.
